專題16 直角三角形（講義）（解析版）

專題16直角三角形核心知識點精講理解直角三角形的的相關(guān)性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理、常用面積關(guān)系式等內(nèi)容；掌握直角三角形的判定方法；理解掌握含30度角的直角三角形的特點；掌握直角三角形斜邊上的中線的特點及運用；理解掌握等腰直角三角形的特點情況?？键c1直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4.勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5.射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項6.常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點2含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．考點3直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．考點4勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．考點5勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．考點6勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．考點7等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：2+1【題型1：直角三角形的性質(zhì)】【典例1】（2023?惠州校級模擬）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為50°．【答案】50°．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠3＝∠1＝40°，然后根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠3+∠2+90°＝180°，∴∠2＝50°．故答案為：50°．1．（2023?曲江區(qū)校級三模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點A落在直線a上，點B落在直線b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，則∠ABC的大小為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】如圖，作CK∥a利用平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：如圖，作CK∥a．∵a∥b，CK∥a，∴CK∥b，∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，∵∠CAB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，故選：C．2．（2023?麻章區(qū)二模）直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數(shù)為（）A．100度 B．120度 C．135度 D．140度【答案】C【分析】作出圖形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠BAC+∠ABC＝90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA＝45°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA=12×90∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．故選：C．3．（2023?大埔縣一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，則∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故選：C．4．（2023?羅湖區(qū)校級自主招生）如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480時，DE的長度為120．．【答案】120．【分析】根據(jù)30°角正切值可求得BE=3DEAB=3AC，結(jié)合AB+【解答】解：∵∠B＝30°，tan30°=3在Rt△BDE中，tanB=DEBE=∴BE=AC=3在Rt△ABC中，tanB=ACAB=故AB+DE＝3DE+DE＝4DE＝480，∴DE＝120．故答案為：120．【題型2：含30度角的直角三角形】【典例2】（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝2．【答案】2．【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE＝BE，再根據(jù)等邊對等角可得∠BAE＝∠B，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AEC＝30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AC的長．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∴∠BAE＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，∴AC=12AE=12故答案為：2．1．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，則BD的長為（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BC的長，再據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD的長．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，∴BC=12AB＝4，∠B＝∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BD=12BC＝故選：B．2．（2023?高州市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝5，則BC的長為（）A．7.5 B．10 C．15 D．20【答案】C【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再根據(jù)垂直定義可得∠DAB＝90°，從而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)BD＝2AD＝10，然后利用角的和差關(guān)系求出∠CAD＝30°，從而可得∠C＝∠CAD＝30°，再利用等角對等邊可得CD＝AD＝5，最后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴BD＝2AD＝10，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∴∠C＝∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝5，∴BC＝BD+CD＝10+5＝15，故選：C．3．（2023?龍崗區(qū)校級一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點P是斜邊AB上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設(shè)AP＝x，當(dāng)△APQ的面積為143時，x的值為221【答案】221或14．【分析】分點Q在AC上和BC上兩種情況進(jìn)行討論，表示出三角形的面積，根據(jù)已知的三角形面積的值得到一元二次方程，求解后根據(jù)實際意義取值即可．【解答】解：當(dāng)點Q在AC上時，∵PQ⊥AB，∠A＝30°，AP＝x，∴PQ=33∴△APQ的面積=12?AP?PQ=12?x∵△APQ的面積為143∴12?x?33x解得：x1＝221，x2＝﹣221（舍去），當(dāng)點Q在BC上時，∵AP＝x，AB＝16，∴BP＝16﹣x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝30°，∴PQ=3（16﹣x∴△APQ的面積=12?AP?PQ=12?x?3（∵△APQ的面積為143∴12?x?3（16﹣x）=14解得：x1＝14，x2＝2（舍去），故答案為：221或14．4．（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接AD．若BD＝6，則AC＝3．【答案】3．【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BD＝AD，根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠BAD＝15°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ADC＝30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC=12【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴BD＝AD＝6，∴∠B＝∠BAD＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，又∵∠C＝90°，∴AC=12AD＝故答案為：3．【題型3：直角三角形斜邊上的中線】【典例4】（2023?中山市校級一模）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則AB的長為（）A．3 B．23 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得BD＝DC，從而可得△BCD是等邊三角形；然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可求得BC的長度；最后由勾股定理求得線段AB的長度即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，點D為邊AC的中點，∴BD＝DC=12∵∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝BD＝2，∴AB=AC2故選：B．1．（2023?開平市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，若△DEF的周長是11，則AF＝55．【答案】55．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE＝DF=12AB，EF=【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中點，∴DE＝DF=12∵AB＝AC，AF⊥BC，∴點F是BC的中點，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF=12BC＝∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF=A故答案為：55．2．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝655【答案】65【分析】先根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的長，根據(jù)∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的長，再求出AF的長，利用勾股定理即可求出AC的長．【解答】解：如圖所示，過點C作CF⊥AB于點F，設(shè)CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝8﹣x，∵在Rt△ABC中，點E為AB的中點，∴AE＝BE＝CE＝x，∵BD⊥AB，∴∠EBD＝90°，∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，∵CF⊥AB，∴∠CFE＝∠CFA＝90°，∴∠CFE＝∠EBD，又∵∠CEF＝∠DEB，∴△CFE∽△DBE，∴CEDE=EF解得：EF=95，CF∴AF＝AE﹣EF=6∵∠CFA＝90°，∴AC=A故答案為：653．（2023?江門二模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為41-3【答案】41-3【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=12AB=41，CM=12DE=3，由當(dāng)C、M、N【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB=A∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN=12AB=41，當(dāng)C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：41-3故答案為：41-3【題型4：勾股定理】【典例4】（2023?潮陽區(qū)一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．10【答案】B【分析】利用勾股定理，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，∴正方形A的邊長的平方＝18+6＝24，∴正方形A的面積＝24，故選：B．1.（2023?潮南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，連接BF，若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結(jié)合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BF=12【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC又∵CD為中線，∴CD=12AB＝∵F為DE中點，BE＝BC即點B是EC的中點，∴BF是△CDE的中位線，則BF=12CD＝故選：B．2．（2023?惠城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E．若AE＝2EC，則BCACA．34 B．5-12 C．12【答案】D【分析】設(shè)BC＝a，AC＝b，根據(jù)已知可得AE=23b，根據(jù)題意可得：AD＝AE=23b，BC＝BD＝a，從而可得AB=23b+【解答】解：設(shè)BC＝a，AC＝b，∵AE＝2EC，∴AE=23AC=由題意得：AD＝AE=23b，BC＝BD＝∴AB＝AD+BD=23b+∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴b2+a2＝（23b+a）2解得：a=512∴BCAC故選：D．3．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，CD=45，則ADA．9 B．10 C．403 D．【答案】B【分析】設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，分別用x，y表示出sin∠CBD和sin∠CAD，由sin∠CBD＝sin∠CAD，列出方程關(guān)于x，y的方程，再根據(jù)勾股定理DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，列出方程關(guān)于x，y的方程，兩方程聯(lián)立解出x，y的值，從而得到AD的長度．【解答】解：設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，則AC＝AD＝x+y，∵AC⊥DB，∴sin∠CBD=CEsin∠CAD=DE∵∠CBD＝∠CAD，∴sin∠CBD＝sin∠CAD，∴x5整理得，x4+2x3y+x2y2+25x2＝2000①，在Rt△CED和Rt△AED中，DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，∴（45）2﹣x2＝（x+y）2﹣y2，∴y=40-x把②代入①式并整理得，25x2＝400，∴x＝4，∴y=40-x∴AD＝x+y＝4+6＝10．故選：B．【題型5：勾股定理的逆定理】【典例5】（2022?禪城區(qū)校級模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝45°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案為：45．1．（2023?東莞市校級一模）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，7cmC．6cm，8cm，9cm D．1cm，2cm，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷較小兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，則可以判斷各個選項的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，本題得以解決．【解答】解：A、32+42＝52，故選項A中的三條線段能構(gòu)成直角三角形；B、32+（7）2＝42，故選項B中的三條線段能構(gòu)成直角三角形；C、62+82≠92，故選項C中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形；D、12+（2）2＝（3）2，故選項D中的三條線段能構(gòu)成直角三角形．故選：C．2．（2022?南海區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）A．3-6 B．6 C．3+6 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，求出△ABC的面積，根據(jù)平移的性質(zhì)得出AC＝DF＝3，△DEF的面積＝△ABC的面積＝6，再根據(jù)面積比等于相似比的平方得出即可．【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，∵將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，∴△DEF的面積＝△ABC的面積=12×3×4=6，DF＝AC∵圖中陰影部分面積為4，∴DCDF∴DC3解得：DC=6即平移的距離是CF＝AC﹣DC＝3-6故選：A．3．（2022?廣東三模）在四邊形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，則∠CAD＝120°．【答案】120°．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，進(jìn)而利用三角形的度數(shù)解答即可．【解答】解：∵AD＝3，AB＝4，BD＝5，∴BD2＝AD2+AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠DAB＝90°，∵AC⊥BC，BC＝2，AB＝4，∴∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+30°＝120°，故答案為：120°．【題型6：勾股定理的應(yīng)用】【典例6】（2023?南山區(qū)一模）紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當(dāng)制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，⊙O為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點在⊙O上，直線l過點O，且l⊥AB于點D，交⊙O于點C．若AB＝30mm，CD＝5mm，則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為25mm．【答案】25mm．【分析】根據(jù)題意，得到OD＝（r﹣5）mm，BD=12AB＝15mm，OB＝r【解答】解：∵AB＝30mm，CD＝5mm，半徑rmm，l⊥AB，∴OD＝（r﹣5）mm，BD=12AB＝15mm，OB＝r根據(jù)勾股定理，得（r﹣5）2+152＝r2，解得r＝25．故答案為：25mm．1．（2023?龍崗區(qū)校級一模）如圖，一根樹在離地面3米處斷裂，樹的頂部落在離底部4米處，樹折斷之前有8米．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】圖中為一個直角三角形，根據(jù)勾股定理兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長度，解直角三角形即可．【解答】解：∵32+42＝25，25=5，5+3＝8m∴樹折斷之前的高度為8米．故答案為：8．2．（2023?潮州模擬）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是5≤h≤6．【答案】5≤h≤6．【分析】根據(jù)杯子內(nèi)牙刷的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)牙刷與杯底垂直時h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．當(dāng)牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，如圖，此時，AB=AC2+B則h＝18﹣13＝5（cm）．∴h的取值范圍是5≤h≤6．故答案為：5≤h≤6．3．（2023?中山市三模）某高鐵站入口的雙翼閘機如圖所示，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm．雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客攜帶一件長方體行李箱進(jìn)站，行幫箱規(guī)格為60×80×100（長×寬×高，單位：cm）．當(dāng)雙翼收回進(jìn)閘機箱內(nèi)時，該旅客的行書箱是否可以通過閘機？請說明理由．【答案】可以通過，見解析．【分析】過點A作AE垂直PC于點E，過點B作BF垂直QD于點F，則可得AE和BF的長，依據(jù)端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．【解答】解：如圖1，過點A作AE垂直PC于點E，過點B作BF垂直QD于點F．∵∠ACE＝30°，∠BDF＝30°，∴AE=12AC=27cm當(dāng)雙翼收回進(jìn)閘機箱內(nèi)時，閘機入口寬度PQ＝AE+AB+BF＝27+10+27＝64（cm）．∵長方體行李箱長為60cm，且60cm＜64cm，∴當(dāng)雙翼收回進(jìn)閘機箱內(nèi)時，該旅客的行李箱可以通過閘機．【題型7：等腰直角三角形】【典例7】（2023?中山市二模）如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，點A，B，E在同一直線上，BD⊥AE，垂足為點B，點C在BD上，AB＝4，BE＝10．將△ABC沿BE方向平移，當(dāng)這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，△ABC平移的距離為2-2或10【答案】4﹣22或10．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝4，DB＝BE＝10，∴△ABC的面積=12AB?BC=12×4當(dāng)這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，∴△A'BE的面積=12∴A'B＝22，∴AA'＝AB﹣A'B＝4﹣22，即平移的距離為4﹣22，當(dāng)點B平移到與點E重合時，也滿足，此時平移的距離為：10，故答案為：4﹣22或10．1.（2023?深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺規(guī)作圖的方法作線段AD和線段DE，保留作圖痕跡如圖所示，認(rèn)真觀察作圖痕跡，則△BDE的周長是（）A．8 B．52 C．1522 D【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝45°，根據(jù)尺規(guī)作圖可知AD平分∠CAB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，由尺規(guī)作圖可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB＝90°，∴DE＝DC，又∠B＝45°，∴DE＝BE，∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10，故選：D．2．（2023?廣東模擬）如圖，直線l與m平行，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠2＝20°，則∠1的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】過點B作BD∥l，然后根據(jù)平行公理可得BD∥l∥m，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠1，然后求出∠4，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2＝∠4，即可得解．【解答】解：如圖，過點B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠2＝∠ABD＝20°，∵△ABC是有一個角是45°的直角三角板，∴∠CBD＝45°﹣∠ABD＝45°﹣20°＝25°，∴∠1＝∠CBD＝25°．故選：B．3．（2023?深圳模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是BC上的一點，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，連接DE交AC的延長線于點F，ACCF=32，則BD【答案】43【分析】在DC上截取CG＝CF，連接AG，設(shè)AC＝3x，CF＝2x，先證明△ACG≌△DCF（SAS），再證明△EAF≌△ABG（AAS），從而推出BD＝4x，即可求解．【解答】解：在DC上截取CG＝CF，連接AG，∵ACCF設(shè)AC＝3x，CF＝2x，∵AC＝DC，∴CD＝3x，∵CG＝CF，∴CG＝2x，∵∠ACB＝90°，在Rt△ACG和Rt△DCF中，AC=CD∠ACD=∠DCF∴△ACG≌△DCF（SAS），∴∠CAG＝∠CDF，∵∠AGB＝∠CAG+90°，∠EFA＝90°+∠CDF，∴∠AGB＝∠EFA，∵AB⊥AE，∴∠EAB＝90°，∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠CAD＝45°，∴∠EAF+∠BAD＝45°，∵∠ADC＝45°＝∠ABC+∠BAD，∴∠EAF＝∠ABC，在△EAF和△ABG中，∠EAF=∠ABC∠EFA=∠AGB∴△EAF≌△ABG（AAS），∴BG＝AF＝5x，∵GD＝3x﹣2x＝x，∴BD＝4x，∴BDCD一．選擇題（共7小題）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】首先根據(jù)勾股定理求得斜邊AB的長度，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)來求AE的長度．【解答】解：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，由勾股定理知：AB=AC∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．∴AE＝BE=12AB＝故選：C．2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（）A．3 B．72 C．4 D．【答案】A【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠A＝∠B＝30°，求出∠ACB＝120°，由垂直的定義得到∠ACD＝90°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出AD＝2CD＝2×1＝2，求出∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，得到∠BCD＝∠B，因此BD＝CD＝1，于是得到AB＝AD+BD＝2+1＝3．【解答】解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝2×1＝2，∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3．故選：A．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD＝6，則AC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出DA＝DB＝6，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B＝15°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出AC=12DA＝【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，∴DA＝DB＝6，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，∵∠C＝90°，∴AC=12DA＝∴故選：A．4．下列四組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50 C．6，7，8 D．32，42，52【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個正整數(shù)，滿足a2+b2＝c2，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．【解答】解：A．∵0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B．∵302+402＝502，∴是勾股數(shù)，符合題意；C．∵62+72≠82，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D．∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．5．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝1：2：3【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理逆定理分別進(jìn)行分析可得答案．【解答】解：A、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，可判定△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；B、32+42＝52，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；D、可利用勾股定理逆定理判定△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；故選：C．6．12世紀(jì)，印度一位著名數(shù)學(xué)家婆什迦羅在他的名著《麗羅娃提》中記載了一個有趣的問題：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”這首詩的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此時，捕魚的人發(fā)現(xiàn)，花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，由此可知湖水的深度是（）A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺【答案】B【分析】設(shè)湖水的深度為x尺，則AD＝BD＝（x+0.5）尺，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：由題意可知，AC＝0.5尺，BC＝2尺，設(shè)湖水的深度為x尺，則AD＝BD＝（x+0.5）尺，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2＝CD2+BC2，即（x+0.5）2＝x2+22，解得x＝3.75，即湖水的深度為3.75尺，故選：B．7．下列給出的四組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．1，2，5 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13【答案】B【分析】先分別求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，（5）2＝5，∴12+22＝（5）2，∴以1，2，5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴以5，12，13為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：B．二．填空題（共5小題）8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D為邊AB的中點，則∠BCD＝40°．【答案】40．【分析】由“直角三角形的兩個銳角互余”得到∠B＝40°，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD＝BD，則等邊對等角，即∠BCD＝∠B＝40°．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵D為線段AB的中點，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝40°．故答案為：40．9．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝8，則CD的長是4．【答案】4．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=12∵AB＝8，∴CD=12×8故答案為：4．10．如圖是單位長度為1的正方形網(wǎng)格，格點上A、B兩點間的距離為5．【答案】5．【分析】利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理即可求出A、B兩點間的距離．【解答】解：根據(jù)網(wǎng)格可知：A、B兩點間的距離=32故答案為：5．11．已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為2．【答案】2．【分析】直接根據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵△ABC的三邊長分別為a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．∴a＝2．故答案為：2．12．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD＝3cm，則CD的長是6cm．【答案】6．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠A＝30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠ABD＝30°，根據(jù)角的和差求出∠CBD＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：連接BD．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C=12×（180°﹣120∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，∴AD＝BD＝3cm，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，∴CD＝2AD＝6（cm），故答案為：6．三．解答題（共3小題）13．某校秉承“學(xué)會生活，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會做人”的辦學(xué)理念，將本校的辦學(xué)理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動中小明搬來一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結(jié)果用根號表示）．【答案】宣傳牌（AB）的高度為（21-4【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的長，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，在Rt△MBC中，MC=52則EM＝3﹣1＝2（米），在Rt△AEM中，AM=5故AB＝AM﹣BM＝（21-4答：宣傳牌（AB）的高度為（21-414．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）求BC的長．【答案】（1）90°；（2）21．【分析】（1）根據(jù)AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理證明△ABD是直角三角形，即可求解；（2）在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出CD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°；（2）在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD=AC∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．15．為了綠化環(huán)境，我縣某中學(xué)有一塊空地，如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出該空地的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的長，由AC、AB、BC的長度關(guān)系可得三角形ABC為一直角三角形，AB為斜邊；由此看，四邊形ABCD的面積等于Rt△ABC面積減Rt△ACD的面積解答即可．【解答】解：連接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四邊形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12?AC?BC-12=12×10×24-12×8×答：該空地的面積為96m2．一．選擇題（共6小題）1．如圖，S1、S2分別表示邊長為x、y的正方形的面積，且A、B、C三點在一條直線上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】由正方形面積公式得到x2+y2＝20，由完全平方公式求出xy＝8，由三角形面積公式即可求出陰影的面積．【解答】解：∵S1+S2＝20，∴x2+y2＝20，∵x+y＝6，∴（x+y）2＝62，∴x2+y2+2xy＝36，∴xy＝8，∵△BCD的面積=12BC?CD=12xy，△ACF的面積=12∴陰影部分的面積＝△BCD的面積+△ACF的面積＝xy＝8．故選：C．2．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．1.5，2，2.5 B．13，14，15 C．3，4，5 D．3，【答案】C【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、1.5，2，2.5都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；B、13C、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故符合題意；D、3，故選：C．3．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當(dāng)張角為∠BAF時，頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm，此時底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為∠DAF時（D是B的對應(yīng)點），頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm，則底部邊緣A處與E之間的距離AE為（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm【答案】A【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．【解答】解：依題意，AC＝24，BC＝7cm，在Rt△ABC中，AB=AC∵AB＝AD＝25，DE＝20，在Rt△ADE中，AE=AD故選：A．4．如圖，已知∠ABC＝60°，D是射線BA上一點，E，F(xiàn)是射線BC上的點．已知BD＝6，EF＝2，DE＝DF，則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【分析】過點D作DG⊥BC，垂足為G．利用等腰三角形的“三線合一”先求出EG，利用含30°角的直角三角形的邊間關(guān)系，再求出BG，最后利用線段的和差關(guān)系求出BE．【解答】解：過點D作DG⊥BC，垂足為G．∵DE＝DF，DG⊥BC，EF＝2，∴EG=12EF＝在Rt△DBG中，∠ABC＝60°，∴∠BDG＝30°．∵DB＝6，∴BG=12DB＝∴BE＝BG﹣EG＝3﹣1＝2．故選：B．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（6，4），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點B，則點B的橫坐標(biāo)介于（）A．5和6之間 B．7和8之間 C．10和11之間 D．8和9之間【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理計算出OA的長度，OB＝OA可以知道B點的橫坐標(biāo)，再利用估算無理數(shù)的方法得出答案．【解答】解：OB=OA=62+42∵49＜即7＜∴B的橫坐標(biāo)介于7和8之間，故選：B．6．在同一張方格紙上，如果點A用數(shù)對表示為（1，1），點B用數(shù)對表示為（4，1），點C用數(shù)對表示為（1，3），那么這個三角形ABC一定是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)對得出A，B在同一直線上，A，C在同一直線上，進(jìn)而利用三角形分類解答即可．【解答】解：∵點A用數(shù)對表示為（1，1），點B用數(shù)對表示為（4，1），點C用數(shù)對表示為（1，3），∴A，B在同一直線上，A，C在同一直線上，∴AB＝3，AC＝2，AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，故選：A．二．填空題（共4小題）7．如圖是某超市購物車的側(cè)面簡化示意圖．測得支架AC＝24cm，CB＝18cm，兩輪中心的距離AB＝30cm，則點C到AB的距離為725cm【答案】725【分析】連接AB，過C作CD⊥AB于D，求出AC2+BC2＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式得出S△ABC=12×AC×BC=【解答】解：連接AB，過C作CD⊥AB于D，∵AC＝24cm，CB＝18cm，AB＝30cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°），∵△ABC的面積=1∴24×18＝30×CD，解得：CD=72即點C到AB的距離為725cm故答案為：7258．筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．則原路線AC＝256【答案】256【分析】由勾股定理的逆定理得△HBC是直角三角形，∠CHB＝90°，設(shè)AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：在△CHB中，BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形，∠CHB＝90°，∴CH⊥AB，設(shè)AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x=25即原路線AC的長為256故答案為：2569．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6，腰AB上的高CE＝8，則AB2＝3245【答案】3245【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出AB：BC＝3：4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝DC=12BC【解答】解：∵AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的高，∴12AB?CE=12BC∵AD＝6，CE＝8，∴AB：BC＝3：4，∴AB2：BC2＝9：16，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC=12∵AB2﹣BD2＝AD2，∴AB2=14BC2即916BC2=14BC∴BC2=576∴AB2=324故答案為：324510．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為8．【答案】8．【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：如圖，設(shè)中間正方形為E，由題意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，∵正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故答案為：8．三．解答題（共4小題）11．洋洋與林林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點為點A，洋洋的賽車從點C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時林林的賽車從點B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？【答案】出發(fā)3秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾．【分析】根據(jù)題意求得CC1＝12米，BB1＝9米，得到AC1＝28米，AB1＝21米，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：出發(fā)3秒鐘時，CC1＝12米，BB1＝9米，∵AC＝40米，AB＝30米，∴AC1＝28米，AB1＝21米，∴B1C1=282+2∴出發(fā)3秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝5，CD＝3．求四邊形ABCD的面積．【答案】83．【分析】延長AD、BC交于點F，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得CF、AF的長，再求得△ABF和△DCF的面積，即可求解．【解答】解：如圖，延長AD、BC交于點F，∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，∵BC⊥CD，∴∠DCF＝90°，∴∠F＝30°，∴DF＝2CD＝2×3＝6，∴CF=DF2∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴BF＝2AB＝2×5＝10，∴AF=BF2∴S四邊形ABCD＝S△ABF﹣S△CDF=12AB?AF-12CD?CF=12×5×5313．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC于點Q．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長；（2）當(dāng)點Q與點C重合時，求t的值．【答案】（1）23-3（2）t＝1．【分析】（1）通過∠A＝30°，AP＝2t可得AD=3t，再由DC＝AC﹣AD（2）由∠DPQ＝60°，PD⊥AC，∠A＝30°可得△APQ是等腰三角形，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC=2，在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，AP＝2t，∴PD=t，∴DC=AC-AD=23-3t（0＜（2）如圖，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ，∴△APQ是等腰三角形．∵PD⊥AC，∴AD＝DQ．∵點Q與點C重合，∴AD+DQ＝AC，∴2AD＝AC．即23解得t＝1．14．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且∠ABC＝90°，連接AC．（1）求AC的長度；（2）試判斷三角形ACD的形狀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出AC的長即可；（2）在△ACD中，由勾股定理的逆定理即可判斷三角形的形狀．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2＝1+4＝5，∴AC=