數(shù)學(xué)探究：楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用右邊的多項式叫做的展開式其中各項對應(yīng)系數(shù)叫做二項式系數(shù)式子中的叫做二項展開式的通項，

常用Tk+1表示，即通項為展開式的第k+1項：

二項式定理：這里n∈N*，k∈{0，1，2，…，n}學(xué)習(xí)新知這個表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的?詳解九章算法?一書里就出現(xiàn)了,所不同的只是這里的表用阿拉伯?dāng)?shù)字表示,在這本書里記載的是用漢字表示的形式,還說明了表里?“一”?以?外的每一個數(shù)?都等于它肩上兩個數(shù)的和,楊輝指出這個方法出于?釋鎖?算書,且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲?(約公元11世紀(jì))?已經(jīng)用過它.

是我國古代數(shù)學(xué)的一個重要成果，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì),在歐洲,這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(????????????????????????,(1623~1662)?首先發(fā)現(xiàn)的?,他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說,楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.我們把這個數(shù)表稱為楊輝三角，問題1：楊輝三角是按照怎樣的規(guī)則構(gòu)成的？

楊輝三角與二項式系數(shù)有何聯(lián)系？問題1：楊輝三角是按照怎樣的規(guī)則構(gòu)成的？

楊輝三角與二項式系數(shù)有何聯(lián)系？11121133114641151010511615201561

1

1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行認(rèn)識“楊輝三角”認(rèn)識：楊輝三角

(a+b)1…(a+b)2………………(a+b)3……………(a+b)4…………(a+b)5………(a+b)6………………11111111111123456345661010151520“”楊輝三角14641111211331151010511615201561問題2:將上表寫成如下形式,你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎?新知探究(1)每行兩端的數(shù)都是1；(2)與兩端等距離的項的系數(shù)相等；(3)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,等等.問題3：楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用組合數(shù)性質(zhì)解釋？在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.性質(zhì)性質(zhì)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.問題3：楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用組合數(shù)性質(zhì)解釋？合作探究：利用數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系性，我們可以從不同的角度研究這些性質(zhì)，結(jié)合已有知識，對比一下不同角度發(fā)現(xiàn)和證明性質(zhì)的過程，說一說自己的體會③每個展開式的二項式系數(shù)的增減性與最大值是:探究(1)

填出下列各二項展開式的二項式系數(shù);

(2)

歸納二項式系數(shù)的規(guī)律;(3)

說明你歸納結(jié)論的正確性.(a+b)1…(a+b)2………………(a+b)3……………(a+b)4…………(a+b)5………(a+b)6………………11111111111123456345661010151520前增后減,中間一項或兩項最大.n為奇數(shù)時,反之,減.以上是楊輝三角最基本的性質(zhì)，也是二項式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)二、“楊輝三角”的拓展探究：楊輝三角中的數(shù)與開方、解方程、組合數(shù)學(xué)、數(shù)列等密切聯(lián)系，歷代數(shù)學(xué)家從不同的角度研究它的性質(zhì)，帕斯卡給出了19條性質(zhì)，你也來試試，能發(fā)現(xiàn)和證明多少條性質(zhì)？問題4：你認(rèn)為可從哪些方面探究楊輝三角？我們該如何探究楊輝三角的性質(zhì)？研究內(nèi)容性質(zhì)應(yīng)用研究方法觀察歸納猜想證明研究方向局部整體楊輝三角與二項式系數(shù)楊輝三角與數(shù)列楊輝三角的“形”如何觀察？11121133114641151010511615201561

1二、“楊輝三角”的拓展探究：你也來試試，能發(fā)現(xiàn)和證明多少條性質(zhì)拓展探究：研究方法：橫看，斜看，豎看，連續(xù)看，隔行看等；采取畫一畫，連一連，算一算，進(jìn)行歸納和猜想.11121133114641151010511615201561

1橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.橫看斜看第5行

15101051第6行

1615201561第7行

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第1行

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146411=1+1=1+2+1=1+3+3+1=1+4+6+4+1=善于觀察，發(fā)現(xiàn)“秘密”5.1橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。11121133114641151010511615201561

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=2

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816324求和11121133114641151010511615201561

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=22222222222222

12

20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

聯(lián)想結(jié)構(gòu)，如何證明？5.2探究：“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究：聯(lián)想結(jié)構(gòu)，如何證明？第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

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1331第4行

14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)拓展探究：楊輝三角的秘密第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641常數(shù)列等差數(shù)列一階等差數(shù)列二階等差數(shù)列2343610拓展探究：楊輝三角的秘密第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)問題4：換個角度觀察楊輝三角，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?視角1：數(shù)列求通項視角2：對應(yīng)組合數(shù)第r斜列的通項為？

問題5：從每一斜列的和，你能提出哪些猜想？

在第r+1條斜線上(從右上到左下)前n-r個數(shù)字的和，等于第r+2條斜線上的第n-r個數(shù).“楊輝三角”與數(shù)列拓展探究：楊輝三角的秘密

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134第8行18285670562881“楊輝三角”與數(shù)列拓展探究：楊輝三角的秘密問題6：斜線上各行數(shù)字之和有什么規(guī)律?斐波那契數(shù)列

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134第8行18285670562881“楊輝三角”與數(shù)列拓展探究：楊輝三角的秘密：問題6：斜線上各行數(shù)字之和有什么規(guī)律?

斐波那契數(shù)列

拓展1:楊輝《詳解九章算法》有一個這樣的問題：三角垛，下廣，一面十二個，上尖，問計幾何.拓展2:試底層是每邊堆n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個，頂層是1個，求總數(shù).

三.楊輝三角，簡單應(yīng)用【課時小結(jié)】1.