湖南省長(zhǎng)沙市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024年春季高二年級(jí)入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：______一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.★1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.★3.下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.4.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C.84 D.672★5.若，，則等于（）A. B. C. D.6.如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條對(duì)角線，、分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是（）A. B. C. D.7.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.8.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見(jiàn)到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1、2）；（與9互素有1、2、4、5、7、8）.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.★9.設(shè)，，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為 D.的最小值為10.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.的值域是C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.為偶函數(shù)11.在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.★12.設(shè)事件，相互獨(dú)立，且，，則______.13.已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為_(kāi)_____.14.已知雙曲線：，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)?出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.★16.（本小題滿分15分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知的外接圓半徑，且.（1）求和的值；（2）求邊上高的最大值.17.（本小題滿分15分）在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，.求：（1）的長(zhǎng)；（2）二面角的余弦值.18.（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

2024年春季高二年級(jí)入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案CBBBACCA1.C2.B【解析】由已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.3.B4.B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.5.A【解析】因?yàn)?，且，所以，解?因?yàn)?，所以?故選A.6.C【解析】如圖，在正方體中，，，則平面，所以.同理，，所以平面.若，則平面.在A，B，D中，都與平面相交，在C中，平面.所以.7.C【解析】①當(dāng)時(shí)，斜率不存在，傾斜角為；②當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為；③當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為.綜上，直線的傾斜角的取值范圍為.8.A【解析】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則，于是.二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011答案ACDBCDBD9.ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，解得，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).故選：ACD.10.BCD【解析】由已知，.當(dāng)時(shí)，，則不單調(diào)；因?yàn)?，，則的值域是；因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；為偶函數(shù).11.BD【解析】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的法向量為，所以令，則，即平面的一個(gè)法向量為.若平面，則，即，，令，解得.即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解析】，故，.13.【解析】作軸截面圖如圖.由已知，，，則，在中，.設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法，得，所以內(nèi)切球體積.14.【解析】設(shè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以，，由雙曲線的定義知，，，所以，，又，所以，即，在中，由余弦定理知，，所以，即，整理得，，即，所以離心率.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，，整理得，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，.（2）因?yàn)椋?，所以?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成認(rèn)2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.16.【解析】（1），，，即，，，，，又，.的外接圓半徑為，∴由正弦定理，可得.（2）由余弦定理得，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，故面積的最大值為，由可得，邊上高的最大值為.17.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，所以，即，解得（負(fù)值舍去），故的長(zhǎng)為4.（2）設(shè)平面的法向量為，由題意知，則由令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，易得平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的余弦值為.18.【解析】（1）因?yàn)?，由橢圓定義，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，又，則，橢圓的方程為.（2）由解得或因此.設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由得.，故.又，的交點(diǎn)在，之間，故.因?yàn)橹本€的斜率為1，所以.又四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以四邊形