華大新高考聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1華大新高考聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.若，則z的虛部為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗依題意，得，，則復(fù)數(shù)z的虛部為：，故選：C．2.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，由，得，又在上單調(diào)遞增，所以，即，，則，圖中陰影部分表示的集合是集合A中的補(bǔ)集，故陰影部分表示集合為，故選：D．3.對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．4.已知，，若，則λ＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，所以，所以，則，故，解得（正值舍去）.故選：A．5.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，得，則，，故.故選：D．6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)F的直線l′與C交于M，N兩點(diǎn)，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記直線l′的傾斜角為θ，不妨設(shè)，則，即，得，則，則，解得，故，故選：A．7.已知實數(shù)滿足，則的最小值與最大值之和為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意知點(diǎn)在曲線上，曲線C關(guān)于原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸均對稱；由于時，曲線方程為，即，故結(jié)合曲線對稱性，作出曲線C如圖：而表示曲線C上的點(diǎn)到直線的距離，可知取最小值和最大值時，位于曲線在第一、三象限內(nèi)的圓弧上，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最小值為，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最大值為，故的最小值與最大值之和為，所以的最小值與最大值之和為，故選：C．8.已知正方體的邊長為4，其中點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段，上運(yùn)動，若恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知正方體的邊長為4，其中點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，作點(diǎn)E關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，則，E在平面內(nèi)，連接，則，過點(diǎn)作，AB的垂線，垂足分別為，H，則共線，且，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，又平面，平面，故,而，則，同理，則，，設(shè)，則，故，，故實數(shù)λ取值范圍為，故選：A．二、選擇題9.已知正數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于選項A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于選項B，應(yīng)用重要不等式得：（時取得等號），接選項A中，當(dāng)時取得等號，（當(dāng)時能取得等號），即的最小值為，與矛盾，故B錯誤；對于選項C，因為，則，其中，當(dāng)取得等號，則，即的最小值為，且，故C錯誤；對于選項D，，且，得：，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，故D正確；故選：AD．10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點(diǎn)，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的值可以是（）A. B. C. D.2〖答案〗AB〖解析〗依題意，在上恒成立，當(dāng)時，，令，則，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，故，則不等式成立；當(dāng)時，令，因為，，故在內(nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，.故選：AB.三、填空題12.若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m＝________．〖答案〗〖解析〗因為的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為奇函數(shù)，且為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，即，，則，則．故〖答案〗為：13.已知平面凸四邊形ABCD的對角線分別為AC,BD,其中,，則________；若，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．〖答案〗12〖解析〗，則有，，得，在中，由正、余弦定理可知，，整理得，故；因為，故；又，則，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．得四邊形ABCD的面積的最大值為12.故〖答案〗為：；12.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，且，，若點(diǎn)Q也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為________．〖答案〗〖解析〗依題意，而O為線段的中點(diǎn)，且，所以P是的中點(diǎn)，所以O(shè)P是中位線，所以，又，則，由，所以點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，由，令，則，又，所以點(diǎn)Q在雙曲線C的左支上，由，又P是的中點(diǎn)，所以，所以，在中，由勾股定理可得，，即，整理可得，在，由勾股定理可得，，即，化簡，又，所以，則．故〖答案〗為：四、解答題15.小甲參加商場舉行的玩游戲換代金券的活動．若參與A游戲，則每次勝利可以獲得該商場150元的代金券；若參與B游戲，則每次勝利可以獲得該商場200元的代金券；若參與C游戲，則每次勝利可以獲得該商場300元的代金券．已知每參與一次游戲需要成本100元，且小甲每次游戲勝利與否相互獨(dú)立．（1）若小甲參加4次A游戲，每次獲勝的概率為，記其最終獲得450元代金券的概率為，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，記小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，．若小甲只玩一次游戲，試通過計算說明，玩哪種游戲小甲獲利的期望最大．解：（1）依題意，小甲獲勝3次且失利1次，則，故，令，解得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知，小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，，記代金券金額，若小甲參加A游戲，則；若小甲參加B游戲，則；若小甲參加C游戲，則；因為，故小甲選擇C游戲獲利的期望最大．16.已知三棱臺如圖所示，其中，．（1）若直線平面，且，求證：直線l⊥平面ABC；（2）若平面ABC與平面之間的距離為3，求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：依題意，，，，如圖所示，延長三條側(cè)棱交于點(diǎn)D；由可得，，且分別為線段DA，DB，DC的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)M，則；由可得，則，又，；，則，故，即，而，且平面，故平面，又平面，故平面平面；而直線平面，，平面平面，故直線平面；（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過點(diǎn)C作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；則，則不妨設(shè)為平面的一個法向量；由求得平面的一個法向量，不妨設(shè)為平面的一個法向量；由求得平面的一個法向量，而，所以平面與平面所成角的余弦值為．17.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，P，Q異于，．（1）若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的值；（2）若P，Q，三點(diǎn)共線，且的內(nèi)切圓面積為，求直線PQ的方程．解：（1）如下圖所示：依題意可得，，，；設(shè)，則，即；直線，令，則；直線，令，則；故；（2）設(shè)點(diǎn)，依題意知直線PQ的方程為；與橢圓聯(lián)立，消去x整理得；顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為；而的內(nèi)切圓半徑為，則的面積；又由，得；從而得，即，整理得，解得，故，即直線PQ的方程為．18.已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）討論關(guān)于x的方程在上的根的情況．（1）證明：當(dāng)時，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）解：依題意，，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，于是在上單調(diào)遞減，①當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，而，因此僅有1個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，，存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；而，則在上有唯一的零點(diǎn)0，又，則當(dāng)，即時，在上有唯一的零點(diǎn)，函數(shù)在上有2個零點(diǎn)；若，在上無零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn)；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此僅有1個零點(diǎn)0；④當(dāng)時，顯然，則，且，又，則函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，而，則在上有唯一的零點(diǎn)0，顯然，則，且，又，因此在上有唯一的零點(diǎn)，此時有兩個零點(diǎn)；所以當(dāng)且時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有一個零點(diǎn)．19.定義:已知數(shù)列滿足．（1）若，，求，的值；（2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列為正項數(shù)列，證明：不存在實數(shù)A，使得．（1）解：依題意，，顯然；故；，即或，則或．（2）解：依題意，為數(shù)列的最大項，而，又