2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知集合工="|一1<》<3/€用，則/的子集共有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.16個(gè)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意先求得集合4={0,1,2},再求子集的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由/={x|-l<x<3,xeN},得集合{={0,1,2}

所以集合A的子集有23=8個(gè)，

故選：C

2.若命題“VxeR,辦2+120"為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<l

【正確答案】B

【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得。的取值范圍.

【詳解】依題意命題“VxwR,亦2+]±0"為真命題，

當(dāng)。=0時(shí)，120成立，

當(dāng)a>0時(shí)，ax?+120成立，

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=爾+1開(kāi)口向下，ax2+120不恒成立.

綜上所述，a20.

故選：B

3.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),f(x)=x\nx+3xf(\),則/(e)=()

【正確答案】C

【分析】先求出/'(x)=l+lnx+3/'(l),然后令x=l求出/'⑴，然后即可求出了'(e).

【詳解】因?yàn)?(x)=xlnx+34'(l)

所以1(x)=l+lnx+3(⑴

令x=i時(shí)有/"⑴=1+3/⑴，所以/，(i)=_；

3

所以/(^)=x\nx--x

?1

所以/'(e)=l+lne_/=5

故選：C

4.基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者

傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，

可以用指數(shù)模型/(，)=/來(lái)描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間，(單位：天)的變化規(guī)律，指

數(shù)增長(zhǎng)率廠與凡，T近似滿足凡=1+”,有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出凡=3.28,7=6.據(jù)

此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加2倍需要的時(shí)間約為()(參考數(shù)據(jù):

ln3-1.098)

A.2天B.5天C.4天D.3天

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題中所給的函數(shù)模型求出指數(shù)增長(zhǎng)率的值，然后根據(jù)濟(jì)迎+，)=30叱，求出答案

即可.

R,-]328-1

【詳解】因?yàn)?=3.28,7=6,4=1+”,則指數(shù)增長(zhǎng)率『==0.38

T6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加2倍需要的時(shí)間為4天

所以/⑺=e”=,則e。網(wǎng)e)=3eo.38,

所以發(fā)啊=3,即0.3M=ln3.

In31.098./丁、

所以公而〃言“3(天工

故選：D

5.已知函數(shù)/⑶是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(x)=-/(x+l),數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1、公

差為1的等差數(shù)列，則/(4)+/(%)+/(%)+…+/3J的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】B

【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性首先求出函數(shù)/(x)是以2為周期的函數(shù)，且/⑴+/(2)=0,而

數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=〃，則可將所求轉(zhuǎn)化為25(/。)+/(2))+/⑴=/11),再根據(jù)函數(shù)的

奇偶性可得"0)=0,從而有/⑴=0,即可求得結(jié)果.

【詳解】=+：.f(x+2)=-f(x+l)=f(x),

即/(x)是以2為周期的函數(shù)，

而/(x)=-/(x+l),A/(1)+/(2)=0,

又???數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，二%=n,

二/(4|)+/(。2)+/(4)+…+/(%J

=/(1)+/(2)+/(3)++/(51)

=25(/(1)+/(2))+/(1)=/(1),

又：/⑴是定義在R上的奇函數(shù)，.??〃0)=0,

而/'(x)=-〃x+l),.?./(())+/⑴=0,.?./⑴=0,

“(4)+/(%)+〃％)+,“+/(。51)=0.

故選：B.

6.己知均為等差數(shù)列的｛叫與｛〃,｝的前〃項(xiàng)和分別為，，T?,且手=孑苧貝I」；詈的

值為()

7?21C13-15

A.-B.—C.——D.—

41067

【正確答案】A

【分析】設(shè)5,=而(2〃+3),7＞析(〃+1),由能=55-邑，bH即可求解結(jié)果.

q+%_2as_as又因?yàn)楫?dāng)=2〃+3

【詳解】因?yàn)?/p>

4+狐耽b6H+1

所以可設(shè)S〃=飆(2〃+3),北=加(〃+1),

則％=S5-S4=65k-44k=21k,"="一4=4"-3詼=1"

~421+Qq7

所以,二不，即士/■=[.

412d+?4

故選：A

7.已知/(x)定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，〃x)=(x-l)3,當(dāng)xe[l,3]時(shí),

/(x+w)427/(x)有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值()

A.8B.6C.4D.2

【正確答案】A

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得x>0時(shí)，/(x)=(x+l)3,且在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而，當(dāng)分加40

時(shí)，/。+〃?)427/(到恒成立：當(dāng)〃?>0時(shí)，結(jié)合單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+m+143x+3在

xe[1,3]上有解，進(jìn)而得等<3,再解不等式即可得最大值.

【詳解】因?yàn)椤▁)定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=(x-l)3,/(O)=O,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=-/(-x)==(x+iy,

所以當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)〃x)=(x+l)3單調(diào)遞增，

x<0時(shí)，/(x)=(x-1)3單調(diào)遞增，/(%)<-1；

所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)TV)在R上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)加40時(shí)，由于X€[1,3],故x+znWx,/(x)>0,此時(shí)/(x+zn)427/(x)恒成立，

當(dāng)，”>0時(shí)，x+m>x,

所以，當(dāng)xw[l,3]時(shí)，/(X+M)V27/(X)有解等價(jià)于(x+,+l)3427(x+l)3=(3x+3)3在

xe[1,3]上有解，

所以，由/㈤在R上單調(diào)遞增得X+/+143X+3在xe[l,3]上有解，即土」在xe[l,引上

2

有解，

所以‘二工43,即機(jī)48.

2

所以，實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為8.

故選：A

8.已知。為函數(shù)/(x)=log2X-：的零點(diǎn)，b=&,c=底，則。、b、c的大小關(guān)系正確

的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【正確答案】B

【分析】對(duì)b、c,同時(shí)進(jìn)行6次方運(yùn)算，利用y=f的單調(diào)性比較大??；

先利用零點(diǎn)存在定理判斷出<?<2

對(duì)。、C,同時(shí)進(jìn)行3次方運(yùn)算，利用y=x3的單調(diào)性比較大?。?/p>

對(duì)。、從同時(shí)進(jìn)行平方運(yùn)算，利用、=/的單調(diào)性比較大小.

【詳解】因?yàn)?=五，c*,

所以加=06=63＞圖=15|,d=（溝6="＜（3.2）2=10.24,

所以尸＞。6.

因?yàn)閥=4在（0,+力）上單增,所以b＞c.

因?yàn)?。為函?shù)/'（x）=log2X-J的零點(diǎn)，所以/（"）=唳2"：=0

因?yàn)閥=1082》為增函數(shù)，y=-‘為增函數(shù)，所以/（x）=log2x-L為增函數(shù)，所以

XX

〃x）=log,x-L有且僅有一個(gè)零點(diǎn)a.

X

乂/圖=唾2圖+1°瓦圖尚因?yàn)?（|廠=（H，2：=4；，所以1＜2：所以

同外閭號(hào)也值后一

2

，（工卜°&］，飛=晦（；）彘，因?yàn)椤?俏）*a43；,2；=32；，所以號(hào)＞2，，所以

551⑸」5

霆）=1%（野十地（［"＞0；由零點(diǎn)存在定理，可得.2

55

所以09。3=0^）=乃，所以＞（'）=仁=3.375＞乃=。3.

因?yàn)閥=%3在（0,+紇）上單調(diào)遞增，所以

因?yàn)?＜。＜于所以=2.56,而為=e*2.71828,所以匕2〉。2.

因?yàn)?=4在（0,+8）上單調(diào)遞增,所以、＞〃.

所以b＞4＞C.

故選：B

二、多選題

9.下列敘述中正確的是（）

A.{0}cN

B.若xeAB,則xe4U8

C.已知awR,則“/〈a?”是“a<6<0”的充要條件

D.命題“VxeZ,x?>0”的否定是“mx°eZ,x：40"

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,利用子集的定義即可判斷；對(duì)于B,利用并集和補(bǔ)集的定義即可判斷：對(duì)

于C,舉反例即可判斷；對(duì)于C,全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，即可判斷

【詳解】對(duì)于A：集合N中包括0,故{0}qN,故A正確；

對(duì)于B：若xeNB,說(shuō)明集合N和8中均包括元素x,則xeZUB,故B正確；

對(duì)于C已知aeR,當(dāng)6=1,。=-2時(shí)，滿足/</,而方>0,所以“2<°2”是"q<b<o"

的充要條件為假命題，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D：由全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，則命題“VxeZ,X?>0"的否定是Tx。wZ,

x：40”，故D正確.

故選：ABD

10.以下結(jié)論正確的是（）

A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（七,％）,（X2,%）,L,（x,j,,）,由此得

到的線性回歸方程為5=般+機(jī)回歸直線$=叔+￡至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（孫必），（X2，%）,L,（土,”）

中的一個(gè)點(diǎn)；

B.相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

C.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（〃,。），若￡（X）=30,。（刈=20,貝ljp=；

D.設(shè)J服從正態(tài)分布N（0,l）,若尸偌>l）=p,則

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的強(qiáng)弱關(guān)系可判斷選項(xiàng)

B,根據(jù)二項(xiàng)分布的特征可判斷選項(xiàng)C,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,由回歸直線的特征可知：樣本點(diǎn)不一定在回歸直線上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(〃,p),且E(X)=30,Z)(X)=20,則

〃0二30，解得：p=;

故選項(xiàng)C正確;

np(l—p)=20

對(duì)于D,若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(o,l),則其圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱(chēng)，若P《>1)=P，則

P(O<4<1)=；-P，所以尸故選項(xiàng)D正確.

故選.BCD

S28

11.已知S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，q=l，'記a=(T)"d，q,=[ig““]，其

中卜]是高斯函數(shù),表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[lg0.9]=0,[lg99]=l,則下列說(shuō)法正確

的是()

111n

Aa=nR------1--------F…d------=---------

"4邑S,〃+1

C.4+&+…+4oo=5050D.G+c2+%+…+Gooo=1893

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)，可的區(qū)=：,再根據(jù)4=1和等差數(shù)列

通項(xiàng)公式，可求出等差數(shù)列｛”,｝的公差為"，進(jìn)而求出％=〃，即可判斷選項(xiàng)A正確；根據(jù)

4=〃可得S.="加,即!=2f---5-1再利用裂項(xiàng)相消法即可求出!+?+…，

進(jìn)而判斷B是否正確：根據(jù)氏=〃可得&,=4〃二為I=-(2〃-I)2,可證數(shù)列出“+%-｝是

首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，又4+仄+…+甌。相當(dāng)于數(shù)列物2“+ae｝前50項(xiàng)和，由此

即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷C是否正確；根據(jù)知=〃可得c"=[lg〃],分別求出正自然數(shù)〃在區(qū)

間[1,9],[10,99],[100,999]中的通項(xiàng)公式，以及〃=1000時(shí)的值，再求J+c2+G+…+/oo，

即可判斷D是否正確.

（q+%）x7

【詳解】由E,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，所以1r=（°+：）x5=筌=f|'即詈=3：

2

又q=l,設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,所以幺所以d=l,

7%〃i+2d3

所以%=",故A正確；

由選項(xiàng)A可知￡=號(hào)〃所以1?。╚2=2」1二1山1,）

…111

所以一+—+…+—

S\Ss?2[(H)+[3+(匕卜??++(：-〃M|

2

=2「/J2〃

帝’故B錯(cuò)誤;

2

由選項(xiàng)A可知2=(-1)"/,所以3=4,/，Z>2?_,=-(2n-l),

所以&+&1T=4〃2-（方-1）2=4〃-1，即數(shù)列出,,+卻一1｝是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,

所以4+b2+…+4oo=(6|+b2)+@3+4-…+。99+瓦X))

=(3+4x507)x50=5050,故C正確；

2

由選項(xiàng)A可知c“=[lga?]=[lgn],

當(dāng)〃叩,9]且〃eN*時(shí),c?=0；

當(dāng)〃?10,99]且〃eN,時(shí)，g=1;

當(dāng)〃e[100,999]且〃eN*時(shí)，g=2；

當(dāng)〃=1000時(shí)，c“=3；

所以q+。2+。3+…+。1000=9x0+90x1+900x2+3=1893,故D正確.

故選:ACD.

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=g之，下列說(shuō)法正確的是()

A./(1)>/(3)

C.不等式/。)>1的解集為(2,3)

D.若存在實(shí)數(shù)。也艱囿"6<”"<0)滿足/3)=/e)=/(0=/(4=/,),則

q/'(“)+"e)+C/'(c)+力1(d)+勿(e)的取值范圍為(0,7)

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)給定條件計(jì)算判斷選項(xiàng)A,B；解不等式/(x)>l判斷選項(xiàng)C；作出函數(shù)y=/(x)

的圖象與直線N=f,數(shù)形結(jié)合計(jì)算判斷D作答.

【詳解】因函數(shù)/(工)=口：出""，01x-2,貝|］/(：)=15出身=1,/⑶=4-3=1,A不正確;

［4-x,x>222

f(；)=|sin?|=孚，/Q)=|sin,卜岑，B正確；

fx>2

當(dāng)04x42時(shí)，O(/")W1,則不等式/(x)>l化為"I>］，解得2Vx<3,/(x)>l的解

集為(2,3),C正確；

因存在實(shí)數(shù)。,瓦。,4,0(4<6<<:<"<6)滿足/(°)=/e)=/?=/(")=/(0),令"a)=t,

則方程〃x)負(fù)有4個(gè)互異實(shí)根。也c,d,e,即函數(shù)y=/(x)的圖象與直線N=，有4個(gè)公共點(diǎn),

作出函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=f,如圖，

因當(dāng)04x42時(shí)，0《/(x)Wl,貝又/(x)=|sin〃x|在［0,1］上的圖象關(guān)于直線x=g

對(duì)稱(chēng)，

3

在［1,2］上的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱(chēng)，因此有：a+b=\,c+d=3,e=4-t,

則4⑷+/'0)+4?)+/向升/g)=f(8-f)，而函數(shù)-產(chǎn)+&在(0,1)上遞增,則有

0</(8—/)<7,

所以4(")+""伍)+^(c)+“(")+ef(e)的取值范圍為(0,7),D正確.

故選：BCD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜

合考查所有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三、填空題

13.設(shè)等差數(shù)列｛得｝的前〃項(xiàng)和為，，/+%+4=12,則風(fēng)=.

【正確答案】36

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得牝=4,再利用前〃項(xiàng)和公式與等差中項(xiàng)，即可求得品

的值.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以勺，牝，6成等差數(shù)列，所以生+4=2%,

又在+%+例=12,即3%=12,所以%=4,

則S小顯警=￥=9%=36.

故答案為.36

14.函數(shù)y=：。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).

lgx+2x-3,x>0

【正確答案】2

【分析】當(dāng)爛0時(shí)，令函數(shù)值為零解方程即可；當(dāng)x>0時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

===y

【詳解】當(dāng)xWO時(shí)，2x—10x^—y/2—x2l2,

x2>0,故此時(shí)零點(diǎn)為玉=—-1；

當(dāng)x>0時(shí)，y=lgr+2x-3在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，y<0,當(dāng)x=2時(shí)，y>0,故在(1,2)之間有唯一零點(diǎn)；

綜上，函數(shù)y在R上共有2個(gè)零點(diǎn).

故2.

15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列也,｝滿足：q=1,前〃項(xiàng)和為E,,且屋-%=2S“T("22),

數(shù)列也｝滿足對(duì)于任意正整數(shù)〃此2均有鬣T+耙+粼+產(chǎn)％,求數(shù)列也｝的前66項(xiàng)和為

【正確答案】737

【分析】根據(jù)q,S,的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列求和公式求解.

【詳解】由0-a,=2S,T(〃>2)可得-。2=2S”,兩式相減得,

-%+「屋+4=2a?,則有(J+a?)(a?+l-a?-l)=O,

因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以4川+??*0,

所以。用---1=0,即a,+「a,=l,

所以數(shù)列｛《,｝從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，

且姆-4=2囚=2,解得％=2,

所以%=2+(〃-2)="(〃22),首項(xiàng)4=1也滿足上式，

所以%=n(neN*),

因?yàn)?+〃,+%=a,0，

所以數(shù)歹1」也｝的前66項(xiàng)和為(4+62+63)+(4+4+66)++心+砥+%1生+%+?65

c=K22x(2+65)…

=2+5++65=——------=737,

2

故答案為：737.

四、雙空題

16.一般地，若/(x)的定義域?yàn)?句,值域?yàn)楫?huà),枷，則稱(chēng)句為/(X)的“彳倍跟隨區(qū)

間”;特別地,若〃x)的定義域?yàn)椋邸?，句，值域也為［a,6］,則稱(chēng)［凡可為/(x)的“跟隨區(qū)間”.

(1)若口肉為/(力=f-2x+2的跟隨區(qū)間,則|=.

(2)若函數(shù)/(X)=〃LW7T存在跟隨區(qū)間，則用的最大值是.

【正確答案】2；150

【分析】根據(jù)所給的定義，給合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；根據(jù)所給的定義，結(jié)合函數(shù)

/(x)=m-J77T的單調(diào)性，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用新構(gòu)成函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閇1,4為〃x)=--2x+2的跟隨區(qū)間,

所以函數(shù)/(x)=/-2x+2的值域?yàn)閇1,可，

因?yàn)?(幻=/-2工+2=(工一1)2+1,對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

因此函數(shù)/(x)=x2-2x+2在xe[L可上單調(diào)遞增,

f(b)=b2-2b+2=b

因此根據(jù)題中所給的定義有">1=6=2；

/(l)=l2-2xl+2=l

函數(shù)/■(X)=〃LJ7TT的定義域?yàn)椋篬-L+8),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=〃?-4TT存在跟隨區(qū)間，設(shè)跟隨區(qū)間為：可(-14a<6),

所以/(x)=機(jī)一而T的值域?yàn)閇a,句，而函數(shù)〃x)=m-47T是定義域內(nèi)的遞減函數(shù)，因

此有:

f(b)=m-[b+l=a

___=>"+1-Ja+1=h-a

f(a)=m-da+1=b

因?yàn)?，所以y/h+1wy/a+1,

綜上，"+1-Ja+1=0+1)—(a+1)=(J+1-d+1)(J+1+d+1j=>#+1+d+T=1

所以O(shè)wJa+lv〃+lWl，令0=4+1]="+1,

所以O(shè)KcvdSl,c+d=1,

則有加=〃+16+1=〃+1—々+1=<2—。，同理〃?=/一d,

設(shè)函數(shù)〃(x)=x2_x(xw[0J)

因?yàn)椤?x)=%2-x=(X-—)2——,X6[0,1],

24

所以〃OOmin=-；，〃(X)max=0，因?yàn)榧?/一G機(jī)=/一〃，

所以方程Y—x=加在X￡[0刀時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

因此直線V二用與函數(shù)h(x)=x2-x(xG[0,1])的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

因此有口40.

故2；

關(guān)鍵點(diǎn)睛：

一是利用因式分解法由A/6+1-Ja+l=b-a得到“+1+Ja+1=1;

二是由7?=，2-《彼=/_"得到方程產(chǎn)一二川在xw[O,l]時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

五、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=(log3X)2-abgjX?-3,xW[；,9].

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)7(x)的值域；

(2)若函數(shù)人制的最小值為-6,求實(shí)數(shù)a的值.

【正確答案】⑴卜3,1]

(2)-2或6

【分析】(1)由題意可得〃x)=(log3X)2_3,結(jié)合定義域，逐步可得函數(shù)的值域：

(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題，分類(lèi)討論即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(X)=(log,X)2-3,9].

.\l0g3xe[-1,2],(log,x)2e[0,4]>

2

.,./(x)=(log3x)-3e[-3,l],

函數(shù)兀v)的值域?yàn)閇-3』；

(2)令，=log、xe[-1,2],

即函數(shù)g(。"-2"-3,問(wèn)-1,2]的最小值為-6,

函數(shù)g(r)="-26-3圖象的對(duì)稱(chēng)軸為

當(dāng)時(shí)，=g(-l)=2a-2=-6,

解得a--2；

當(dāng)-/<a<2時(shí)，g(t)mi?=g(a)=-3-a-=-6,

解得a=V3;

當(dāng)aZ2H、j,g（Omi?=g（2）=l-4a=-6,

7

解得（舍）；

4

綜上，實(shí)數(shù)a的值為-2或石.

18.為實(shí)施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請(qǐng)來(lái)專(zhuān)家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).根

據(jù)統(tǒng)計(jì)，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量V（千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千

克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下.

X（千克）24568

y（千克）300400400400500

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合歹與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)廠并加以說(shuō)明

（若卜|>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求「關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的

增加量約為多少千克？

附：相關(guān)系數(shù)公式r=//“，參考數(shù)據(jù)：V10?3.16.

力■<）（乂-3）

回歸方程$=卜+￡中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=J——,

紛-X）

然后利用公式求出相關(guān)系，再作判斷即可,

（2）根據(jù)線性回歸方程公式求出回歸方程，然后將x=15代入回歸方程中可求得西紅柿畝產(chǎn)

量的增加量

2+4+5+6+8=

【詳解】解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得尤=------------=5,

5

300+400+400+400+500i

y-----------------------=400,

5

所以￡(為一，(匕一力)=(-3)x(-100)M-1)x0+0xO+1xO+3xlOO=60C,

2+02+12+32=26,

22222

yi-y(-100)+0+0+0+100=100A/2,

6003

所以相關(guān)系數(shù)r=i=l0.95

如祗20。。后4o

因?yàn)閞>0.75,所以可用線性回歸模型擬合J與x的關(guān)系.

600

(2)b==方=3°，“=400-5x30=250,

所以回歸方程為y=30x+250.

當(dāng)x=15時(shí)，^=30x15+250=700，

即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿由產(chǎn)量的增加量約為700千克.

19.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和，且々=3,$5=25,數(shù)列也｝滿

足a%+a2b2H---hanbn=(2〃-3)x2"+3.

⑴求數(shù)列｛““｝、也｝的通項(xiàng)公式；

(2)令c“=；,證明：ct+c2+---+cn<6.

n

【正確答案】bn=2-'

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用等差數(shù)列基本量代換求出%=2〃-1,利用前”項(xiàng)和的定義求出￡=2"T；

(2)用錯(cuò)位相減法求和后即可證明.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為4.

電=%+d=3

因?yàn)間=3,Ss=25,所以5x4,

Ss=5at+—^-d=25

解得:，所以=at+（n-l）J=2n-1.

因?yàn)閿?shù)列｛〃｝滿足岫+a2b2+-+a?b?=（2〃-3）x2"+3,

所以〃=1時(shí)，有她=（2xl-3）x?+3=l,解得.4=1

n

當(dāng)“22時(shí),anb?=［（2n-3）x2"+3］-［（2n-5）x2"''+3］=（2?-1）x2-',

因?yàn)閍“=2〃-lx0,所以W=2"T.

經(jīng)檢驗(yàn)，〃,=2"T對(duì)〃=1也成立，所以4=2"。

（2）由⑴知，g=去=段記是數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和.

則=q+c2+…+%+?①，

①式同乘以/得：1=*+*++歲②，

汨112222/7-1

①-②得：/=m+凄+尹++西--

所以7；=2+2x

2

2〃+3

因?yàn)椤╡NL所以亍->0,所以］=6-?。?lt;6.

20.2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功

奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中

門(mén)將朱鉉兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三

個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即

使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在

前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)

練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地

隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之

前球在甲腳下的概率為P“,易知月=1,2=0.

①試證明為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為或，比較四。與殺的大小.

【正確答案】（1）分布列見(jiàn)解析，E（X）=；

（2）①證明見(jiàn)解析；②Pm<%。

【分析】（1）先計(jì)算門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望;

（2）遞推求解，記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為H，則當(dāng)〃22時(shí)，第n-l次傳球

之前球在甲腳下的概率為K，滿足P.=P,i?0+（1-Pi）?；=+；.

【詳解】（1）解析1:分布列與期望

依題意可得，門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為P=!x!x3xg=:，

3326

門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

P(X=0)=仔⑶啜P(X=1)=C；

P（X=2）=雙品目椅P（X=3）金（品目噎,X的分布列為:

X0123

1252551

P

2A6五72216

=—125+lx—25+2x—5+3x—1=1

21672722162

（1）解析2：二項(xiàng)分布

依題意可得，門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為P=!x!x3xg=g,門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球

3326

的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,易知尸（丫=心=以、（￡|\圖"

*=0,1,2,3.X的分布列為:

X0123

1252551

P

2?67272216

期望E（X）=3xJ=!.

62

（2）解析：遞推求解

①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P“，則當(dāng)"N2時(shí)，第n-1次傳球之前球在甲腳下的

概率為P”T，

第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-Pi,則p?=P,i-0+（1-Pi）?；=Pi+；，

從而=-。廠力，又?..,1｝是以抄首項(xiàng).公比為的等比數(shù)

列.

②由①可知p.m+",外=捐）+汨,如=。外）>；,故

21.已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，2%,%，4%成等差數(shù)列，%=4嫉，數(shù)列｛4｝

的前〃項(xiàng)和S“=%*2（〃eM）,且4=1.

（1）求｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)'”=卜eTV-）,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為4..求證.4<:

也〃+1-1乂。2〃+1+1）2

【正確答案】（1）%"

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】⑴設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕>0,由2%,%，44成等差數(shù)列，解得/由4=4〃；,

利用通項(xiàng)公式解得6,可得%.由數(shù)歹（I｛b,,｝的前〃項(xiàng)和S“=券”（"eM）,且4=1,〃2時(shí),

bn=S?-Sn_l,化簡(jiǎn)整理即可得出“；

（2）c_（2"4）?（/_11,利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

"2"Q+2）n-2"（"+1>2""

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為g>0,2%,%,44成等差數(shù)列,

2。4=2。5+4。6,即%=7?g+Mld,化為：212+夕-1=0,解得夕==5,

2

aA=4aj,：.q=4a,,gp|=4xa,x(i-),解得q=g,

數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和S,="與("eM),且3=1,

■■n2時(shí)，b.==("，％_'如,化為：3=A_!^,

22nn-\

4=i-?'■數(shù)歹u｛久｝是每項(xiàng)都為i的常數(shù)列，

1n

.■■—=1,化為6,=".

n

、由日⑵，+4)?。”,.

(2)證明：