人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí)第02講垂直(4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+3類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固)(原卷版+解析)

第02講垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①垂直的定義②垂直的畫法③垂線的性質(zhì)④點(diǎn)到直線的距離掌握垂線的定義及其表示。能夠利用三角板或兩角器畫垂線。掌握垂線的性質(zhì)并且能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)01垂直的定義垂直的定義：兩條直線相交形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是時(shí)，就說這兩條直線，其中一條直線叫做另一條直線的，它們的交點(diǎn)叫做。若直線a與直線b垂直，表示為。由鄰補(bǔ)角與對頂角的性質(zhì)可知，若相交線形成的角中有一個(gè)角是直角，則四個(gè)角均是?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023?封丘縣二模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，則∠AOE的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．64° D．72°知識(shí)點(diǎn)02垂線的畫法利用三角板過已知點(diǎn)作直線的垂線的具體步驟：三直角三角板的一半與已知直線。沿已知直線平移直角三角形邊，使另一邊經(jīng)過。沿與已知直線不重合的邊畫，這條直線即為已知直線的垂線?！炯磳W(xué)即練1】2．（2023春?梁平區(qū)期末）下列選項(xiàng)中，過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03垂線的性質(zhì)性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)作已知直線的垂線，條直線與已知直線垂直。有且只有：存在且唯一。性質(zhì)2：過一點(diǎn)作已知直線的，點(diǎn)到之間的部分叫做垂線段。直線外一點(diǎn)連接直線上所有點(diǎn)的連線中，最短。注意：若不是直線外一點(diǎn)，則不存在垂線段。【即學(xué)即練1】3．（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【即學(xué)即練2】4．（2023春?博羅縣期末）春節(jié)過后，某村計(jì)劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點(diǎn)O），以便對農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計(jì)了四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是（）A．OA B．OB C．OC D．OD知識(shí)點(diǎn)04點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的是直線外一點(diǎn)到該直線的距離?！炯磳W(xué)即練1】5．（2023春?寶坻區(qū)校級(jí)月考）P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm題型01與垂直有關(guān)的計(jì)算【典例1】（2022秋?新都區(qū)期末）如圖，OC⊥AB，垂足為O，直線DE經(jīng)過點(diǎn)O，∠COD＝50°，則∠BOE＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式1】（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式2】（2023春?自貢期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度數(shù)．【變式3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度數(shù)．題型02垂線段最短的應(yīng)用【典例1】（2023春?棲霞市期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式1】（2023春?東明縣期中）如圖，小李計(jì)劃把河中的水引到水池C進(jìn)行蓄水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．過兩點(diǎn)有且僅有一條直線 B．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【變式2】（2023?青秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，有三個(gè)快遞員都從位于點(diǎn)P的快遞站取到快遞后，同時(shí)以相同的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路l旁的三個(gè)快遞點(diǎn)A、B、C、結(jié)果送到B快遞點(diǎn)的快遞員先到．理由是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線【變式3】（2022秋?榆樹市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)之間，直線最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短題型03點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．線段AC的長度 B．線段CB的長度 C．線段AD的長度 D．線段CD的長度【變式1】（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點(diǎn)C到直線AD的距離是指（）A．線段AC的長 B．線段AD的長 C．線段DB的長 D．線段CD的長【變式2】（2023春?天元區(qū)校級(jí)期末）如圖，筆直小路DE的一側(cè)栽種有兩棵小樹BM，CN，小明測得AB＝4m，AC＝6m，則點(diǎn)A到DE的距離可能為（）A．6m B．5m C．4m D．3m【變式3】（2023春?澄邁縣期末）已知P是直線l外一點(diǎn)，A是直線l上一點(diǎn)，若PA＝2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離（）A．小于2cm B．不大于2cm C．等于2cm D．大于2cm1．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，AB⊥CD，垂足為O，EF為過O點(diǎn)的一條直線，則∠α與∠β的關(guān)系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為對頂角2．（2023?游仙區(qū)開學(xué)）過點(diǎn)P作AB的垂線CD，下列選項(xiàng)中，三角板的放法正確的是（）A． B． C． D．3．（2023?貴州模擬）如圖，工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間風(fēng)光．這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．垂線段最短4．（2023春?臨沂期中）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短 C．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．已知直線的垂線只有一條5．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．點(diǎn)到直線的距離 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線6．（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，則∠BOD等于（）A．55° B．45° C．35° D．25°7．（2023春?泰來縣校級(jí)期末）如圖，直線BO⊥AO于點(diǎn)O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，則∠DOA的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．125° D．130°8．（2023春?千山區(qū)期中）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段BP的長度是點(diǎn)P到直線l的距離；②線段AP是A點(diǎn)到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點(diǎn)P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④9．（2023春?殷都區(qū)期末）點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為直線l上三點(diǎn)，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，則點(diǎn)O到直線l的距離（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于3cm10．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°11．（2023春?涵江區(qū)期中）如圖：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測量他的跳遠(yuǎn)成績，只要測量PA的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：.12．（2023春?通道縣期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，則點(diǎn)C到AB的距離為．13．（2023春?濱州期末）如圖，已知直線l上，點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PB≥4cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是．14．（2023春?西寧期末）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是．15．（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝．16．（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板COD的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上．（1）若線段OC的長是點(diǎn)C到直線AB的距離，則點(diǎn)D在直線AB（填“上”或“外”）．（2）比較CD與OD的大小，并說明理由．17．（2023春?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與EF交于點(diǎn)O，已知OC和OD位于AB的兩側(cè)，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度數(shù)．18．（2023春?青山區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O．（1）直接寫出∠AOC的對頂角和鄰補(bǔ)角；（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度數(shù)．18．（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB．（1）若∠BOF＝∠DOE，求證：OF⊥CD；（2）在（1）的條件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度數(shù)．20．（2023?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖1，O是直線AB上的一點(diǎn)，OC⊥OD，OE平分∠BOC．（1）若∠AOD＝35°，求∠BOE的度數(shù)；（2）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，∠BOE內(nèi)部有一條射線OM，且3∠AOD﹣∠AOF+2∠MOE＝13∠COE+∠AOF，試確定∠FOM與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．

第02講垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①垂直的定義②垂直的畫法③垂線的性質(zhì)④點(diǎn)到直線的距離掌握垂線的定義及其表示。能夠利用三角板或兩角器畫垂線。掌握垂線的性質(zhì)并且能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)01垂直的定義垂直的定義：兩條直線相交形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。若直線a與直線b垂直，表示為。由鄰補(bǔ)角與對頂角的性質(zhì)可知，若相交線形成的角中有一個(gè)角是直角，則四個(gè)角均是直角?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023?封丘縣二模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，則∠AOE的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．64° D．72°【分析】先根據(jù)對頂角相等可得∠AOD＝4∠BOD，再根據(jù)平角定義可得∠AOD+∠BOD＝180°，從而可得∠BOD＝36°，然后根據(jù)垂直定義可得∠EOD＝90°，從而利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵∠AOD＝4∠AOC，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD＝4∠BOD，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝×180°＝36°，∵OE⊥OD，∴∠EOD＝90°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠BOD＝54°，故選：B．知識(shí)點(diǎn)02垂線的畫法利用三角板過已知點(diǎn)作直線的垂線的具體步驟：三直角三角板的一半與已知直線重合。沿已知直線平移直角三角形邊，使另一邊經(jīng)過已知點(diǎn)。沿與已知直線不重合的邊畫直線，這條直線即為已知直線的垂線。【即學(xué)即練1】2．（2023春?梁平區(qū)期末）下列選項(xiàng)中，過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線做法及三角板的特征直接可得．【解答】解：∵三角板有一個(gè)角是直角．∴三角板的一條直角邊與直線AB重合．∵過點(diǎn)P作直線AB的垂線．∴三角板的另一條直角邊過點(diǎn)P．∴符合上述條件的圖形只有選項(xiàng)C．故選：C．知識(shí)點(diǎn)03垂線的性質(zhì)性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)作已知直線的垂線，有且只有1條直線與已知直線垂直。有且只有：存在且唯一。性質(zhì)2：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，點(diǎn)到垂足之間的部分叫做垂線段。直線外一點(diǎn)連接直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。注意：若不是直線外一點(diǎn)，則不存在垂線段?！炯磳W(xué)即練1】3．（2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線l外任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可選出答案．【解答】解：在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：B．【即學(xué)即練2】4．（2023春?博羅縣期末）春節(jié)過后，某村計(jì)劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點(diǎn)O），以便對農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計(jì)了四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是（）A．OA B．OB C．OC D．OD【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．【解答】解：由垂線段最短，得四條路段OA，OB，OC，OD，如圖所示，其中最短的一條路線是OB，故選：B．知識(shí)點(diǎn)04點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度是直線外一點(diǎn)到該直線的距離。【即學(xué)即練1】5．（2023春?寶坻區(qū)校級(jí)月考）P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm【分析】根據(jù)垂線段最短和點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可．【解答】解：根據(jù)垂線段最短得出點(diǎn)P到直線m的距離是不大于4cm，故選D．題型01與垂直有關(guān)的計(jì)算【典例1】（2022秋?新都區(qū)期末）如圖，OC⊥AB，垂足為O，直線DE經(jīng)過點(diǎn)O，∠COD＝50°，則∠BOE＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】利用對頂角相等的性質(zhì)、垂線的定義計(jì)算．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵∠COD＝50°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOE＝∠AOD＝40°，故選：B．【變式1】（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得∠GOF，進(jìn)而根據(jù)∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF計(jì)算即可．【解答】解：∵三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，∠AOE＝70°，∴∠BOF＝∠AOE＝70°，∵CD⊥EF，∴∠DOF＝90°，∵OG平分∠BOF，∴，∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°，故選：B．【變式2】（2023春?自貢期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度數(shù)．【分析】根據(jù)EO⊥CD，求得∠BOD度數(shù)，然后由對頂角相等的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義分別求∠AOC，∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠EOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠AOC＝40°，∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣40°＝140°．【變式3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度數(shù)．【分析】由EO⊥OD，求出∠AOD，再由OD平分∠AOF，求出∠AOF，最后由∠BOF+∠AOF＝180°，即可求出∠BOF．【解答】解：∵EO⊥OD，∴∠EOD＝90°，∵∠EOA＝55°，∴∠AOD＝∠EOD﹣∠EOA＝90°﹣55°＝35°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOF＝2∠AOD＝70°，∵∠BOF+∠AOF＝180°，∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣70°＝110°．題型02垂線段最短的應(yīng)用【典例1】（2023春?棲霞市期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷．【解答】解：如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短．故選：B．【變式1】（2023春?東明縣期中）如圖，小李計(jì)劃把河中的水引到水池C進(jìn)行蓄水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．過兩點(diǎn)有且僅有一條直線 B．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】由垂線段最短，即可得到答案．【解答】解：沿線段CD挖渠，能使水渠最短，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是垂線段最短．故選：C．【變式2】（2023?青秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，有三個(gè)快遞員都從位于點(diǎn)P的快遞站取到快遞后，同時(shí)以相同的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路l旁的三個(gè)快遞點(diǎn)A、B、C、結(jié)果送到B快遞點(diǎn)的快遞員先到．理由是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【解答】解：由題意可知送到B快遞點(diǎn)的快遞員先到的理由是：垂線段最短；故選：A．【變式3】（2022秋?榆樹市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)之間，直線最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短【分析】根據(jù)垂線段最短即可求解．【解答】解：將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路可走AB、AC、AD，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是垂線段最短．故選：D．題型03點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．線段AC的長度 B．線段CB的長度 C．線段AD的長度 D．線段CD的長度【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答．【解答】解：點(diǎn)C到AB的距離是線段CD的長度．故選：D．【變式1】（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點(diǎn)C到直線AD的距離是指（）A．線段AC的長 B．線段AD的長 C．線段DB的長 D．線段CD的長【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長度，根據(jù)AD⊥BC，得出點(diǎn)C到直線AD的距離為CD．【解答】解：∵AD⊥BC，∴點(diǎn)C到直線AD的距離是指CD的長度．故選：D．【變式2】（2023春?天元區(qū)校級(jí)期末）如圖，筆直小路DE的一側(cè)栽種有兩棵小樹BM，CN，小明測得AB＝4m，AC＝6m，則點(diǎn)A到DE的距離可能為（）A．6m B．5m C．4m D．3m【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線段最短即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)垂線段最短得，點(diǎn)A到DE的距離＜AB，故選：D．【變式3】（2023春?澄邁縣期末）已知P是直線l外一點(diǎn)，A是直線l上一點(diǎn)，若PA＝2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離（）A．小于2cm B．不大于2cm C．等于2cm D．大于2cm【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的距離即為垂線段的長度和垂線段最短的性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：∵直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，∴點(diǎn)P到直線l的距離≤PA，即點(diǎn)P到直線l的距離不大于2cm．故選：B．1．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，AB⊥CD，垂足為O，EF為過O點(diǎn)的一條直線，則∠α與∠β的關(guān)系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為對頂角【分析】根據(jù)圖形可看出，∠β的對頂角∠COE與∠α互余，那么∠α與∠β就互余．【解答】解：圖中，∠β＝∠COE（對頂角相等），又∵AB⊥CD，∴∠α+∠COE＝90°，∴∠α+∠β＝90°，∴兩角互余．故選：B．2．（2023?游仙區(qū)開學(xué)）過點(diǎn)P作AB的垂線CD，下列選項(xiàng)中，三角板的放法正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線的定義，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)P作AB的垂線CD，下列選項(xiàng)中，三角板的放法正確的是故選：C．3．（2023?貴州模擬）如圖，工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間風(fēng)光．這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．垂線段最短【分析】由線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短，即可判斷．【解答】解：將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短．故選：C．4．（2023春?臨沂期中）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短 C．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．已知直線的垂線只有一條【分析】直接利用垂線的性質(zhì)：在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是：同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：C．5．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．點(diǎn)到直線的距離 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答．【解答】解：要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD），開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是：垂線段最短，故選：C．6．（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，則∠BOD等于（）A．55° B．45° C．35° D．25°【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂線的定義得出∠COD＝90°，從而求出∠BOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOC＝125°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣125°＝55°，∵OC⊥OD．∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，故選：C．7．（2023春?泰來縣校級(jí)期末）如圖，直線BO⊥AO于點(diǎn)O，OB平分∠COD，∠AOC＝70°，則∠DOA的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．125° D．130°【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AOB＝90°，從而可得∠BOC＝20°，然后利用角平分線的定義可得∠DOB＝∠BOC＝20°，從而利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO⊥AO，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝70°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°，∵OB平分∠COD，∴∠DOB＝∠BOC＝20°，∴∠DOA＝∠DOB+∠AOB＝110°，故選：A．8．（2023春?千山區(qū)期中）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段BP的長度是點(diǎn)P到直線l的距離；②線段AP是A點(diǎn)到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點(diǎn)P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【分析】根據(jù)“從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點(diǎn)到這條線段的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離”進(jìn)行判斷，即可得解．【解答】解：∵PB⊥l于點(diǎn)B，∴線段BP的長度是點(diǎn)P到直線l的距離，故①正確，④錯(cuò)誤；∵∠APC＝90°，∴線段AP的長度是A點(diǎn)到直線PC的距離，故②錯(cuò)誤；根據(jù)垂線段最短，在PA，PB，PC三條線段中，PB最短，故③正確；故選C．9．（2023春?殷都區(qū)期末）點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為直線l上三點(diǎn)，且OA＝2cm，OB＝5cm，OC＝3cm，則點(diǎn)O到直線l的距離（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于3cm【分析】根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”進(jìn)行解答．【解答】解：∵直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，∴點(diǎn)P到直線l的距離OA≤PC，即點(diǎn)O到直線l的距離不大于2cm．故選：C．10．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】先利用角平分線的定義可得∠AOM＝∠COM＝35°，再根據(jù)垂直定義可得∠MON＝90°，然后利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵射線OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠COM＝35°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON﹣∠COM＝55°，故選：C．11．（2023春?涵江區(qū)期中）如圖：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測量他的跳遠(yuǎn)成績，只要測量PA的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：垂線段最短.【分析】由垂線段最短，即可得到答案．【解答】解：李明同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，要測量他的跳遠(yuǎn)成績，只要測量PA的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：垂線段最短．故答案為：垂線段最短．12．（2023春?通道縣期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，則點(diǎn)C到AB的距離為4.8．【分析】設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴10h＝6×8，∴h＝＝4.8．故答案為：4.8．13．（2023春?濱州期末）如圖，已知直線l上，點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PB≥4cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是4cm．【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，由此即可得到答案．【解答】解：點(diǎn)B為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PB≥4cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是4cm．故答案為：4cm．14．（2023春?西寧期末）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是60°或120°．【分析】先根據(jù)題意可得OC分在AB同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，并畫出圖，然后根據(jù)OC⊥OD與∠AOC＝30°，計(jì)算∠BOD的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)OC、OD在直線AB同側(cè)時(shí)，如圖：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；當(dāng)OC、OD在直線AB異側(cè)時(shí)，如圖：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．故答案為：60°或120°．15．（2023秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝110°或70°．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依據(jù)已知條件求得∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度數(shù)．【解答】解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，設(shè)∠BOE＝α，則∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，∵∠AOC為平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，即3α+70°+70°﹣α＝180°，解得α＝20°，∴∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；②如圖2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；綜上所述，∠MOE的度數(shù)為110°或70°．故答案為：110°或70°．16．（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板COD的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上．（1）若線段OC的長是點(diǎn)C到直線AB的距離，則點(diǎn)D在直線AB上（填“上”或“外”）．（2）比較CD與OD的大小，并說明理由．【分析】（1）由線段OC的長是點(diǎn)C到直線AB的距離，可得OC⊥OB，結(jié)合CO⊥OD，從而可得答案；（2）由垂線段最短可得答案．【解答】解：（1）∵線段OC的長是點(diǎn)C到直線AB的距離，∴OC⊥OB，∵CO⊥OD，∴OB，OD重合，∴則點(diǎn)D在直線AB上．（2）DC＞DO，理由如下：∵OD⊥OC，∴D與OC上各點(diǎn)的連線段中，垂線段OD最短．∴DC＞DO．17．（2023春?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與EF交于點(diǎn)O，已知OC和OD位于AB的兩側(cè)，且OC⊥OD，OF平分∠BOC，若∠BOD＝20°，求∠AOE的度數(shù)．【分析】根據(jù)OC⊥OD，得∠COD＝90°，所以∠BOC＝70°，再根據(jù)OF平分∠BOC，得∠BOF＝∠BOC＝35°，根據(jù)對頂角的性質(zhì)得∠AOE＝∠BOF＝35°．【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠BOC＝70°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF＝∠BOC＝35°，∴∠AOE＝∠BOF＝35°．18．（2023春?青山區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O．（1）直接寫出∠AOC的對頂角和鄰補(bǔ)角；（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角的定義，即可解答；（2）根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，從而求出∠AOC，利用鄰補(bǔ)角進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∠AOC的對頂角是∠BOD，∠AOC的鄰補(bǔ)角是∠BOC和∠AOD；（2）∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC：∠COE＝3：1，∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝112.5°．18．（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB．（1）若∠BOF＝∠DOE，求證：OF⊥CD；（2）在（1）的條件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)OE⊥AB，得∠BOE＝90°，即∠DOE+∠BOD＝90°，再根據(jù)∠BOF＝∠DOE，所以∠BOF+∠BOD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，得180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝∠A