高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件（新高考新教材）素養(yǎng)提升微專題（四）數(shù)列解答題中的奇偶項(xiàng)問題

素養(yǎng)提升微專題(四)數(shù)列解答題中的奇、偶項(xiàng)問題第一編規(guī)律方法數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題是對一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究,利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.數(shù)列中奇、偶項(xiàng)問題的常見題型有:(1)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的和或積的問題(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));(2)通項(xiàng)中含有(-1)n的類型;(3){a2n},{a2n-1}的類型;(4)其他已知明確的奇、偶項(xiàng)問題.考查角度角度一

通項(xiàng)中含有(-1)n的數(shù)列求和[例1]已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,an=1-2Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;角度二

奇、偶項(xiàng)通項(xiàng)不同的數(shù)列求和

(1)求a2,a3及通項(xiàng)公式an;(2)記bn=an+an+1,求數(shù)列{2n-1bn}的前2n項(xiàng)的和T2n.所以a1=S1=1,a2=S2-S1=4-1=3,a3=S3-S2=3-4=-1.當(dāng)n≥3,且n為奇數(shù)時(shí),an=Sn-Sn-1=n-(n-1)2=-n2+3n-1,又a1=1符合上式,所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=-n2+3n-1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)=n2-n+1.(2)由(1)知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=an+an+1=4n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=an+an+1=2.所以T2n=1×22+3×24+…+(2n-1)·22n+22+24+…+22n=2×22+4×24+…+2n·22n,所以4T2n=2×24+4×26+…+2n·22n+2.對點(diǎn)演練1.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=3an-3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=2log3an+(-1)n·n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解

(1)當(dāng)n=1時(shí),2S1=2a1=3a1-3,所以a1=3.因?yàn)?Sn=3an-3,所以當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=3an-1-3,所以2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,即

=3(n≥2).所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n.數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:當(dāng)n>5時(shí),Tn>Sn.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]所以Tn>Sn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)+(3+