湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，①當(dāng)集合中的時，，，即，故此時，②當(dāng)集合中的時，，，即，此時，綜上所述，.故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上連續(xù)，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.4.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得：，所以“”是“且”的必要條件.故選：A.5.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號.當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長與弧長之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)扇形的弧長為，半徑為，如圖，取的中點(diǎn)，圓心角為，則，所以弦，又弧長，所以弦長與弧長之比為.故選：C.6.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在的值域是，因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以當(dāng)時的函數(shù)值域應(yīng)該包含，即.故選：B.7.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A.大于 B.小于 C.大于等于 D.小于等于〖答案〗A〖解析〗由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，由杠桿的平衡原理：，，解得，，則，下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，即，所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A.8.已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則方程在內(nèi)的所有根之和為（）A12 B.6 C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，函數(shù)的周期為4，又當(dāng)時，，作出函數(shù)在上的圖像如圖所示：方程在內(nèi)的所有根之和即為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，如圖所示，兩函數(shù)圖像在上有四個交點(diǎn)，令橫坐標(biāo)分別為，且，，所以函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為12.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果為有理數(shù)的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)闉橛欣頂?shù)；為有理數(shù)；為有理數(shù)；為無理數(shù).故選：ABC.10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由，故A正確；，故C正確；，故D錯誤；因?yàn)?，所以為第一或第三象限角，若為第一象限角，則，所以；若為第三象限角，則，所以，所以B錯誤.故選：AC.11.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.的最大值為2 D.的周期為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，且，所以為偶函數(shù)，故A對；當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)的圖象如下：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯；的最大值為，故C對；由圖象可知，函數(shù)不是周期函數(shù)，故D錯.故選：AC.12.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（）A.若，，則B.C.若，，為三條邊長，則D.若，，為三條邊長，則〖答案〗BCD〖解析〗A：由糖水不等式得：，時，，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.若，，且，則的最小值是____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________〖答案〗〖解析〗依題意，由可得，即的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域是.故〖答案〗為：.16.函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，，若對任意的，都有，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由，當(dāng)時，；設(shè)，則，所以；設(shè)時，則，所以，由，即或，由圖象可得：，都有，故.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意：整理得，，當(dāng)時，，∴.（2）∵，∴根據(jù)題意得：，解得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知.（1）化簡；（2）若為第三象限角，且，求，.解：（1）.（2）∵為第三象限角，∴，又因?yàn)?，故?19.已知函數(shù).（1）求的定義域，并判斷其奇偶性；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.解：（1）要使函數(shù)有意義，可得，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為奇函數(shù).（2）時，，判斷：在單調(diào)遞增，下用定義法證之：任取，且，，由得，，，故，即，故在單調(diào)遞增.20.已知函數(shù).（1）求在上的值域；（2），若對，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，令，設(shè)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴的值域?yàn)?（2）設(shè)的值域?yàn)榧希闹涤驗(yàn)榧?，根?jù)題意可得：，由（1）有，又，所以在上單調(diào)遞增，∵，，∴，由得，解得：，∴的取值范圍是.21.環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進(jìn)行測試，國道限速.經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：01040600132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式；（2）現(xiàn)有一輛同型號汽車從地駛到地，前一段是的國道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：（），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？解：（1）對于，當(dāng)時，它無意義，所以不合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，這與矛盾；故選擇，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當(dāng)時，.（2）國道路段長為，所用時間為，所耗電量為：，因?yàn)椋?dāng)時，；高速路段長為，所用時間為，所耗電量為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，故當(dāng)這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）對于函數(shù)，若，，，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“