專題1.3 集合的基本運(yùn)算【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題1.3集合的基本運(yùn)算【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1并集的運(yùn)算】 2【題型2根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)】 3【題型3交集的運(yùn)算】 4【題型4根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)】 5【題型5補(bǔ)集的運(yùn)算】 7【題型6交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算】 8【題型7集合混合運(yùn)算中的求參問題】 9【題型8Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算】 11【知識(shí)點(diǎn)1并集與交集】1．并集的概念及表示自然語言符號(hào)語言圖形語言由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集的概念及表示自然語言符號(hào)語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)兩個(gè)集合的并集、交集還是一個(gè)集合．(2)對(duì)于A∪B，不能認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因?yàn)锳與B可能有公共元素，每一個(gè)公共元素只能算一個(gè)元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．【題型1并集的運(yùn)算】【例1】（2023·高一單元測(cè)試）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，則A∪B=（

）A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)【解題思路】直接利用并集的定義求解.【解答過程】因?yàn)榧螦=[3,7),所以A∪B=故選：A.【變式1-1】（2023春·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=-1,0,1,BA．1 B．1,2 C．-1,0,1 D．【解題思路】先求出集合B，再由并集的定義求出A∪【解答過程】由B=x∣可知A∪故選：D.【變式1-2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知集合M,N，滿足M=A．M?N B．N?M C．【解題思路】由集合的包含關(guān)系判定即可.【解答過程】集合與集合的關(guān)系不能用元素與集合的關(guān)系來表示，故C、D錯(cuò)誤，而M=M∪N說明N中元素都在集合故選：B.【變式1-3】（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=1,3,5,7，B=x-A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】應(yīng)用并運(yùn)算求A∪B【解答過程】由題設(shè)B={1}，所以A∪B={1,3,5,7}故選：B.【題型2根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)】【例2】（2023·湖北荊門·?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A=a,5-a,4，B=3,2aA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)并集的結(jié)果，分類討論當(dāng)2a+1=2、2a+1=5時(shí)集合A【解答過程】A={當(dāng)2a+1=2即a=當(dāng)2a+1=5即a=2時(shí)，A所以a=2故選：B.【變式2-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A=x1<x<3，B=xA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用集合的并集運(yùn)算求解.【解答過程】因?yàn)榧螦=x1<x<3所以a=4故選：D.【變式2-2】（2023·北京·校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=-1,0,1，若A∪BA．? B．-1,0,1 C．2,3,4 D．【解題思路】根據(jù)并集定義計(jì)算，選出正確答案.【解答過程】-1,0,1∪?=--1,0,1∪--1,0,1∪2,3,4-1,0,1∪1,2,3=故選：D.【變式2-3】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二校考期中）設(shè)集合M=x-3<x<7，N=A．t≤13 B．13<t【解題思路】根據(jù)M∪N=M，可得N?M【解答過程】因?yàn)镸∪N=當(dāng)2-t≥2t+1，即當(dāng)N≠?則2t+1≤72-綜上所述實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≤3故選：C.【題型3交集的運(yùn)算】【例3】（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=-1,0,1,2,BA．-1,1 B．1,2 C．-1,0,1 D【解題思路】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解答過程】由集合A=根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得A∩故選：B.【變式3-1】（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知集合M={x∣x+2≥0},A．{x∣-C．{x∣x【解題思路】先化簡(jiǎn)集合M,N【解答過程】由題意，M={x∣根據(jù)交集的運(yùn)算可知，M∩故選：A.【變式3-2】（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=0,1,2,4，B=xxA．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】根據(jù)交集的運(yùn)算可得.【解答過程】由集合A=0,1,2,4，B=xx故選：C.【變式3-3】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）若集合A=(x,y)|xA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】用列舉法表示集合A，再根據(jù)交集的定義求出A∩B【解答過程】因?yàn)锳=又B=所以A∩B=0,4,1,3故選：C.【題型4根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)】【例4】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=-1,0,1，B=a,aA．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【解題思路】根據(jù)集合的并集的結(jié)果分類討論求參數(shù).【解答過程】由于A∩B=若a=0，則a2-3若a2-3aa=1時(shí)，B=0,1a=2時(shí)，B因此a=0或2故選:C.【變式4-1】（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=3,4,2a-4，B=aA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)交集結(jié)果得到a=3，a=4或a【解答過程】因?yàn)锳∩B≠?，所以a=3，當(dāng)a=3時(shí)，2當(dāng)a=4時(shí)，2當(dāng)a=2a-4時(shí)，a故選：A.【變式4-2】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知集合A=1,2,3，B=xx2-A．3,1 B．3,4 C．2,3 D．3,-1【解題思路】由A∩B=3求得【解答過程】由題意可知，3∈B，即32-所以B=故選：D.【變式4-3】（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=xx-1≤2,A．5,+∞ B．-∞,5 C．0,+【解題思路】化簡(jiǎn)集合A，由條件可得A?B，根據(jù)集合關(guān)系列不等式求a【解答過程】因?yàn)閤-所以x∈1,2,3,4,5，即因?yàn)锳∩B=A，所以所以a≥5故實(shí)數(shù)a的取值范圍是5,+∞故選：A.【知識(shí)點(diǎn)2補(bǔ)集與全集】1．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)符號(hào)表示：全集通常記作U.2．補(bǔ)集定義文字

語言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合

A的所有元素組成的集合稱為集合A相

對(duì)全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，

記作?UA符號(hào)

語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形

語言性質(zhì)(1)

(2)【注】?UA的三層含義：(1)?UA表示一個(gè)集合；(2)A是U的子集，即A?U；(3)?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．【題型5補(bǔ)集的運(yùn)算】【例5】（2023春·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知集合U=xx>1，A=A．x1<x≤2C．xx>2 D【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【解答過程】因?yàn)閁=xx所以?U故選：A.【變式5-1】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合U=x|2-x>0，AA．-3,2 B．-3,2 C．-∞【解題思路】首先求出集合U、A，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【解答過程】因?yàn)閁=x|2-所以?U故選：B.【變式5-2】（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┮阎疷=1,3,5,且?UA=3A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】求出集合A后,寫出集合A的真子集,數(shù)出個(gè)數(shù)即可.【解答過程】解:由題知U=1,3,5,所以A=所以集合A的真子集有:?,共3個(gè).故選:B.【變式5-3】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知全集U=1,2,3,4,5,A．1∈A,1?BC．3∈A,3?B【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集的概念結(jié)合元素與集合的關(guān)系即可得答案.【解答過程】因?yàn)閁=1,2,3,4,5,又?UB=所以3∈A,3?B，故ABD錯(cuò)誤，故選：C.【題型6交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算】【例6】（2023春·天津南開·高二?？计谀┘螦={x∣-1≤x<2}，B={A．{x∣-1≤xC．{x∣-1≤x【解題思路】由交集與補(bǔ)集的定義求解即可.【解答過程】因?yàn)榧螧={x∣x>1}故選：B.【變式6-1】（2023春·天津南開·高二統(tǒng)考期末）若U=x|x<9,x∈N*A．4,8 B．2,4,6,8C．1,3,5,7 D．1,2,3,5,6,7【解題思路】用列舉法表示全集U，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.【解答過程】依題意，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，而A=1,2,3則?U所以??故選：A.【變式6-2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集U=Z，集合A=-2,-1,0,1,2A．A∩B B．A∪B C．【解題思路】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【解答過程】A∩B=-1,0,1,2,A故選:C.【變式6-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集U={a,b,c,d,e}，?UM∩P=A．P={a} B．M={a,【解題思路】由題意畫出Venn圖，即可得出答案.【解答過程】由題意畫出Venn圖如下，

可得：P={a,d,e}故選：D.【題型7集合混合運(yùn)算中的求參問題】【例7】（2022秋·廣西欽州·高一?？计谥校┰O(shè)全集U=R，集合A={x∣x2A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【解題思路】由A∩(?UB)={2}可知2∈A，由此即可解出a=4，則可求出A={-6,2}【解答過程】因?yàn)锳所以2∈所以22+2ax2+4所以A={-6,2}所以-6∈B所以(-6)2-6b+且22+2b所以b=2故選：B.【變式7-1】（2023·江蘇無錫·江蘇省?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A={x∈Z|-1<x<3}，BA．0,4 B．0,4 C．0,3 D．0,3【解題思路】先求得A={0,1,2},B={x|x【解答過程】由集合A={x∈可得?R因?yàn)锳∩?RB=1,2，所以0<a故選：C.【變式7-2】（2022秋·河南濮陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=x2<x<3，B=xA．m≥2 B．m<2 C．m≤2【解題思路】求出集合A的補(bǔ)集，再由?RA∪【解答過程】∵A=x2<x∵?RA∪B故選：C．【變式7-3】（2022·云南·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合U={x,y|x∈R,y∈A．-6 B．1 C．4 D．【解題思路】根據(jù)P2,3∈A∩【解答過程】A={x,由于P2,3所以2×2-3+m≥02+3-所以m+n≥4，即m故選：C.【知識(shí)點(diǎn)3Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算】如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個(gè)集合運(yùn)算結(jié)果的Venn圖表示.【題型8Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算】【例8】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}

A．-2,0 B．C．-2,0∪4【解題思路】利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合Venn圖即可求解.【解答過程】因?yàn)锳={xx≥4或x≤0}所以A∪B={xx≥4或A∩B={xx≥4或由題意可知陰影部分對(duì)于的集合為?U所以?U?UA∩故選：D.【變式8-1】（2023·湖南邵陽·邵陽市?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，集合A,B均為U的子集，?U

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【解題思路】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.【解答過程】因?yàn)?UB表示除集合B以外的所有部分，即為Ⅰ和所以?UB∩A表示?故選：B.【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，I是全集，A，B，C是I的三個(gè)子集，則圖中陰影部分表示（

）

A．A∩B∩C．A∩B