方程與方程組的迭代解法

關(guān)于方程與方程組的迭代解法引言第2頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1方程求根法試探法與二分法迭代法及其收斂條件迭代法收斂速度加速收斂技術(shù)牛頓迭代法弦割法第3頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1.1試探法和二分法理論依據(jù)：第4頁,共72頁，2024年2月25日，星期天試探法第5頁,共72頁，2024年2月25日，星期天二分法（區(qū)間平分法）第6頁,共72頁，2024年2月25日，星期天于是第7頁,共72頁，2024年2月25日，星期天求方程f(x)=0的根的二分法算法第8頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題例設(shè)方程解：取h=0.1,掃描得：又即在有唯一根。第9頁,共72頁，2024年2月25日，星期天有根區(qū)間：[1.300000000,1.400000000][1.300000000,1.350000000][1.300000000,1.325000000][1.312500000,1.325000000][1.318750000,1.325000000][1.321875000,1.325000000][1.323437500,1.325000000][1.324218750,1.325000000][1.324609375,1.325000000]x≈1.32480f=3.6990*10^(-4)第10頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1.2迭代法及收斂性對于有時可以寫成形式

如：第11頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代法及收斂性

考察方程。這種方程是隱式方程，因而不能直接求出它的根，但如果給出根的某個猜測值，代入中的右端得到，再以為一個猜測值，代入的右端得反復(fù)迭代得第12頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代法及收斂性

若收斂，即

故是的一個根第13頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代法的幾何意義

交點的橫坐標(biāo)y=x第14頁,共72頁，2024年2月25日，星期天簡單迭代法

將變?yōu)榱硪环N等價形式。選取的某一近似值，則按遞推關(guān)系產(chǎn)生迭代序列。這種方法稱為簡單迭代法。第15頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題第16頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題精確到小數(shù)點后五位第17頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題但如果由建立迭代公式仍取，則有，顯然結(jié)果越來越大，是發(fā)散序列第18頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代法的收斂性第19頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理證明：不失一般性，不妨設(shè)否則為方程的根。首先證明根的存在性令

第20頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理

則，即由條件2）是上的連續(xù)函數(shù)所以是上的連續(xù)函數(shù)。故由零點定理在上至少有一根第21頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理再證根的唯一性設(shè)有均為方程的根則因為0<L<1，所以只可能，即根是唯一的。第22頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理最后證迭代序列的收斂性

與n無關(guān)，而0<L<1

即第23頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理誤差估計

若滿足定理條件，則

這是事后估計，也就是停機標(biāo)準(zhǔn)。L越小，收斂速度越快。

這是事前估計。選取n，預(yù)先估計迭代次數(shù)。

第24頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題例證明函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足迭代收斂條件。證明：第26頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題

第27頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題若取迭代函數(shù)，不滿足收斂定理，故不能確定收斂到方程的根。第28頁,共72頁，2024年2月25日，星期天簡單迭代收斂情況的幾何解釋第29頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1.3迭代收斂速度迭代法收斂的階定義設(shè)序列收斂到，若有實數(shù)和非零常數(shù)C，使得其中，，則稱該序列是p

階收斂的，C

稱為漸進常數(shù)。

第30頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代法收斂的階當(dāng)p=1時，稱為線性收斂；當(dāng)p>1時，稱為超線性收斂；當(dāng)p=2時，稱為平方收斂或二次收斂。迭代法p階收斂的充要條件是：迭代函數(shù)滿足第31頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1.4加速收斂技術(shù)第32頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.1.5Newton迭代法第34頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法

去掉的二次項，有：即以x1代替x0重復(fù)以上的過程，繼續(xù)下去得：第35頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法

第36頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法幾何解釋

幾何意義第37頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例用牛頓法求的近似解。解：由零點定理：第38頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例題例用Newton法計算解：第39頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法算法框圖第40頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法算法第41頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性定理設(shè)函數(shù)，且滿足若初值滿足時，由Newton法產(chǎn)生的序列收斂到在[a,b]上的唯一根。第42頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性證明：根的存在性根的唯一性第43頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性收斂性第44頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性

第45頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性第46頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收斂性推論在定理條件下，Newton迭代法具有平方收斂速度。第47頁,共72頁，2024年2月25日，星期天Newton迭代法的變形第48頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2.4弦截法Newton迭代法有一個較強的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

第49頁,共72頁，2024年2月25日，星期天弦截法令y=0,解得弦與x軸的交點是坐標(biāo)x2第50頁,共72頁，2024年2月25日，星期天弦截法第51頁,共72頁，2024年2月25日，星期天弦截法的幾何解釋第52頁,共72頁，2024年2月25日，星期天弦截法收斂定理第53頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2線性方程組迭代解法

迭代法適用于系數(shù)矩陣為稀疏矩陣的方程組.基本迭代法基本迭代法的收斂條件第54頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(Jacobi迭代法)第55頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(Seidel迭代法)第57頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第58頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(SOR迭代法)第59頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.2.2基本迭代法收斂條件第60頁,共72頁，2024年2月25日，星期天迭代收斂定理第61頁,共72頁，2024年2月25日，星期天例6.4判斷求解AX=b的三種迭代法是否收斂，其中A為第62頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共72頁，2024年2月25日，星期天(2)A對稱正定，但|2D-A|=0,說明2D-A不正定，故Jacobi迭代發(fā)散，0<ω<2時SOR迭代收斂；(3)A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，故Jacobi迭代收斂，0<ω<=1時SOR迭代收斂；第64頁,共72頁，2024年2月25日，星期天第65頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.3非線性代數(shù)方程組的迭代解法第66頁,共72頁，2024年2月25日，星期天6.3