數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)頂層設(shè)計(jì)配餐作業(yè)函數(shù)與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精配餐作業(yè)（十一)函數(shù)與方程(時(shí)間:40分鐘）一、選擇題1．函數(shù)f（x)＝eq\f（2,x）＋lneq\f（1,x－1)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．（1,2) B．(2,3)C．（3，4） D．（1，2）與(2,3)解析f(x)＝eq\f(2,x)＋lneq\f（1，x－1）＝eq\f（2，x)－ln（x－1），當(dāng)1〈x<2時(shí)，ln（x－1)<0，eq\f(2,x）>0，所以f（x）〉0，故函數(shù)f(x）在（1，2)上沒有零點(diǎn).f（2）＝1－ln1＝1〉0,f（3）＝eq\f(2，3）－ln2＝eq\f(2－3ln2,3）＝eq\f(2－ln8，3)?！遝q\r(8)＝2eq\r(2）≈2。828>e，∴8〉e2，即ln8〉2，即f(3)〈0。又f(4)＝eq\f(1,2)－ln3<0,∴f(x)在（2，3）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)。故選B。答案B2．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x,x>1，））則函數(shù)f(x）的零點(diǎn)為()A。eq\f（1,2），0 B．－2，0C。eq\f（1，2） D．0解析當(dāng)x≤1時(shí),由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x〉1時(shí),由f(x）＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f（1，2)，又因?yàn)閤>1,所以此時(shí)方程無解。綜上函數(shù)f（x)的零點(diǎn)只有0，故選D。答案D3．函數(shù)f（x）＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)內(nèi)（）A．沒有零點(diǎn) B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D．有無窮多個(gè)零點(diǎn)解析令f（x）＝0，得eq\r(x）＝cosx,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)y＝eq\r(x）與y＝cosx的圖象如圖所示,由圖象知,兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，從而方程eq\r（x)＝cosx只有一個(gè)解。所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。故選B。答案B4．方程｜x2－2x|＝a2＋1（a〉0）的解的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析（數(shù)形結(jié)合法）∵a>0，∴a2＋1〉1。而y＝｜x2－2x|的圖象如圖，∴y＝｜x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)。故選B。答案B5．已知函數(shù)f（x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)A．（0,1） B．（0，1］C．（－∞,1） D．（－∞，1］解析令m＝0，由f(x)＝0得x＝eq\f（1，3），滿足題意,可排除選項(xiàng)A,B.令m＝1,由f（x）＝0得x＝1，滿足題意，排除選項(xiàng)C.故選D.答案D6．設(shè)函數(shù)y＝f(x）滿足f（x＋2)＝f(x）,且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f（x)＝|x｜，則函數(shù)g(x)＝f(x）－sinx在區(qū)間［－π，π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3C．4 D．5解析要求函數(shù)g（x)＝f（x)－sinx的零點(diǎn)，即求方程f(x)－sinx＝0的根，將其轉(zhuǎn)化為f(x）＝sinx的根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝sinx的圖象交點(diǎn)的問題.在同一坐標(biāo)系下，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，可知在區(qū)間[－π，π］上有3個(gè)交點(diǎn)。故選B。答案B二、填空題7．已知f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1,，－x2＋2x＋3,x〉1，))則函數(shù)g(x）＝f(x)－ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。解析函數(shù)g(x)＝f（x）－ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x）與y＝ex的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。作出函數(shù)圖象可知有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）＝f(x）－ex有2個(gè)零點(diǎn).答案28．函數(shù)f（x）＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)（n∈N）內(nèi)，則n＝________.解析求函數(shù)f（x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn),可以大致估算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f（2)＝－1＋ln2,由于ln2〈lne＝1，所以f（2)〈0，f（3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f（3）>0,所以函數(shù)f（x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3）內(nèi)，故n＝2.答案29．已知函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程f(x）＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。解析關(guān)于x的方程f（x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是（－1,0）.答案（－1，0）三、解答題10．已知函數(shù)f（x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，(1）求m的值；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)。解析(1）因?yàn)閒（x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0僅有一個(gè)實(shí)根。設(shè)2x＝t(t>0)，則t2＋mt＋1＝0。當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m2－4＝0，所以m＝－2時(shí)，t＝1;m＝2時(shí),t＝－1(不合題意，舍去)。所以2x＝1，x＝0符合題意。當(dāng)Δ〉0時(shí)，即m〉2或m〈－2時(shí)，t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn).所以這種情況不符合題意.綜上可知：當(dāng)m＝－2時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)。（2）由（1）可知,該函數(shù)的零點(diǎn)為0。答案(1）m＝－2(2)011．已知函數(shù)f（x）＝－x2－2x，g（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,4x),x>0，,x＋1，x≤0.))（1）求g[f（1）]的值；（2）若方程g[f(x）］－a＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析（1）利用解析式直接求解得g［f(1）]＝g(－3)＝－3＋1＝－2。(2)令f(x)＝t,則原方程化為g(t)＝a，易知方程f（x)＝t在t∈(－∞，1）內(nèi)有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y＝g（t)（t<1)與y＝a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝g(t）(t<1）的圖象，由圖象可知，當(dāng)1≤a〈eq\f（5,4）時(shí)，函數(shù)y＝g(t)(t〈1)與y＝a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（5，4))）.答案(1）－2(2)eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f(5，4））)（時(shí)間：20分鐘)1．已知實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則函數(shù)f(x）＝ax＋x－bA．(－2，－1) B．（－1,0）C．（0,1) D．(1,2）解析∵2a＝3,3b＝2，∴a〉1，0<b又f（x）＝ax＋x－b，∴f（－1）＝eq\f（1，a）－1－b〈0，f(0）＝1－b>0，從而由零點(diǎn)存在性定理可知f（x)在區(qū)間（－1,0)上存在零點(diǎn).故選B。答案B2．(2016·湖南考前演練)設(shè)x0是函數(shù)f（x)＝2x－｜log2x｜－1的一個(gè)零點(diǎn)，若a>x0，則f(a）滿足（）A．f(a）〉0 B．f（a)〈0C．f(a）≥0 D．f(a)≤0解析當(dāng)x〉1時(shí)，f(x）＝2x－log2x－1，易證2x>x＋1>x.又函數(shù)y＝2x的圖象與y＝log2x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以2x>x＋1>x〉log2x，從而f(x）〉0。故若a>1，有f(a)〉0；若0〈a≤1，因?yàn)楫?dāng)0<x≤1時(shí)，f（x)＝2x＋log2x－1,顯然f（x）單調(diào)遞增，又f(1)＝1〉0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))＝eq\r(2)－2<0,所以x0是f（x）唯一的零點(diǎn)，且0〈x0〈1，有f(a）〉0，故選A。答案A3．（2016·安慶二模）設(shè)函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x，0≤x〈1，，\f（1，fx＋1）－1,－1<x<0，)）g（x)＝f(x）－4mx－m，其中m≠0。若函數(shù)g（x)在區(qū)間（－1,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≥eq\f（1，4)或m＝－1 B．m≥eq\f(1,4)C．m≥eq\f(1,5）或m＝－1 D．m≥eq\f(1,5）解析f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x，0≤x〈1，,\f（1,x＋1）－1，－1〈x<0。)）作函數(shù)y＝f(x）的圖象，如圖所示.函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?函數(shù)y＝f(x）的圖象與直線y＝4mx＋m交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。當(dāng)直線y＝4mx＋m過點(diǎn)(1，1）時(shí)，m＝eq\f（1，5);當(dāng)直線y＝4mx＋m與曲線y＝eq\f(1，x＋1)－1（－1<x〈0）相切時(shí)，可求得m＝－1。根據(jù)圖象可知當(dāng)m≥eq\f（1，5）或m＝－1時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1，1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故選C。答案C4．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為－4,且關(guān)于x的不等式f（x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}。(1）求函數(shù)f（x)的解析式；（2)求函數(shù)g(x)＝eq\f（fx,x)－4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析(1)∵f（x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為｛x｜－1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）＝a（x＋1)（x－3）＝ax2－2ax－3a，且a∴f（x)min＝f（1)＝－4a＝－4，a故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.（2）∵g(x)＝eq\f（x2－2x－3，x)－4lnx＝x－eq\f（3,x）－4lnx－2（x〉0)，∴g′（x)＝1＋eq\f(3,x2)－eq\f(4，x)＝e