小學數(shù)學典型錯題分析及教學對策

PAGEPAGE2◎本文系2010年浙江省教研課題《小學數(shù)學一至六年級典型錯題資源庫的建設(shè)與應用》成果，課題流水號177◎本文系2010年浙江省教研課題《小學數(shù)學一至六年級典型錯題資源庫的建設(shè)與應用》成果，課題流水號177，編號062006，課題負責人紹興市教育教學研究院湯春燕?！W數(shù)學典型錯例分析及教學對策【摘要】課堂就是讓學生出錯的地方，學生的錯例是教學的巨大財富。本文列舉了學生數(shù)學學習過程中常見的幾個典型錯例，并對其進行了深入地分析與思考，旨在促使教師們對學生的錯例進行理性反思、辨別異同、探尋“病根”，對癥下藥，讓學生在正確與錯誤的探索中不僅“知其錯”，而且“知其所以錯”，為學生形成良好思維打下堅實基礎(chǔ)。【關(guān)鍵詞】錯例；反思；發(fā)展學生在學習數(shù)學的過程中，時常會出現(xiàn)這樣那樣的錯例。有些知識是教師一再強調(diào)的，學生照樣在不知不覺中出錯，訂正以后照樣“舊病復發(fā)”，有的錯誤甚至連學生本人都莫名其妙。由于教師不夠重視對學生錯例的反思、歸納和整理，學生缺乏找錯、記錯、議錯、辯錯和改錯的主動性和能力，最終導致“教師整天埋頭批改學生的作業(yè)、輔導學生的功課，學生整天進行重復機械的作業(yè)”的惡性循環(huán)。這種現(xiàn)象常常令學生、家長、老師百思不得其解，最后只能用“太馬虎，不認真”來概括了事。其實學生的很多錯例都值得教師細細去探索和研究。本文擷取幾個典型錯例，與同行商榷研究。一、“粗心大意”的背后，暗藏“規(guī)律性錯誤”。計算在小學數(shù)學教學中占據(jù)著十分重要的地位，是學習數(shù)學的基礎(chǔ)。在多年的教學實踐中，我總能發(fā)現(xiàn)一些學生在做計算題時，總會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。經(jīng)過指點后，學生在做下一次作業(yè)時，相類似的計算題還是錯了。分析錯誤原因，部分家長和老師以及相當多的學生，都驚人相似地歸結(jié)為“粗心大意”。我不禁要問：“粗心大意”真的是本質(zhì)原因嗎？“粗心大意”又是什么原因造成的呢？【錯例點擊】1、“大減小”不管是低年級還是高年級學生，在做計算題時總存在這樣一種現(xiàn)象：即在進行豎式運算時，在每一列計算中總是從較大的數(shù)中減去較小的數(shù)，而不管它們究竟是“被減數(shù)”還是“減數(shù)”。如：2、“跨零錯位”學生在進行豎式運算時，遇到需要借位，而前一位數(shù)為0時，學生總是越過0，從它的左邊第一個非0項中去借。還有一些學生用0減去一個數(shù)，認定其結(jié)果一定為0。如【成因聚焦】學生出現(xiàn)以上錯誤，往往對自己的所作所為有著清醒的意識，因此不能簡單地歸結(jié)為“粗心大意”，而是潛伏于學生認知中的“規(guī)律性錯誤”，也就是系統(tǒng)知識中對某一內(nèi)容的認知缺陷造成的，表現(xiàn)出某種規(guī)律性?！按鬁p小”、“跨零錯位”的作法表明學生對其內(nèi)涵做了一般化的推廣。在學習多位數(shù)前，學生很可能曾大量練習了類似這樣的題目：“7和4的差是多少？3和6呢？”由于這類題目都可借助“大減小”的程序進行解決，當學習多位數(shù)減法時，學生的認知中可能就有了這樣的初步印象：多位數(shù)減多位數(shù)，無非就是獨立地完成各個“列”上的減法。當“列”中上面的數(shù)字小于下面的數(shù)字，這時就需要向左邊（未必是最鄰近的）的數(shù)位去借1當10，而被借的數(shù)位上的數(shù)字不應是0，如果是0那就向更高位借1當10。所以算437－284時，學生就按7－4=3、8－3=5、4－2=2的程序執(zhí)行，結(jié)果是253。顯然學生是把先前所學的東西錯誤地推廣應該到了新場合。即使教師再怎么苦口婆心地教如何借位，學生還是聽得不知所云，再次在作業(yè)本上出現(xiàn)“大減小”的錯誤也就見怪不怪了?！緦Σ哝溄印?、正確對待“一般化”規(guī)律性錯誤的生成在于學生對教師所給予的做了一般化的推廣應用，其實學生一般化的思維不能被看成是一種錯誤的思維方式，數(shù)學家也常常做一般化的思考，只是數(shù)學家能對一般化結(jié)論做出邏輯證明，而學生卻自以為是。所以我覺得教師要幫助學生從一般化的思維中找出錯誤的根源，明白怎樣的一般化是合理的，怎樣的一般化是錯誤的。2、有效預防“空隙”上例中學生出現(xiàn)的錯誤其實可以看出教師教學過程中出現(xiàn)的認知“空隙”，即教師沒有對“借1必須從左邊緊靠的位數(shù)去借”做出必要的解釋、討論或足夠的領(lǐng)悟體驗，而學生對此卻做了“向左邊的（未必是鄰近的）位數(shù)去借，而被借的數(shù)位上的數(shù)字不應是0”錯誤的推廣，應用自己已有的知識和經(jīng)驗去填補這一認知“空隙”，而這很可能就是一種不恰當?shù)耐茝V應用，從而產(chǎn)生負遷移現(xiàn)象。所以我覺得教師在整個教學過程中要常常思考那些所要給予的知識會不會給學生留下空隙，如何填補空隙，怎樣才能更好二、“出乎意料”的背后，暗藏“思維受阻礙”。教學除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法，幾乎每屆學生都會出現(xiàn)相同的錯誤，以下列舉教材最先安排的2個例題（例1：42÷2；例2：52÷2）【錯例點擊】豎式1豎式1豎式2豎式3【成因聚焦】除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法的基礎(chǔ)是表內(nèi)除法的正確計算和豎式寫法，如果要求學生先嘗試計算42÷2，必然有一部分學生將豎式寫成上面豎式1的形式。主要原因是學生能通過口算直接獲得42÷2的結(jié)果是21，所寫的豎式只不過是口算結(jié)果的表達；還有是學生受到表內(nèi)除法豎式計算的影響，只需先確定商，再用除數(shù)和商相乘，最后相減就可以了。教學例1后，學生已初步理解算理，了解了豎式的寫法。在教學例2時，我們教師總是期待學生會自覺遷移，讓學生自主計算。但事實上，學生的表現(xiàn)并沒有教師預料的那樣順利，往往出現(xiàn)以上豎式2，豎式3的現(xiàn)象。為什么學生學完例1學習例2時，思維受到了阻礙呢？顯然，52÷2的思考過程比42÷2復雜得多。42÷2只要把4捆小棒平均分成2份，每份2捆；再把零散的2根小棒平均分成2份，每份1根，最后把2捆和1根合并起來就是21根。而52÷2有“分整捆有剩余，剩下的整捆和零散合并”等過程。有些學生雖然掌握基本計算步驟，但因沒有經(jīng)驗對剩下的1捆不知如何處理，乃至忽略不計（豎式2）。還有些學生雖然知道要先分整捆再分零散部分，但在豎式中卻對兩次分得的結(jié)果沒有合并（豎式3）?？梢妼W生在例1學習中所獲得的經(jīng)驗還不足以支持對例2的正確處理?！緦Σ哝溄印砍龜?shù)是一位數(shù)的筆算除法不僅要讓學生掌握筆算除法的過程、理解每個步驟的算理，還要體會到規(guī)范豎式的優(yōu)勢?；谝陨蠈W生典型錯例，我覺得在教學這部分內(nèi)容時要關(guān)注兩點：1、建立直觀操作與口算思路之間的聯(lián)系在教學筆算42÷2之前，先讓學生試著計算并解釋方法的合理性，大部分學生會選擇口算，即40÷2=20，2÷2=1，20＋1=21，教師可以結(jié)合分小棒理解每一次計算的意義，即40÷2=20表示吧4捆小棒平均分成2分，每份2捆，也就是20根；2÷2=1表示把2根小棒平均分成2分，每份1根；20＋1=21表示把2捆和1根合起來是21根。2、建立思考過程與除法豎式之間的聯(lián)系在學生嘗試筆算42÷2過程中，必然會有不同的個性化豎式。從計算結(jié)果看不出它們的優(yōu)劣，教師可以引導學生思考：哪個豎式更能反映整個分小棒的過程？從而學生在頭腦中再現(xiàn)操作過程，并對應于豎式的每一個計算步驟，學生既理解了算理，又感受到了規(guī)范豎式的優(yōu)越性。同樣，在教學52÷2時也需要結(jié)合直觀操作或腦中表象理解豎式計算的原理。三、“融會貫通”的背后，暗藏“理解不透徹”如果說計算教學是支撐小學數(shù)學的最基本框架，那么“簡便計算”就是小學數(shù)學教學中的一部“重頭戲”，它被視作對學生進行思維訓練的一種重要手段。很多教過簡便計算的老師，或多或少都遇到過這樣的問題：上課時，幾乎所有的學生都能很好地理解每一條運算定律，并且還能根據(jù)運算定律舉一反三，看上去好像已經(jīng)融會貫通了，可是等到做作業(yè)時，就經(jīng)常把這些運算定律混淆起來使用,以至于教師只能重新對這些運算定律進行梳理。常見錯誤有以下幾類:錯例一：知覺性錯誤【錯例點擊】【成因聚焦】由于乘法結(jié)合律與乘法分配律在表現(xiàn)形式上十分相近，致使一些學生容易造成知覺上的錯誤，誤把乘法結(jié)合律當乘法分配律運用，這說明學生對這兩條運算定律的理解還不夠透徹。乘法分配律是乘法對于兩個數(shù)的和或差的分配律，而乘法結(jié)合律是幾個數(shù)連乘時，可以交換運算順序，像上題三個連乘應選用乘法交換律或乘法結(jié)合律，而不應選用乘法分配律?！緦Σ哝溄印棵鎸W生這類錯誤，教師不能簡單地從形式入手，告訴學生括號里是乘號時不能運用乘法分配律，只能當括號里是加法或減法時才能用乘法分配律。而應從乘法結(jié)合律和乘法分配律的意義入手，可以通過結(jié)合具體的情境讓學生加以理解，也可以通過讓學生對這兩條運算定律進行比較，深入地理解乘法結(jié)合律及乘法分配律的意義，自主建構(gòu)起知識體系。同時，教師可讓學生用兩種不同的思路加以練習（如下），以區(qū)別兩種運算定律的不同之處及其運用后所產(chǎn)生不同的簡便程度，這樣可以加深學生對這兩種運算定律的理解。

44×2544×25

＝（11×4）×25＝（40＋4）×25

＝11×（4×25）＝40×25＋4×25

＝11×100＝1000＋100

＝1100＝1100錯例二：意識性錯誤【錯例點擊】

【成因聚焦】遇到此類錯誤現(xiàn)象，我訪談了幾位這樣做的學生，他們都認為按順序做是比較方便的，但這樣就沒有運用運算定律，就不是簡便計算！也有的學生根本沒仔細看過題目，因為是簡便計算，所以拿上來就運用運算定律。這種錯誤是由于學生不正確的簡便意識所造成的，他們認為簡便計算一定要用運算定律，否則就不是簡便計算！【對策鏈接】簡便計算無論從其外在形式，還是內(nèi)在規(guī)律，都會給學生帶來一種美的享受，同時也會使學生自發(fā)地產(chǎn)生一種強烈的意識，那就是追求計算的簡便性。學生的這種簡便計算的意識正是我們所需要的，但處理得不好，容易使學生產(chǎn)生“簡便計算一定要用運算定律”的錯誤意識傾向，致使一些原本簡單的計算越做越繁。因此，在實際教學中，我們可以讓學生用兩種或多種方法計算，以加深學生對簡便計算的認識與體驗。如上題38×（25＋75），一種方法采用直接按運算順序計算，另一種方法運用乘法分配律計算，然后組織學生交流，談談用兩種方法計算的體會，說說“為什么運用了運算定律反而復雜了？”

四、“死記硬背”的背后，暗藏“生活經(jīng)驗缺失”在學習圖形與幾何的過程中，幾乎每一屆學生都有這樣的現(xiàn)象，即許多不同的學生屢屢出現(xiàn)一些相似的錯誤，【錯例點擊】【成因聚焦與對策鏈接】以上兩題學生出現(xiàn)錯誤源于思維定勢，都只是簡單地用大體積（面積）除以小體積（面積），沒有考慮到“長方體的長和高都不是2的整數(shù)倍”和“在長方形紙上剪圓形會有邊角料產(chǎn)生”這兩個實際情況，表現(xiàn)出傳統(tǒng)幾何教學中的突出問題——計算幾何的弊端。這就需要我們在幾何教學時一定要與生活實際相聯(lián)系，要注重培養(yǎng)學生分析解決實際問題的能力?！惧e例點擊】6分米6分米6分米4分米6分米4分米3分米4分米3分米4分米3分米（1）（2）（3）（4）（5）制作一個長方體魚缸時，用了下面5塊長方形的玻璃。問魚缸的底是（）號玻璃，魚缸深（）分米。面對這個問題，很多學生竟無從下手，只是胡亂的猜填?！境梢蚓劢古c對策鏈接】如果讓學生求長方體魚缸的體積或表面積，那么我相信每一個學生都會。可為什么讓學生將5個孤立的長方形根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)組合成一個長方體，學生會出現(xiàn)如此大的感知困難呢？我想其中最大的原因還是學生的空間觀念弱。他們只會機械得記公式和根據(jù)公式求一些常用的數(shù)據(jù)。課堂上學生很少接觸用一些長方形來拼長方體的實踐活動，以至于難以形成較強的空間觀念。因此在教學時，應讓學生在掌握長方體體積計算的基礎(chǔ)上進行充分動手操作，利用長方形學具創(chuàng)造長方體，充分認識長方體的特征。五、“理直氣壯”的背后，暗藏“審題偏差”【錯例點擊】【成因聚焦】大部分學生看到自己的答案被判錯誤，感到很納悶：水結(jié)成冰時，體積增加了，當冰融化成水時，體積當然減少了，怎么會錯呢？紛紛向我提出質(zhì)疑，態(tài)度非常理直氣壯。其實學生在審題時不知道在“水結(jié)成冰→冰化成水”的變化過程中，它們的單位“1”的量在發(fā)生著改變，它們的體積同樣也在發(fā)生著改變?！緦Σ哝溄印可鲜鲱}目中單位“1”的量是一個隱含和變化著的量，為克服學生審題時產(chǎn)生輕視、麻痹和粗心大意的不良心理，教師必須要作出認真審題的示范，要十分注重認真審題的引導，幫助學生正確理解“水結(jié)成冰→冰化成水”的變化過程中，它們的單位“1”的量不一樣、體積變化也不一樣。當水結(jié)成冰時，冰的體積比水增加了（是把水的體積作為單位“1”的量），水的體積原來是11份，結(jié)冰時增加，就成了12份；當冰融化成水時應該從12份中減少1份，水的體積應該比冰減少了（是把冰的體積作為單位“1”的量）?！惧e例點擊】【成因聚焦】大部分學生看到自己的答案被判錯誤時，都提出了質(zhì)疑：明明是200度以上，每度0.63元，怎么會錯呢？通過對學生進行訪談，許多學生說沒有認真分析，沒有領(lǐng)會階梯式計費的實際含義，在審題中出現(xiàn)了偏差，覺得小芳家五月份共用電268度，已經(jīng)超過200度，而200度以上每度是0.63元，即所付電費是0.63×268≈168.8（元）?！緦Σ哝溄印繉忣}中出現(xiàn)偏差是最好的教學素材，教師要充分利用這個素材，引導學生對“采用階梯式計費”進行認真“咬嚼”，通過追詞逐句的“咬嚼”后，學生的思路漸漸明了，同時也理解了0—50度部分、51—200度部分等所表達的意思，即268度可以分為3個部分，50度，150度和68度，需付電費為0.5×50＋0.53×150＋0.63×68≈147.3(元)。六、“束手無策”的背后，暗藏“要領(lǐng)掌握不清”每年的六年級畢業(yè)試卷，總會出現(xiàn)用平均分知識解答的題目，1、單價問題2、出油問題3、油耗問題 4、鋼材問題面對以上問題，學生往往束手無策，只是胡亂得用兩個數(shù)相除，出錯率總是居高不下?！境梢蚓劢埂科骄值母拍罱⒉坏轿唤鉀Q上述問題，主要用到的是平均分知識。我認為之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因為學生“平均分”的概念建立不到位。很多教師在教學“平均分”時，特別注重兩個問題的研究：一是什么叫平均分；二是怎么平均分。主要采取動手操作的教學方式幫助學生理解平均分的意義，獲得平均分的方法，求的平均分的結(jié)果，引進除法算式。而對平均分的要領(lǐng)——把“什么東西平均分”“平均分成幾份”卻研究得不多，這恰恰是解決上述幾個問題的關(guān)鍵。2、數(shù)學模型的建構(gòu)缺失“每千克橘子多少元”，這是一道典型的求單價的問題，可以直接利用“總價÷數(shù)量=單價”這一數(shù)量關(guān)系列式計算。為什么數(shù)量關(guān)系如此清晰的題目，學生還是出現(xiàn)錯誤呢？我想原因是數(shù)學模型的建構(gòu)缺失，即“總價、單價、數(shù)量”三個數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系沒有建立起來。由于新教材淡化了應用題解題方法的訓練，淡化了數(shù)量關(guān)系的概括，很多低年級教師不知道這些數(shù)量關(guān)系什么時候出現(xiàn)，在涉及相關(guān)問題的解決過程中是否要幫助學生總結(jié)、強化這些數(shù)量關(guān)系，使得學生在課堂教學中缺失了有目的的建構(gòu)數(shù)學模型的行為。大數(shù)除以小數(shù)的負遷移學習“平均分”到學習“除法”，再到“小數(shù)除法”，學生接觸到的凡是用除法解決的問題，都是用“大數(shù)除以小數(shù)”列式計算的，從來沒有出現(xiàn)用“小數(shù)除以大數(shù)”的現(xiàn)象。長此以往，學生在不斷的聯(lián)系中，逐漸形成這樣一種條件反射——當發(fā)現(xiàn)需要用除法解決問題時，根本不加考慮，直接用“大數(shù)除以小數(shù)”列式計算。此外，在學生初次接觸由平均分引入除法時，教師既沒有較好地引導學生總結(jié)、掌握“把什么東西平均分”“平均分成幾份”的解題策略，又沒有及時幫助學生建立數(shù)學模型，無形中加劇了學生看到除法就用“大數(shù)除以小數(shù)”的錯誤條件反射的建立，形成思維定勢?！緦Σ哝溄印恳弧㈥P(guān)注平均分的過程，理清平均分的要領(lǐng)在教學“平均分”時，我們不能把目光僅僅停留在理解“什么叫平均分、怎樣平均分”上，而要重點研究“把什么東西平均分、平均分成幾份”。在指導學生進行每一次平均分的過程中，不斷引導學生體會平均分時必須搞清楚這兩個關(guān)鍵問題。二、研究平均分的現(xiàn)象，適時建構(gòu)數(shù)學模型在“平均分”的教學過程中，我們要注重研究平均分的現(xiàn)象，透過現(xiàn)象抽象出具有一般規(guī)律性的知識，并加以總結(jié)、提煉，適時形成數(shù)量關(guān)系。同時幫助學生把教材中分散編排且不對數(shù)量關(guān)系進行整理的“解決問題”現(xiàn)狀加以分析，及時進行必要的梳理與整合，使學生較好地理解和