高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件（新高考新教材）第2講概率隨機(jī)變量及其分布

第2講概率、隨機(jī)變量及其分布專(zhuān)題五內(nèi)容索引0102必備知識(shí)?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識(shí)?精要梳理1.概率的計(jì)算公式

(2)互斥事件的概率計(jì)算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式:P(B)=1-P(A).對(duì)立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件誤區(qū)警示要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).2.兩種特殊分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式形式,那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式形式,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).名師點(diǎn)析1.超幾何分布的模型是不放回抽樣,要注意明確其中參數(shù)M,N,n的含義.2.二項(xiàng)分布的條件是獨(dú)立性與重復(fù)性.3.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,稱(chēng)X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用下表表示.Xx1x2x3…xnPp1p2p3…pn概率之和等于1名師點(diǎn)析1.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì):(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.2.期望公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一古典概型[例1]河圖洛書(shū)是華夏文化的源頭,兩幅圖案玄奧神妙,博大精深.它始于上古時(shí)期,伏羲就是根據(jù)河圖推演出了先天八卦圖,后寫(xiě)出了《易經(jīng)》.河圖上,排列成數(shù)陣的白點(diǎn)和黑點(diǎn),蘊(yùn)藏著無(wú)窮的奧秘.白點(diǎn)表示奇、陽(yáng),黑點(diǎn)表示偶、陰.此一白一黑,既含陰陽(yáng)、天地運(yùn)行之道,又寓五行、四象變化之理.一六在后,象北方壬癸水,玄武星象;三八在左,象東方甲乙木,青龍星象;二七在前,象南方丙丁火,朱雀星象;四九在右,象西方庚辛金,白虎星象;五十在中,象中央戊己土,表示時(shí)空奇點(diǎn);而中間五點(diǎn),又象太極含四象;中一點(diǎn),又象太極含一氣.若從這十個(gè)點(diǎn)數(shù)中任選兩個(gè)數(shù),則選取的恰好是兩個(gè)奇數(shù)的概率為(

)答案D

規(guī)律方法古典概型求解的關(guān)鍵點(diǎn)(1)解答古典概型問(wèn)題,關(guān)鍵是正確求出樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí).(2)在求樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),要準(zhǔn)確理解樣本點(diǎn)的構(gòu)成.對(duì)點(diǎn)練1(1)甲、乙兩人進(jìn)行撲克牌積分比賽.比賽規(guī)則為:甲、乙兩人先各抽三張撲克牌,每局比賽雙方同時(shí)各出一張牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一樣大兩人各得1分,每張牌只能出一次,共比賽三局.若甲抽到的三張撲克牌分別是A1,A2,A3,乙抽到的三張撲克牌分別是B1,B2,B3,且這六張撲克牌的大小順序?yàn)锳1>B1>B2>A2>A3>B3,則三局比賽結(jié)束后甲得4分的概率為(

)(2)已知大于3的素?cái)?shù)只分布在{6n-1}和{6n+1}兩數(shù)列中(其中n為非零自然數(shù)),數(shù)列{6n-1}中的合數(shù)叫陰性合數(shù),其中的素?cái)?shù)叫陰性素?cái)?shù);數(shù)列{6n+1}中的合數(shù)叫陽(yáng)性合數(shù),其中的素?cái)?shù)叫陽(yáng)性素?cái)?shù).則從30以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)中任意取出兩個(gè),恰好是一個(gè)陰性素?cái)?shù)、一個(gè)陽(yáng)性素?cái)?shù)的概率是

.

(2)30以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個(gè).其中陰性素?cái)?shù)有5,11,17,23,29共5個(gè),陽(yáng)性素?cái)?shù)有7,13,19共3個(gè).突破點(diǎn)二條件概率及相互獨(dú)立事件的概率命題角度1

條件概率答案B

規(guī)律方法條件概率的3種求法

對(duì)點(diǎn)練2(1)有一批種子的發(fā)芽率為0.9,發(fā)芽后的幼苗成活率為0.8.在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是(

)(2)現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、紫五只杯子,將它們疊成一疊,在已知黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下,黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為(

)答案

(1)A

(2)C解析

(1)設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A,“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB(發(fā)芽,并成活而成長(zhǎng)為幼苗),則P(A)=0.9.又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)=0.8,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.9×0.8=0.72.命題角度2

相互獨(dú)立事件的概率

答案C

[例2-3]甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

.

答案

0.18

解析

前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸,第五場(chǎng)贏時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸,第五場(chǎng)贏時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18.規(guī)律方法求相互獨(dú)立事件和n重伯努利試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的“和”事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的“積”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨別n重伯努利試驗(yàn)的基本特征:①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.對(duì)點(diǎn)練3答案

D突破點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列命題角度1

超幾何分布[例3-1]為了解學(xué)生對(duì)食堂用餐滿意度情況,某興趣小組按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從全校學(xué)生中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查.被抽中的同學(xué)分別對(duì)食堂進(jìn)行評(píng)分,滿分為100分.調(diào)查結(jié)果顯示:最低分為51分,最高分為100分.隨后,興趣小組將男、女生的評(píng)分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,圖表如下:男生評(píng)分結(jié)果的頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[50,60)3[60,70)3[70,80)16[80,90)38[90,100]20女生評(píng)分結(jié)果的頻率分布直方圖

為了便于研究,興趣小組將學(xué)生對(duì)食堂的評(píng)分轉(zhuǎn)換成了“滿意度情況”,二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示.分?jǐn)?shù)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]滿意度情況不滿意一般比較滿意滿意非常滿意(1)求a的值;(2)為進(jìn)一步改善食堂狀況,從評(píng)分在[50,70)的男生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談,記這3人中對(duì)食堂“不滿意”的人數(shù)為X,求X的分布列;(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率,從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,求其對(duì)食堂“比較滿意”的概率.規(guī)律方法求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.

解

(1)因?yàn)?0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依題意,隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為:(3)設(shè)事件A=“隨機(jī)抽取一名學(xué)生,對(duì)食堂‘比較滿意’”.因?yàn)闃颖救藬?shù)為200,其中男生共有80人,所以樣本中女生共有120人.由頻率分布直方圖可知,女生對(duì)食堂“比較滿意”的人數(shù)共有120×0.020×10=24,由頻數(shù)分布表,可知男生對(duì)食堂“比較滿意”的共有16人.對(duì)點(diǎn)練4解

(1)①由題中數(shù)據(jù)可知,前7名女生的平均得分為

解得x=4.②競(jìng)賽成績(jī)高于205分的女生有6人,男生有12人,(2)競(jìng)賽成績(jī)高于220分的學(xué)生共有11人,成績(jī)高于235分的學(xué)生共有3人,由題意可知,隨機(jī)變量ξ的可能取值有0,1,2,3,所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

命題角度2

二項(xiàng)分布[例3-2]根據(jù)統(tǒng)計(jì),2022年從甲市到乙市乘坐動(dòng)車(chē)和BRT(快速公交),的人數(shù)眾多,為了調(diào)查乘客對(duì)出行方式的滿意度,研究人員隨機(jī)抽取了500名乘客進(jìn)行調(diào)查,所得情況統(tǒng)計(jì)如下所示:滿意程度30歲以下30~50歲50歲及50歲以上乘坐動(dòng)車(chē)乘坐B(niǎo)RT乘坐動(dòng)車(chē)乘坐B(niǎo)RT乘坐動(dòng)車(chē)乘坐B(niǎo)RT滿意5051001010020一般201540202025不滿意5020102020(1)若從樣本中任取1人,求抽取的乘客年齡在30歲及30歲以上的概率;(2)記滿意為10分,一般為5分,不滿意為0分,根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算樣本中30~50歲乘坐動(dòng)車(chē)乘客滿意程度的平均分以及方差;(3)以樣本中這500名乘客屬于每個(gè)年齡層的頻率代替1名乘客屬于該年齡層的概率,若從所有乘客中隨機(jī)抽取4人,記年齡在30~50歲的乘客人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.所以X的分布列為

規(guī)律方法破解有關(guān)二項(xiàng)分布的“四關(guān)”對(duì)點(diǎn)練5在第七次全國(guó)人口普查過(guò)程中,普查員對(duì)管轄區(qū)域內(nèi)普查對(duì)象是否在家、何時(shí)在家等情況并不了解,“敲門(mén)無(wú)人應(yīng)”成了普查員在工作中面臨的最大難題,而國(guó)家電網(wǎng)公司在“網(wǎng)上國(guó)網(wǎng)”APP中推出的“e普查”輔助工具成為人口普查的“得力助手”.使用“e普查”掃描管轄范圍內(nèi)居民電表,獲取該戶(hù)“用電碼”,紅、橙、綠三色分別表示近一個(gè)月未用電、間歇用電、正常用電,以精準(zhǔn)識(shí)別空置戶(hù)、“候鳥(niǎo)”戶(hù)、正常戶(hù)三類(lèi)情況.下表通過(guò)“e普查”統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)的情況:用戶(hù)用電情況顯示顏色用戶(hù)情況用戶(hù)數(shù)量未用電紅