北師大版高一數(shù)學必修第二冊第四章復習及測試題

北師大版高一數(shù)學必修第二冊第四章復習及測試題第四章三角恒等變換一．同角三角函數(shù)的基本關系基本關系基本關系式平方關系sin∝2+商數(shù)關系sin∝cos二、兩角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ簡記符號C(α－β)使用條件α，β為任意角三、兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R四、兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R五、兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切公式tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)六、二倍角公式三角函數(shù)公式簡記正弦sin2α＝2sinαcosαS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α七、半角公式sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).八、輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))第四章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.cos105°=()A.2-3 BC.2+64解析cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=22答案B2.若α是第二象限角,且sinα=23,則cosα等于(A.13 B.-13 C.53 D解析因為α是第二象限角,所以cosα<0.所以cosα=-1-sin2α答案D3.若sinα+cosαsinα-cosαA.-34 B.34 C.-43解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左邊分子、分母同時除以cosα(顯然cosα所以tan2α=2tanα答案B4.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα=()A.15 B.55 C.33解析因為2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因為α∈0,π2,所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=15因為sinα>0,所以sinα=55.故選B答案B5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()A.32 B.3 C.34 D.解析原式=(2cos30°sin10°)2+32(sin70°-sin30°=3-3cos20°2+答案C6.tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=()A.33 B.3 C.32 D解析由于tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),故tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3.答案B7.計算2sin14°·cos31°+sin17°等于()A.22 B.-22 C.32 D解析2sin14°·cos31°+sin17°=2sin14°·cos31°+sin(31°-14°)=sin14°·cos31°+cos14°·sin31°=sin(31°+14°)=sin45°=22答案A8.已知銳角α,β滿足sinα=55,cosβ=31010,則α+β等于A.3π4 B.C.π4 D.2kπ+π4(k∈解析由sinα=55,cosβ=31010,且α,可知cosα=255,sinβ=故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22.又答案C二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.下列各式中,值為1的是()A.4sin15°cos15° B.cos215°-sin215°C.32+2sin215° D.sin22020+cos2解析因為4sin15°cos15°=2sin30°=1,所以A正確;cos215°-sin215°=cos30°=32,所以B錯誤32+2sin215°=32+1-cos30°=1,所以Csin22020+cos22020=1,所以D正確.答案ACD10.已知2sinθ=1+cosθ,則tanθ2的值(A.恒為2 B.可能為1C.可能為-12 D.解析2sinθ=1+cosθ,則4sinθ2cosθ2=1+2cos2θ2-1,即2sinθ2cosθ2=cos2θ2,當cosθ2≠0時,tanθ2=12答案BD11.已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx+π6,則()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的最小正周期為2πC.f(x)的圖象關于直線x=kπ+2π3(k∈ZD.f(x)的值域為[-3,解析因為f(x)=sinx-cosx+π6=sinx-32cosx-12sinx=32sinx-32cos=332sinx-12cosx=3sinx-π6所以f(x)的最小正周期為2π,所以A錯誤,B正確;由x-π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+2π3(k∈Z),即f(x)的圖象關于直線x=kπ+2π3(k∈Z)因為x∈R,所以-1≤sinx-π6≤1,所以-3≤f(x)≤3,即f(x)的值域為[-3,3],所以D答案BCD12.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),則(A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-解析因為sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125即sinθcosθ=-1225,所以A正確所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925因為θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=75,所以B錯誤,C正確聯(lián)立sin解得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=-43.所以D正確答案ACD三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,則tanα=.解析因為a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,所以3cosα-4sinα=0.所以tanα=34答案314.cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=.

解析cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=cos[(36°+α)-(α-54°)]=cos90°=0.答案015.已知A+B=2π3,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是解析因為A+B=2π3,所以cos2A+cos2B=12(1+cos2A+1+cos2B)=1+12(cos2A+cos=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos2π3cos(A-B)=1-12cos(所以當cos(A-B)=-1時,原式取得最大值32;當cos(A-B)=1時,原式取得最小值1答案316.函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π3的最大值為.

解析因為f(x)=15sinx+π3+cosx-π3=1512sinx+32cosx+12cosx+32=1+5310sinx+5+31+53102+其中tanφ=5+3因此,函數(shù)y=f(x)的最大值為1+53答案26+5四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知sin(3π+α)=2sin3π2+α,求下列各式的值:(1)sinα(2)sin2α+sin2α.解由已知得sinα=2cosα.(1)原式=2cosα-4cos(2)原式=sin18.(12分)已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-(1)求sinα的值;(2)求β的值.解(1)因為tanα2所以tanα=2tanα由sinαcosα=43,sin2α+cos2α(2)由(1)知cosα=1-sin2α=1-(45)

2=35,又0而cos(β-α)=210所以sin(β-α)=1-于是sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=45又β∈π2,π,所以β=3π419.(12分)設函數(shù)f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值;(2)求函數(shù)y=fx+π122+fx+π42的值域.解(1)因為f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對任意實數(shù)x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2(2)y=fx+π122+fx+π42=sin2x+π12+sin2x+π4=1=1-1232cos2x-32sin=1-32cos2x+π3.因此,函數(shù)的值域是1-32,1+32.20.(12分)求證:sinx證明方法一:左邊=sin=(=2=2=2=右邊.方法二:左邊=1+sin=1=1=11+sinx+cosx(sinx+1-cosx-cosx-1+=2=右邊.21.(12分)已知A+B+C=π.求證:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos證明因為A+B+C=π,所以C=π-(A+B),所以C2所以sinA+sinB+sinC=2sinA+B2cosA-=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2·2cosA2·=2cosC2·2cosA2·cos所以sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos22.(12分)如圖所示,要把半徑為R,圓心角為π3的扇形木料截成長方形,應怎樣截取,才能使長方形EFGH的面積最大解如圖,作∠POQ的