江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卷交回．2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上．3．請(qǐng)監(jiān)考員認(rèn)真核對(duì)在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號(hào)與你本人的是否相符．4．作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗．作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以．故選：C．3.已知傾斜角為的直線與曲線相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為，，由題意可得，解得（舍去），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：C.4.已知是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)，則公比，所以，則，所以，所以為遞增數(shù)列，若，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，而，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：B.5.已知直線與圓相切于點(diǎn)，圓心在直線上，則圓的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，設(shè)（），圓的半徑為，，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為.故選：D.6.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，，，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C.16 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，可得，解得，又因?yàn)椋?，成等差?shù)列，可得，所以，解得或（舍去），所以.故選：A.7.已知點(diǎn)，，直線上不存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以線段為直徑的圓的方程為，圓心，半徑，因?yàn)橹本€上不存在點(diǎn)，使得，所以圓與直線沒有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，的最小值為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（）A.0 B. C.D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，為常數(shù)，設(shè)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，即，所以，所以，由，令，解得，所以的零點(diǎn)為.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.3 C. D.16〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)樵摲匠瘫硎緳E圓，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，顯然符合，當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在縱軸上，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，顯然符合，故選：BC10.下列結(jié)論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列C.若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列D.若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由題意，公差，則為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，由題意，公比，則為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意得，且則為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.在處取得極小值 B.有3個(gè)零點(diǎn)C.在區(qū)間上的值域?yàn)?D.曲線的對(duì)稱中心為〖答案〗ABD〖解析〗由，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；又，，，，，所以函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，同理函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；由前面得在上值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；設(shè)，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，又是向下平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故D正確.故選：ABD.12.已知，，點(diǎn)的軌跡方程為，則（）A.點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支 B.直線上存在滿足題意的點(diǎn)C.滿足的點(diǎn)共有2個(gè) D.的周長(zhǎng)的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為，即，設(shè)，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支，所以，故，所以的軌跡方程為，故A正確；聯(lián)立，解得（舍去），所以直線上存在滿足題意的點(diǎn)，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，所以滿足的點(diǎn)共有0個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榧醋蠼裹c(diǎn)，而，因?yàn)椋?，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗，則.故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足，，則______，數(shù)列前99項(xiàng)和為______．〖答案〗①②〖解析〗由，，得，，，，，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以數(shù)列的前99項(xiàng)和為.故〖答案〗為：；.15.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線過(guò)且與的一條漸近線平行．若的右支上一點(diǎn)到的距離恒大于，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由題意，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)且與的一條漸近線平行，不妨設(shè)直線的方程為，即，由的右支上一點(diǎn)到的距離恒大于，可得直線到直線距離恒大于等于，直線到直線的距離，所以，所以的最大值為.故〖答案〗為：.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓以為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作斜率為1的直線，與交于點(diǎn)，，與圓交于點(diǎn)，，其中點(diǎn)，均在第一象限，，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，則直線的方程為，聯(lián)立，消得，則恒成立，設(shè)，圓的半徑為，則，因?yàn)?，所以，即，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求，，并證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的值．解：（1）由已知可得，解得，，，，，兩式相減得，即，，又，所以，因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）得，，，，.18.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之差等于1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，證明：直線與相切．解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之差等于1，因?yàn)?，可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，可得拋物線的方程為，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在上，可得，聯(lián)立方程組，可得，則，所以直線與相切．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）記曲線在處的切線為，求證，與有唯一公共點(diǎn)．解：（1），令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為；（2）由（1）可知：，而，所以切線的方程為，由，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以由，即，此時(shí)與有公共點(diǎn)，綜上所述：與有唯一公共點(diǎn).20.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為．記，數(shù)列是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由題意得，，，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得，，所以.（2）由（1）得，所以，故，所以因?yàn)椋?，故，因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，綜上：21.設(shè)，函數(shù)，．（1）若，求的最小值與的最大值；（2）若在上恒成立，求．解：（1）若，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（2）令，則在上恒成立，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，綜上，只需，得，綜上所述，.22.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為6，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作射線，與直線、橢圓分別交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)），直線與相交于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線．解：（1）由題意知，則直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直