動(dòng)量動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律

關(guān)于動(dòng)量動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律對(duì)于N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：第2頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：

質(zhì)心與重心（centerofgravity）是兩個(gè)不同的概念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點(diǎn)，質(zhì)心與重心的位置不一定重合。第3頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-8求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為

，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析可知第4頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為第5頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天由牛頓第二定律得對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的內(nèi)力第6頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：第7頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、動(dòng)量定理由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：

表示力對(duì)時(shí)間的累積量，叫做沖量（impulseofforce)。其中，§3-3動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律第8頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)沖量的方向是所有元沖量的合矢量的方向。動(dòng)量定理反映了力在時(shí)間上的累積作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。

質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。說(shuō)明逆風(fēng)行舟的分析：動(dòng)量定理（theoremofmomentum）：第9頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)

動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：第10頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)

在

沖擊、

碰撞問(wèn)題中估算平均沖力（implusiveforce）。(4)動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。第11頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

研究錘對(duì)工件的作用過(guò)程，在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。例3-9質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1)

=0.1s，(2)

=0.01s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖。解：解法一：第12頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過(guò)程，其動(dòng)量變化為零。重力作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為

由動(dòng)量定理：第13頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-10

一繩跨過(guò)一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當(dāng)A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及能上升的最大高度。

作繩拉緊時(shí)的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經(jīng)過(guò)短暫的沖擊過(guò)程，兩物體速率相等，對(duì)兩物體分別應(yīng)用動(dòng)量定理（取向上為正）：第14頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天考慮到繩不可伸長(zhǎng)，有：平均沖力FT1

、FT2>>重力，因而忽略重力。繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為即為繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度。速度為零時(shí)，物體B達(dá)到最大高度H：第15頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天*二、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)t

時(shí)刻，某物體質(zhì)量為

m，速度為(<<c)，另有一質(zhì)元dm，速度為。t+dt時(shí)刻合并后的共同速度為。把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)，由動(dòng)量定理略去二階小量，變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程

注意：dm可正可負(fù)，當(dāng)dm取負(fù)時(shí)，表明物體質(zhì)量減小。第16頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-11

質(zhì)量為m的均質(zhì)鏈條，全長(zhǎng)為L(zhǎng)，手持其上端，使下端離地面的高度為h。然后放手讓它自由下落到地上。求鏈條落到地上的長(zhǎng)度為l時(shí)，地面所受鏈條作用力的大小。解：用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程求解。落在地面上鏈段ml速度為零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面給它的沖力。取向下為正：即第17頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天自由下落：地面所受鏈條作用力為（已落地部分鏈條的重力）第18頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-12

礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其速度v1=4m/s，方向與豎直方向成30°角，而傳送帶B與水平成15°角，其速度v2=2m/s。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)為k=20kg/s，求落到傳送帶B上的礦砂在落上時(shí)所受到的力。解：設(shè)在某極短的時(shí)間

t內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為m，即m=k

t，這些礦砂動(dòng)量的增量為第19頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天其大小為設(shè)這些礦砂在時(shí)間

t內(nèi)所受的平均作用力為，由動(dòng)量定理方向由近似豎直向上第20頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：若三、動(dòng)量守恒定律即

如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。則第21頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊過(guò)程等）(1)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化,通過(guò)內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。說(shuō)明(3)

分量式(4)

定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。第22頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天*四、火箭飛行設(shè)t

時(shí)刻，火箭質(zhì)量為

m，速度為v(向上)，在

dt內(nèi)，噴出氣體dm(<0)，噴氣相對(duì)火箭的速度(稱(chēng)噴氣速度)為u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不計(jì)重力和其他外力，由動(dòng)量守恒定律可得

略去二階小量，第23頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)u是一常量，設(shè)火箭開(kāi)始飛行的速度為零，質(zhì)量為m0，燃料燒盡時(shí)，火箭剩下的質(zhì)量為m，此時(shí)火箭能達(dá)到的速度是火箭的質(zhì)量比第24頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天多級(jí)火箭：第i級(jí)火箭噴氣速率第i級(jí)火箭質(zhì)量比最終速度：第25頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-13

如圖所示,設(shè)炮車(chē)以仰角

發(fā)射一炮彈，炮車(chē)和炮彈的質(zhì)量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車(chē)的反沖速度v'。炮車(chē)與地面間的摩擦力不計(jì)。解：選取炮車(chē)和炮彈組成系統(tǒng)內(nèi)、外力分析。炮車(chē)與地面間的摩擦力不計(jì)，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。第26頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天得炮車(chē)的反沖速度為思考：豎直方向動(dòng)量守恒嗎？系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒：第27頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。例3-14

一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開(kāi)，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：第28頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)第29頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例3-15質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對(duì)方。開(kāi)始時(shí)靜止，相距為l。問(wèn)他們將在何處相遇？

把兩個(gè)小孩和繩看作一個(gè)系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。任取兩個(gè)小孩連線上一點(diǎn)為原點(diǎn)，向右為x軸為正向。解：設(shè)開(kāi)始時(shí)小孩的坐標(biāo)分別為x10、x20，在任意時(shí)刻的速度分別v1為v2，坐標(biāo)為x1和x2。由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：第30頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天相遇時(shí)：x1=x2由動(dòng)量守恒：（1）代入式（1）得第31頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)果表明，兩小孩在純內(nèi)力作用下，將在他們共同的質(zhì)心相遇。上述結(jié)果也可直接由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出。相遇時(shí)有第32頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè)：3.9、3.17、3.23第33頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

如果兩個(gè)或幾個(gè)物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間，這些現(xiàn)象就是碰撞（collision）。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過(guò)程即散射（scattering）等。討論兩球的對(duì)心碰撞或稱(chēng)正碰撞（directimpact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1.碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒：碰撞問(wèn)題第34頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.牛頓的碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)系數(shù)（coefficientofrestitution）：完全非彈性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非彈性碰撞（inelasticcollision）：

0<e<1

完全彈性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

第35頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天完全彈性碰撞：機(jī)械能損失：完全彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能）也守恒。第36頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.當(dāng)m1=m2時(shí)，則

質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在碰撞中交換彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，則質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很大的靜