3.3 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專題3.13多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.特別說(shuō)明：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.【典型例題】類型一、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式??直接運(yùn)算??（x+p）（x+q）運(yùn)算（解方程）1．【答案】．【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用去括號(hào)法則去括號(hào)后，合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．解：原式．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】計(jì)算：（x2+3）（2x2﹣5）【答案】2x4+x2﹣15【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.解：（x2+3）（2x2﹣5）=2x4﹣5x2+6x2﹣15

=2x4+x2﹣15【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.【變式2】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到；解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)撥】此題考查整式的乘法法則，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．若，求的值．【答案】．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則先計(jì)算（x+a）（x+b），然后求出a+b=3，ab=-4，再求即可．解：∵

∴

，．∴

．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】已知，，均為整數(shù)，且，求的所有可能值．【答案】，．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出即可得到，，由此進(jìn)行求解即可．解：∵，∴，，∵a，b，均為整數(shù)，∴或或或或或或或，∴，或或，，或或m取的值有±5或±7．【點(diǎn)撥】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【變式2】解方程：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）．【答案】x＝－1【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1．解：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）x2－7x＋3x－21＋8＝x2－x＋5x－5x2－7x＋3x－x2＋x－5x＝－5＋21－8－8x＝8x＝－1．【點(diǎn)撥】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．類型二、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式??化簡(jiǎn)求值 ??求參數(shù)??不含（無(wú)關(guān)）問(wèn)題3．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．，其中．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）先算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，最后代值計(jì)算即可；（2）先算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，最后代值計(jì)算即可．解：（1）原式，；當(dāng)時(shí)，上式；（2）原式，；當(dāng)時(shí)，上式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值．熟練的掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將字母的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式的乘法的化簡(jiǎn)求值，正確的去括號(hào)是解題的關(guān)鍵．【變式2】先化簡(jiǎn)再求值：，其中；，其中．【答案】(1)；21 (2)；0【分析】（1）先根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可；（2）先根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：當(dāng)時(shí)，原式．（2）解：當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．4．若的展開(kāi)式中不含和項(xiàng)，求：的值．求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，由結(jié)果不含和項(xiàng)，列方程求出與的值即可，（2）把與的值代入求值．解：（1）∵原式展開(kāi)式中不含項(xiàng)和項(xiàng)，∴解得．（2）當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）試說(shuō)明代數(shù)式的值與s，t的取值有無(wú)關(guān)系．（2）已知多項(xiàng)式ax﹣b與的乘積展開(kāi)式中不含x的一次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為﹣4，試求的值．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）1【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則對(duì)原式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，可得結(jié)果為，即可解答；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則對(duì)原式進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)題意可得x的一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為﹣4，列式求解得到a和b的值，即可求得的值.解：（1）（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）．故代數(shù)式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值與s的取值有關(guān)系，與t的取值無(wú)關(guān)系；（2）∵，又∵展開(kāi)式中不含x的一次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為﹣4，∴，解得：，∴．【點(diǎn)撥】本題考查整式的混合運(yùn)算和無(wú)關(guān)型問(wèn)題，與哪一項(xiàng)無(wú)關(guān)即是該項(xiàng)的系數(shù)為0，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算，她發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被墨水遮擋住了．她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成3，請(qǐng)你完成計(jì)算：；老師說(shuō)：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含一次項(xiàng)的，”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)是多少？【答案】(1) (2)2【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求解即可；（2）設(shè)第一次因式的一次項(xiàng)系數(shù)為a，則原題目變?yōu)?，根?jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算出結(jié)果，再根據(jù)結(jié)果不含一次項(xiàng)即一次項(xiàng)系數(shù)為0進(jìn)行求解即可．（1）解：；（2）解：設(shè)第一次因式的一次項(xiàng)系數(shù)為a，則原題目變?yōu)?，，∵的?jì)算結(jié)果不含一次項(xiàng)，∴，∴，∴被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)是2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．類型三、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式??圖形問(wèn)題 ??規(guī)律問(wèn)題5．聰聰和同學(xué)們用2張型卡片、2張型卡片和1張型卡片拼成了如圖所示的長(zhǎng)方形．其中型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形；型卡片是長(zhǎng)方形；型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形．請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式分別表示出型卡片的長(zhǎng)和寬；如果，，請(qǐng)求出他們用5張卡片拼出的這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．【答案】(1)型卡片的長(zhǎng)為：，寬為：(2)所拼成的長(zhǎng)方形的面積為364【分析】（1）結(jié)合圖形進(jìn)行分析得出型卡片的長(zhǎng)和寬即可；（2）根據(jù)圖形以及第（1）問(wèn)求出的型卡片的長(zhǎng)和寬即可表示拼出的長(zhǎng)方形的面積．解：（1）由題意得：型卡片的長(zhǎng)：，寬為：；（2）所拼成的長(zhǎng)方形的面積為：，當(dāng)，時(shí)，原式=．【點(diǎn)撥】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是得出型卡片的長(zhǎng)和寬．舉一反三：【變式1】圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積：方法一：_____________；方法二：_____________．若圖2中大正方形邊長(zhǎng)為5，小長(zhǎng)方形面積為4，請(qǐng)跟據(jù)第（1）題的計(jì)算求小正方形的邊長(zhǎng)及小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．【答案】(1)， (2)小正方形的邊長(zhǎng)為3；小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4，寬為1【分析】（1）陰影部分可用“正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”表示，也可用大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形面積表示；（2）根據(jù)題意可得：，根據(jù)（1）中得到的兩個(gè)代數(shù)式相等，可求出的值，構(gòu)建二元一次方程組，即可解答．（1）解：根據(jù)題意得：陰影部分的邊長(zhǎng)為：，∴陰影部分面積可表示為：，大正方形的邊長(zhǎng)為：，∴陰影部分面積可表示為：，故答案為：，．（2）∵大正方形邊長(zhǎng)為5，小長(zhǎng)方形面積為4，∴，∵，∴，則，聯(lián)立得：，解得：，∴小正方形的邊長(zhǎng)為3，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4，寬為1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，找出陰影部分面積的兩種表示方式．【變式2】如圖所示，直角是“陽(yáng)光小區(qū)”內(nèi)一塊空地，已知米，米，若E為邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)打算在陰影部分種植一片草坪，則這片草坪的面積是多少平方米？【答案】【分析】利用的面積減去的面積即可得到陰影部分的面積．解：由題意得：，，則草坪的面積．答：這片草坪的面積是平方米．【點(diǎn)撥】此題考查整式乘法的實(shí)際應(yīng)用，整式的混合運(yùn)算，正確理解題意列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．請(qǐng)同學(xué)觀察、計(jì)算、思考完成下列問(wèn)題：計(jì)算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并驗(yàn)證：（4）______；思考：（5）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；（4）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；（5）將所求式子變形，再計(jì)算即可．解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：；（5）．【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子結(jié)果的特點(diǎn)．舉一反三：【變式1】觀察下列各式：根據(jù)以上規(guī)律，則___________．你能否由此歸納出一般規(guī)律___________．根據(jù)以上規(guī)律求的值．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根據(jù)給出式子的規(guī)律書(shū)寫(xiě)即可；（2）根據(jù)給出式子的規(guī)律即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律計(jì)算即可；解：（1）∵，，，∴；故答案是：．（2）根據(jù)題意得：；故答案是：；（3）∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法的規(guī)律題，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】探究應(yīng)用：計(jì)算______________； ______________．上面的整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：______________（請(qǐng)用含a，b的字母表示）．下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是______．A．

B．C．

D．(4)直接用公式計(jì)算：______．【答案】(1)； (2) (3)C【分析】（1）按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行展開(kāi)后，合并同類項(xiàng)即可得；（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算進(jìn)行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）中總結(jié)的公式特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；（4）利用（2）中的公式進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：；；故答案為：；；（2）解：根據(jù)（1）得：，∴發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：；故答案為：；（3）解：A、，不符合（2）中公式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不符合（2）中公式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，符合（2）中公式，故本選項(xiàng)符合題意；D．，不符合（2）中公式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C；（4）解：．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及探索規(guī)律題，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．類型四、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式混合運(yùn)算??圖形問(wèn)題??規(guī)律問(wèn)題7．計(jì)算：（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：； (2)．【答案】(1)； (2)．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）連續(xù)兩次應(yīng)用平方差公式計(jì)算即可；（2）先用平方差，再用完全平分公式展開(kāi)計(jì)算即可；解：（1）原式．（2），，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式乘法的公式運(yùn)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，.【答案】，．【分析】原式中括號(hào)中利用完全平方公式，平方差公式，以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把與的值代入計(jì)算即可求出值．解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】此題考查了整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】；【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入x，y即可求解．解：將，代