2024年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)診斷試卷（1月份）

第1頁（共1頁）2024年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)診斷試卷（1月份）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x項和Sx＝121，則此數(shù)列的項數(shù)x等于（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α4．（5分）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７牛瑒t共有（）種停放方法．A．72 B．144 C．108 D．965．（5分）已知△ABC的邊BC的中點為D，點E在△ABC所在平面內(nèi)，且，若，則x+y＝（）A．5 B．7 C．9 D．116．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比數(shù)列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）A．線段（不包含端點） B．橢圓一部分 C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點）和雙曲線一部分7．（5分）已知，，則（）A．3 B．﹣3 C． D．28．（5分）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點P（x1，y1）是C的右支上異于頂點的一點，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z1，z2是關(guān)于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的兩根，則（）A． B． C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，則（多選）10．（6分）若函數(shù)，則（）A．f（x）的最小正周期為π B．f（x）的圖像關(guān)于直線對稱 C．f（x）的最小值為﹣1 D．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（多選）11．（6分）設(shè)a為常數(shù)，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），則（）A． B．恒成立 C．f（x+y）＝2f（x）f（y） D．滿足條件的f（x）不止一個三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是．13．（5分）已知圓錐的母線長為2，則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時，圓錐的體積最大，最大值為．14．（5分）函數(shù)的最小值．四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）設(shè)曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．16．（15分）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗．（1）若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；（2）若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值．17．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．（1）求證：平面ABC⊥平面ACB1；（2）設(shè)點P為直線BC的中點，求直線A1P與平面ACB1所成角的正弦值．18．（17分）已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，若△ABC的三個頂點都在拋物線E上，且滿足，則稱該三角形為“核心三角形”．（1）設(shè)“核心三角形ABC”的一邊AB所在直線的斜率為2，求直線AB的方程；（2）已知△ABC是“核心三角形”，證明：△ABC三個頂點的橫坐標(biāo)都小于2．19．（17分）對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)k∈R，，，定義加法和數(shù)乘：，．對一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實數(shù)k1，k2，…，ks，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．（1）對n＝3，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．（2）已知，，線性無關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．（3）已知m（m?2）個向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意m﹣1個都線性無關(guān)，證明：①如果存在等式，則這些系數(shù)k1，k2，…，km或者全為零，或者全不為零；②如果兩個等式，同時成立，其中l(wèi)1≠0，則．

2024年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)診斷試卷（1月份）參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為：（0，），故選：D．2．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x項和Sx＝121，則此數(shù)列的項數(shù)x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，a1ax＝a3ax﹣2＝81，所以a1，ax是方程x2﹣82x+81＝0的兩個根，所以，或．當(dāng)a1＝1，ax＝81時，，解得q＝3，由，解得x＝5．當(dāng)a1＝81，ax＝1時，，解得，由，解得x＝5．故選：B．3．（5分）已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，n?α，則m⊥n，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯．故選：B．4．（5分）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７?，則共有（）種停放方法．A．72 B．144 C．108 D．96【解答】解：根據(jù)題意，先排其余的3輛車全排列，有6種情況，排好后，有4個空位，在其中選出2個，安排貨車甲和乙車，有12種安排方法，則有6×12＝72種安排方法．故選：A．5．（5分）已知△ABC的邊BC的中點為D，點E在△ABC所在平面內(nèi)，且，若，則x+y＝（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：∵，，∵，∴，∴，∴，即，平面向量基本定理知，，解得：，∴x+y＝11．故選：D．6．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比數(shù)列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）A．線段（不包含端點） B．橢圓一部分 C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點）和雙曲線一部分【解答】解：因為函數(shù)y＝f（x）的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，所以，因為f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比數(shù)列，所以有f2（s）＝f（s﹣t）?f（s+t），且有﹣a＜s＜a，﹣a＜s﹣t＜a，﹣a＜s+t＜a成立，即﹣a＜s＜a，﹣a＜t＜a成立，由，化簡得：t4＝2a2t2+2s2t2?t2（t2﹣2a2﹣2s2）＝0?t2＝0，或t2﹣2a2﹣2s2＝0，當(dāng)t2＝0時，即t＝0，因為﹣a＜s＜a，所以平面上點（s，t）的軌跡是線段（不包含端點）；當(dāng)t2﹣2a2﹣2s2＝0時，即t2＝2a2+2s2，因為﹣a＜t＜a，所以t2＜a2，而2a2+2s2＞a2，所以t2＝2a2+2s2不成立，故選：A．7．（5分）已知，，則（）A．3 B．﹣3 C． D．2【解答】解：因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，所以3．故選：A．8．（5分）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點P（x1，y1）是C的右支上異于頂點的一點，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)半焦距為c，延長F2M交PF1于點N，由于PM是∠F1PF2的平分線，F(xiàn)2M⊥PM，所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中點．根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中點，所以MO是△NF1F2的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，b＝1，所以雙曲線C的方程為，所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)T（u，v），T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即u2+v2＝8，又T在上，則，即u2﹣2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2，由，故，即距離之和為．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z1，z2是關(guān)于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的兩根，則（）A． B． C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，則【解答】解：由題意知，Δ＝b2﹣4＜0，所以x，不妨設(shè)z1i，，所以，選項A正確；由z1z2＝1，得，當(dāng)b≠0時，?R，選項B錯誤；計算|z1|＝|z2|1，選項C正確；b＝1時，，所以，，，同理，選項D正確．故選：ACD．（多選）10．（6分）若函數(shù)，則（）A．f（x）的最小正周期為π B．f（x）的圖像關(guān)于直線對稱 C．f（x）的最小值為﹣1 D．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為【解答】解：由sinx＞0，cosx＞0得f（x）的定義域為．對于A：當(dāng)時，不在定義域內(nèi)，故f（x+π）＝f（x）不成立，易知f（x）的最小正周期為2π，故選項A錯誤；對于B：又，所以f（x）的圖像關(guān)于直線對稱，所以選項B正確；對于C：因為，設(shè)t＝sin2x，所以函數(shù)轉(zhuǎn)化為g（t）＝t?log2t+（1﹣t）?log2（1﹣t），t∈（0，1），g′（t）＝log2t﹣log2（1﹣t），由g′（t）＞0得，，g′（t）＜0得．所以g（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即f（x）min＝﹣1，故選項C正確；對于C：因為g（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由t＝sin2x，令得，又f（x）的定義域為，解得，因為t＝sin2x在上單調(diào)遞增，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，同理函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以選項D正確．故選：BCD．（多選）11．（6分）設(shè)a為常數(shù)，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），則（）A． B．恒成立 C．f（x+y）＝2f（x）f（y） D．滿足條件的f（x）不止一個【解答】解：令x＝y(tǒng)＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），結(jié)合f（0），解得f（a），故A正確；令y＝0，原式化為f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正確；再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函數(shù)值非負(fù)，令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）（負(fù)值舍去），故B正確；所以僅有一個函數(shù)關(guān)系式f（x）滿足條件，故D錯誤．故答案為：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是a＝0或a．【解答】解：由題意，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1個①a＝0時，方程﹣3x+2＝0，只有一個解；②a≠0時，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1個則Δ＝9﹣8a≤0，∴a綜上所述，a的取值范圍是a＝0或a故答案為：a＝0或a13．（5分）已知圓錐的母線長為2，則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時，圓錐的體積最大，最大值為．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線與底面所成的角為，易知．圓錐的體積為，令x＝sinθ，x∈（0，1），則y＝（1﹣sin2θ）sinθ＝﹣x3+x，y'＝﹣3x2+1，當(dāng)y'＞0時，，當(dāng)y'＜0時，，即函數(shù)y＝﹣x3+x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，此時．故答案為：；．14．（5分）函數(shù)的最小值．【解答】解：f（x）（）（6sin2x+3+6cos2x+4）（25+916）（25+2），當(dāng)且僅當(dāng)916，即sin2x，cos2x時取等號．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）設(shè)曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．【解答】解：（1）；∴f′（x）；∵曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處取得極值；∴f′（1）＝0?a＝2；（2）∴f（x）＝2lnxx+1；∴f′（x）；∴x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增；x＞1或0＜x時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減；故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（，1）；遞減區(qū)間：（0，）和（1，+∞）；極大值f（1）＝2ln11＝0；極小值f（）＝2ln1＝2﹣2ln3．16．（15分）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗．（1）若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；（2）若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值．【解答】解：（1）X的可能取值為1，2，3，，，故抽取次數(shù)X的概率分布為：X123P；（2）每次檢驗取到新球的概率均為，故X～，所以．17．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．（1）求證：平面ABC⊥平面ACB1；（2）設(shè)點P為直線BC的中點，求直線A1P與平面ACB1所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：因為AC＝2BC＝2，所以BC＝1因為2∠CAB，所以∠CAB．在△ABC中，，即，所以sinB＝1，即AB⊥BC．……（2分）又因為平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面B1C1CB．又B1C?平面B1C1CB，所以AB⊥B1C，在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1，所以B1C2＝B1B2+BC2﹣2B1B?BC?cos3，即B1C，所以B1C⊥BC．而AB⊥B1C，AB?平面ABC，BC?平面ABC，AB∩BC＝B，所以B1C⊥平面ABC．又B1C?平面ACB1，所以平面ABC⊥平面ACB1．（2）在平面ABC中過點C作AC的垂線CE，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CE，CB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），B（，，0），A（2，0，0），B1（0，0，），所以P（，，0），A1（，，），所以（，，），平面ACB1的一個法向量為（0，1，0），……（10分）設(shè)直線A1P與平面ACB1所成的角為α，則直線A1P與平面ACB1所成角的正弦值為：sinα＝|cos，|．18．（17分）已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，若△ABC的三個頂點都在拋物線E上，且滿足，則稱該三角形為“核心三角形”．（1）設(shè)“核心三角形ABC”的一邊AB所在直線的斜率為2，求直線AB的方程；（2）已知△ABC是“核心三角形”，證明：△ABC三個頂點的橫坐標(biāo)都小于2．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），由，兩式相減，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），所以，所以y1+y2＝2，由題意可知，y1+y2+y3＝0，所以y3＝﹣2，則x3＝1，由x1+x2+x3＝3，所以x1+x2＝2，所以，線段AB的中點（1，1），因此，直線AB的方程為y﹣1＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣1＝0，因此，直線AB的方程2x﹣y﹣1＝0；證明：（2）由（1）可知x1+x2+x3＝3，則x2+x3＝3﹣x1，①由．y1+y2+y3＝0，y1＝﹣