河南省TOP二十名校2024屆高三下學期質(zhì)檢一數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省TOP二十名校2024屆高三下學期質(zhì)檢一數(shù)學試題一、選擇題1.若，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以．故選：D.2.的展開式中常數(shù)項為（）A.28 B.56 C.70 D.76〖答案〗A〖解析〗的展開式的通項公式為：，令，解得，故的展開式中常數(shù)項為．故選：A.3.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，則，所以．故選：A.4.已知圓，則下列說法錯誤的是（）A.點在圓外 B.直線平分圓C.圓的周長為 D.直線與圓相離〖答案〗D〖解析〗由可知圓心坐標為，圓的半徑為1．對于選項A：由點到圓心的距離所以點在圓外，故A正確；對于選項B：因為圓心在直線上，所以圓關于直線對稱，故B正確；對于選項C，圓的周長為，故C正確；對于選項D，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，故D錯誤．故選：D．5.直線經(jīng)過橢圓長軸的左端點，交橢圓于另外一點，交軸于點，若，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對直線方程令，則，令，則，則，點的坐標為，點的坐標為，又因為，設，因為，即，則，解得，所以，代入橢圓的方程得，所以，所以橢圓的焦距為．故選：C.6.在與中，已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：有唯一解，且，由正弦定理，可得，所以關于A的方程有唯一解，可知曲線和水平直線必須有唯一的交點，則或，解得或．故選：D.7.如圖是棱長均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，分別為的中點，則點到平面的距離為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗連接．由已知得為的中位線，所以，為正三角形的中線，所以，又，所以，所以為直角三角形，所以．因為，所以到平面的距離為，設到平面的距離為，因為，所以，所以，所以．故選：B.8.甲?乙兩人進行一場友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負，則勝的一方得1分，負的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當一方累計得分為6時比賽結(jié)束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計得分為i時，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：i的取值集合為，且，在甲累計得分為1時，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，在甲累計得分為1時，下局平局且最終甲獲勝的概率為，在甲累計得分為1時，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為，根據(jù)全概率公式可得，整理得，變形得，因為，則，同理可得，所以是公比為的等比數(shù)列，所以，各項求和得，則，即，解得．故選：C.二、選擇題9.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，，過的直線與的右支交于點，若，則（）A.的漸近線方程為 B.C.直線的斜率為 D.的坐標為或〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，，且，解得，又因為，故雙曲線的漸近線方程為，A對；對于B選項，因為點在右支上，則，①又因為，則，②聯(lián)立①②可得，，所以，，B對；對于C選項，若點在第一象限，則直線的斜率為，若點在第四象限，由對稱性可知，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率為，C錯；對于D選項，設點，則，且，可得，所以，解得，則，可得，即點，D對.故選：ABD.10.某質(zhì)點的位移與運動時間的關系式為的圖象如圖所示，其與軸交點坐標為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標依次為，則（）A.B.C.質(zhì)點在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D.質(zhì)點在內(nèi)的平均速率為（平均速率）〖答案〗AC〖解析〗由題意可知：函數(shù)的周期，所以，故A正確；令，即，因為，即，且，可得或，又因為，所以，故B錯誤；因為，由圖象可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象直接得該質(zhì)點在內(nèi)的路程為，所以該質(zhì)點在內(nèi)的平均速率為，所以D錯誤．故選：AC.11.已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)分別為，且，則（）A.的圖象關于點中心對稱 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關于點中心對稱，A錯誤；由②，②式兩邊對求導可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導可得，所以，C正確；因為，令，則，即，又因為是偶函數(shù)，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題12.若集合，則__________．〖答案〗〖解析〗由可得．故〖答案〗為：.13.記函數(shù)的圖象為，作關于直線的對稱曲線得到，則曲線上任意一點與曲線上任意一點之間距離的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，設為曲線上的一點，令過點A的切線斜率為，解得，所以，所以點A到直線的距離為，所以曲線上任意一點與曲線上任意一點之間距離的最小值為．故〖答案〗為：.14.在四棱錐中，已知平面平面，，若二面角的正切值為，則四棱錐外接球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗分別取、的中點、，連接．因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，平面，所以，，因為，所以，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，所以，因，所以，所以三棱錐外接球的球心在直線上，由知在線段的延長線上．設，則，即，所以，所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為，因為，，即，所以、、、四點共圓，所以三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，故四棱錐外接球的表面積為．故〖答案〗為：四、解答題15.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人對短視頻剪接成長視頻的APP有需求200對短視頻剪接成長視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．（1）求的值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828解：（1）由題意可得：，解得．（2）零假設為：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．由已知得，如下列聯(lián)表：

青年人中老年人合計對短視頻剪接成長視頻的APP有需求300250550對短視頻剪接成長視頻的APP無需求100350450合計4006001000可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．16.如圖，三棱柱中，為底面的重心，．（1）求證：∥平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱長均為6，設直線與平面所成的角為，求的值．（1）證明：連接交于點，連接．因為為底面的重心，則，又因為，則，可知∥，因為平面平面，所以∥平面．（2）解：取的中點，連接．因為底面，且三棱柱的各棱長均為6，可知射線兩兩垂直，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，可得，可得，所以．17.在平面直角坐標系中，已知直線與拋物線相切．（1）求的值；（2）已知點在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，且，過分別作直線的垂線，垂足分別為，求四邊形面積的最小值．解：（1）因為直線與拋物線相切，所以方程組有唯一解，所以有唯一解，所以，且，解得．（2）設直線的方程為，，因為點在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，因為，即，整理得，即，解得，可知直線的方程為，可知，，符合題意，則四邊形的面積為．令，所以，因為，則，且與在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，當且僅當，即時，，所以四邊形面積的最小值為．18.已知函數(shù)，，.（1）判斷是否對恒成立，并給出理由；（2）證明：①當時，；②當，時，.（1）解：恒成立，理由如下:令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即恒成立;（2）證明：①時，單調(diào)遞增，故，又，故要證，只需證，令，則只需證明，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以當時，;②由（1）知，，由于，所以，所以19.在正項無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．（1）若為1階等比數(shù)列，，求的通項公式及前項和；（2）若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；（3）若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．（1）解：因為為1階等比數(shù)列，