2023學(xué)年天水市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)段檢測試卷附答案解析

學(xué)年天水市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)段檢測試卷（滿分：150分時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）A． B． C． D．3．若在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則邊上的中線的長是（

）A． B．2 C． D．34．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．

C．

D．

5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．7．已知，則大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．-2是函數(shù)的極大值點，-1是函數(shù)的極小值點B．0是函數(shù)的極小值點C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是11．已知函數(shù)存在個不同的正數(shù)，，使得，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5 B．的最大值為4C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，若，則.13．對上可導(dǎo)的函數(shù)，若滿足，且，則的解集是．14．已知定義域為的函數(shù)，對，若存在，對任意的，有恒成立，則稱為函數(shù)的“特異點”.函數(shù)在其定義域上的“特異點”個數(shù)是個.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，．

(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．16．已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)設(shè)，求過點的切線方程．17．已知函數(shù)．(1)求證：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)的取值范圍．18．二十大報告中提出：全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某農(nóng)副產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入年固定成本4萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足6萬件時，，在年產(chǎn)量不小于6萬件時，.每件產(chǎn)品售價8元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？19．若時，函數(shù)取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點.已知函數(shù)，其中為正實數(shù).(1)若函數(shù)有極值點，求的取值范圍；(2)當(dāng)和的幾何平均數(shù)為，算術(shù)平均數(shù)為.①判斷與和的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；②當(dāng)時，證明：.1．B【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中點的對稱性計算即可得.【詳解】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，根據(jù)關(guān)于平面對稱的兩個點的橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，則有，故該點為.故選：B.2．D【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計算作答.【詳解】由已知得．故選：D．3．C【分析】利用中點坐標(biāo)公式求出中點的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點間的距離公式即可得出中線長.【詳解】由圖可知：，，，由中點坐標(biāo)公式可得的中點坐標(biāo)為，根據(jù)空間兩點間距離公式得邊上的中線的長為.故選：C4．C【分析】根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C.5．A【分析】直接求導(dǎo)，再令，解出不等式即可.【詳解】，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.6．C【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得出；最后令即可求解.【詳解】設(shè)注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當(dāng)時，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為.故選：C7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其在上的單調(diào)性即可得.【詳解】令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，故，即.故選：D.8．A【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，所以，令，則,當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；所以，故.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.9．AC【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：AC10．BC【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，得出正確選項.【詳解】由題意可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以0是函數(shù)的極小值點，所以B，C正確，A，D錯誤.故選：BC11．BD【分析】作出的圖象，利用的幾何意義是過原點的直線與相交點的斜率，結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可.【詳解】的幾何意義為過點，的直線的斜率.如圖所示，易知直線與的圖象最多只有4個交點，故的最大值為4，故A錯誤，B正確.當(dāng)直線與曲線相切時，取得最大值，設(shè)切點為，則該直線的斜率為，又，則，所以，解得，得，所以故C錯誤，D正確.故選：BD.12．【分析】由空間向量數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示列出方程即可求解.【詳解】已知向量，若，則，解得.故答案為：.13．【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式即可.【詳解】令，，而，易知，故，則在上單調(diào)遞增，而，若，則，則.故答案為：14．1【分析】根據(jù)題意知“特異點”為的極大值點，所以通過分析的極大值點個數(shù)即可得解.【詳解】由題意知“特異點”為的極大值點，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，，故不存在.又因為，易知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，故不可能有“特異點”，當(dāng)時，設(shè)，則，令，則；，則；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為的極大值點，即為的“特異點”.綜上所述，在其定義域內(nèi)僅有一個“特異點”.故答案為：1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解“特異點”的意義，發(fā)現(xiàn)其為的極大值點，從而得解.15．(1)；(2).【分析】（1）利用向量對應(yīng)線段位置關(guān)系，應(yīng)用向量加減法幾何意義用，，表示出，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長即可；（2）應(yīng)用向量加減幾何意義和數(shù)量積的運(yùn)算律求、，再利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值．【詳解】（1）設(shè)，，，則，，，又，則.（2）由，則，則.，故異面直線與所成角的余弦值為．16．(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)即可.（2）先設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)表示斜率，建立方程求出參數(shù)，再寫切線方程即可.【詳解】（1）定義域為，，而，而已知，可得，解得，故的值為，（2），設(shè)切點為，設(shè)切線斜率為，而，故切線方程為，將代入方程中，可得，解得(負(fù)根舍去)，故切線方程為，17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定圖象，可證明曲線與直線只有一個交點.（2）將既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為有兩個變號零點問題，討論零點位置可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得：，令，得；令，得；則函數(shù)在上遞增，在上遞減，故，所以曲線與直線只有一個交點.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，設(shè)，令，解得，.因為既存在極大值，又存在極小值，即在有兩個變號零點，則，解得且，綜上所述：的取值范圍為.18．(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.【分析】（1）分和討論計算即可；（2）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值，時，利用基本不等式求出其最值，比較大小即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以.（2）當(dāng)時，，令，解得.當(dāng)，，當(dāng)，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.19．(1)(2)①答案見解析；②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)之后構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用對稱軸，判別式，特殊值討論即可；（2）①證明右邊時先將不等式變形為，令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明；再將左邊變形為，令，同樣構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明.②恒成立問題，作差之后利用一問的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再求最大值小于零即可.【詳解】（1）在上有變號零點，即在上有變號零點.①若，即時，只需矛盾，②若，即