2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)課件

第三講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2023·山東日照三模)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－ax＋alnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<e時(shí)，討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解析]

(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝(x－2)ex＋x－lnx，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．(2)由題意，函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－ax＋alnx＝(x－2)ex－a(x－lnx)，x>0，設(shè)m(x)＝x－lnx，x>0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，m′(x)<0，m(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，m′(x)>0，m(x)單調(diào)遞增，又由m(1)＝1，所以m(x)≥1，令f(x)＝0，可得(x－2)ex－ax＋alnx＝0，可得0<x<2時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；x>2時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(2)＝2－ln2>0，即x>0時(shí)，h(x)>0恒成立，故0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；x>1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.又由x→0時(shí)，g(x)→0，x→＋∞時(shí)，g(x)→＋∞，因此，當(dāng)0≤a<e時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)－e<a<0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＝－e時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a<－e時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)．名師點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的技巧1．研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等．2．根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置．3．利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．【變式訓(xùn)練】(2024·贛州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)＝ex－m－xlnx，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，證明：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若g(x)＝f′(x)－m＋1，討論函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[解析]

(1)證明：當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝ex－1－xlnx(x>0)，∴f′(x)＝ex－1－lnx－1，令h(x)＝f′(x)＝ex－1－lnx－1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，∴h(x)min＝h(1)＝0，∴當(dāng)x>0時(shí)，h(x)＝f′(x)＝ex－1－lnx－1≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由題意得，f′(x)＝ex－m－lnx－1，則g(x)＝f′(x)－m＋1＝ex－m－lnx－m(x>0)，令g(x)＝ex－m－lnx－m＝0，則ex－m＝lnx＋m，∴ex＝em(lnx＋m)，∴xex＝xem(lnx＋m)，∴xex＝em＋lnx(lnx＋m)，令φ(x)＝xex，則φ(x)＝φ(m＋lnx)，∵當(dāng)x>0時(shí)，φ′(x)＝(x＋1)ex>0，∴當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)＝xex為單調(diào)遞增函數(shù)，∴x＝m＋lnx，∴m＝x－lnx(x>0)，當(dāng)0<x<1時(shí)，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，∴t(x)min＝t(1)＝1，∴當(dāng)m<1時(shí)，m＝x－lnx無解，即g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)m＝1時(shí)，m＝x－lnx有1個(gè)解，即g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>1時(shí)，m＝x－lnx有2個(gè)解，即g(x)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．[解析]

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值＋利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(理性思維、數(shù)學(xué)探索)若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝－1.若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零點(diǎn)；名師點(diǎn)撥：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法1．利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性構(gòu)建不等式求解．2．轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．3．分離參數(shù)(k＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝k與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解．【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；[解析]

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)a＝－1時(shí)，與零點(diǎn)有關(guān)的綜合問題(1)求b；(2)若f(x)有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.[解析]

(1)f′(x)＝3x2＋b.x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況為：【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)lnx－x－1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．[證明]

(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又當(dāng)x<x0時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)．(2)由(1)知f(x0)<f(e)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α.綜上，f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).名師講壇·素養(yǎng)提升極值點(diǎn)偏移問題處理方法圖說極值點(diǎn)偏移方法(一)對稱變換對稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題，其解題要點(diǎn)如下：(1)定極值點(diǎn)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(3)判斷單凋性，即利用導(dǎo)數(shù)討論h(x)的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)h(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0－x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．[探究]

本題證明的不等式中含有兩個(gè)變量，對于此類問題一般的求解思路是將兩個(gè)變量分到不等式的兩側(cè)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過兩個(gè)變量之間的關(guān)系“減元”，建立新函數(shù)，最終將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解．考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．在求解此類問題時(shí)，需要注意變量取值范圍的限定．方法(二)消參減元消參減元的主要目的就是減元，進(jìn)而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù)．主要是利用函數(shù)極值點(diǎn)乘積所滿足的條件進(jìn)行消參減元．其解題要點(diǎn)如下：建方程求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令f′(x)＝0，建立極值點(diǎn)所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中的關(guān)鍵式子，即導(dǎo)函數(shù)解析式中變號的部分(一般為一個(gè)二次整式)定關(guān)系根據(jù)極值點(diǎn)所滿足的方程，利用方程解的理論，建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)之間的關(guān)系，確定兩個(gè)極值點(diǎn)之積消參減元根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)之積的關(guān)系，化簡或轉(zhuǎn)化所求解問題，進(jìn)行消參減元構(gòu)造函數(shù)根據(jù)消參減元后的式子結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)求解問題利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而解決相關(guān)問題(2024·安徽六安一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)．(1)證明：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線l恒過定點(diǎn)；[探究]

本題第(2)問要證明的方程f(x)＝0的根之間的不等式關(guān)系比較復(fù)雜，此類問題可通過不等式的等價(jià)變形，再利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系．顯然構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵仍然是消掉參數(shù)．方法(三)比(差)值換元比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的，設(shè)法用比值或差值(