中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略11 相似三角形中的“A”字模型

第口講相似三角形中的“A”字模型

【應(yīng)對方法與策略】

模型展示:

?nApDE

(1)如圖1,DE//BCdAQEs^^-=--=-^

abcγAnACZ>C

AnApDE

(2)如圖2,ZAE,D=ZB^ADE^?ACB<≠τ^=T3=3F?

ACADDC

ΛΓ)ΛΓΓΓ)

（3）共邊共角模型，如圖3,ZACD=ZB<=^AoCSZ?ACB<≠^;=詬=旅.

【多題一解】

一、單選題

1.（2021?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）在銳角-ABC中，分別以AB和AC為斜邊向一ABC的外側(cè)作等腰

RjABM和等腰RtACN,點(diǎn)。、E、F分別為邊48、AC.BC的中點(diǎn)，連接MD、MF,FE、FN.根據(jù)題

意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：?MD=FE,②NDMF=NEFN,③FMLFN,

④SACEF=TSIM琢詆，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接OREN,通過

SAS定理證明AM。F四?FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論

③，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④.

【詳解】解：：。、E、產(chǎn)分別為邊AB、AC.BC的中點(diǎn)，且AABM是等腰直角三角形，

ΛDM=IAB,EF=ABfEF//ABiNMDB=90。,

；.DM=EF,NFEC=/BAC,故結(jié)論①正確；

連接。F,EN,

MK--------------A

T。、E、尸分別為邊AB、AC.BC的中點(diǎn)，且aACW是等腰直角三角形,

ΛE7V=∣AC,DF=ACfDF//AC,NNEC=90。,

：.EN=DF,NBDF=NBAC,ZBDF=ZFEC9

：.NBDF+NMDB=/FEC+NNEC,

：./MDF=ZFEN,

在^MD尸和△FEN中,

MD=EF

</MDF=/FEN,

DF=EN

.?∕?MDF^ΛFEN(SAS),

ΛZDMF=ZEFN9故結(jié)論②正確；

*：EF//AB,DF//AC9

???四邊形AO正是平行四邊形，

???NDFE=/BAC,

又Y∕?MDFm叢FEN,

：./DFM=/ENF,

：.ZEFN+ZDFM

=NEFNMENF

=180。-NEEN

=180o-(∕FEC+/NEC)

=180o-(ZBAC+90o)

=90o-ZBAC,

/.NMFN=/DFE+NEFN+NDFM=NBAC+9U0-NBAC=900,

???MFLFN,故結(jié)論③正確；

?'EF∕∕AB,

：.l\CEFsχcAB,

.EF1

??--——，

AB2

,,,。S.FC_一，1

.?.SΔCEF=?S^ABFE,故結(jié)論④錯誤，

.?.正確的結(jié)論為①②③，共3個，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角

形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

二、填空題

2.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABC。中，AD=2,AB=A,4C為對角線，E、尸分別為邊

AB,C。上的動點(diǎn)，且EFSAC于點(diǎn)M,連接AF、CE,求AE+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】A尸與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，作CG//EF,

且CG=EF,連接AG,又因點(diǎn)尸是。C上是一動點(diǎn)，由三角形的邊與邊關(guān)系4F+FG≥AG,只有當(dāng)點(diǎn)F

在直線AG上時，A尸+AG最小，由平行四邊形CEFG可知尸G=EC時，可求AF+CE的最小值

【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)C作CG〃所，且CG=EF,連接FG,

設(shè)。F=x,貝IJFC=4—x,

當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+尸G的最值小,

VCGHEF,且CG=所，

二四邊形CEFG是平行四邊形；

ΛECHFG,EC=FG,

又Y點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，

二AFIIEC,

又?；四邊形ABC。是矩形，

ΛAEHDC,ID90?,

.?.四邊形AEC尸是平行四邊形，

又,：EFLAC,

四邊形AECP是菱形，

.?.AF=FC=4-x,

在RrADF中，由勾股定理得：

AD2+DF2=AF2,

又?.?AD=2,DF=x,則AF=4—x,

.?.22+X2=(4-%)2,

3

解得：x=j

2

在R/.AOC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以4C=2√5

AM=君,

又?：MF//CG,

ΛZAMF=ZACGfZAFM=ZAGCf

：.YAMFfACG,

.AMAF

??,

ACAG

5

即正=工_,

2√5-AG

：.AG=5,

XVAG=AF+FG,FG=EC,

ΛAF+EC=5,即最小值是5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理和最短

距離問題等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與判定.

3.（2021?福建廈門?福建省同安第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，函數(shù)y=&（Z為常數(shù)，k>0）的圖象與過原點(diǎn)

X

O的直線相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM分別交X

MF2MD

軸、y軸于C、。兩點(diǎn)，連接BM分別交X軸、y軸于點(diǎn)AF.若黑=：，則*=_______.

MB5MA

【答案】2

【分析】過4作AG_Ly軸于G,軸于//,過B作BN_Ly軸于N,由點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得

?…n”-,-r?AMF2?曰MHMH2,

°4=°B'AG=BN,可r證4MHFS^BNF,可求而=而=馬,可得而=而=§,由

生=也=2,可求也=2即可

DAGA3AM

【詳解】解：過A作AGLy軸于G,MHJ_y軸于”，過B作BALLy軸于N,如下圖:

??MJ2

*MB~5

.MF2

..---=一

BF3

由題意可得：點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

二OA=OB,AG=BN,

YBALLy軸，M∕ΛLy軸，AG_Ly軸

.?.BNIIMHIIAG

：.4MHFSABNF,ADHMs∕?DGA

MHMF_2DM_HM

,~BN~~FB~3f~DA~~AG

MHMH_2

——，

9~AG~~BN3

DMMH_2

DAAG3

.,.DM=-DA

3

MDDM

而一DA-DM

故答案為2.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及了相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相

關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022.江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在RLAeC中，NAcβ=90。,AC=BC=6,。是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E

在BC上，連接8,AE交于點(diǎn)凡若NCFE=45。,8。=2/1￡）,則CE=.

A

D

Cf-----------'B

【答案】2

【分析】過。作DH垂直AC于H點(diǎn)，過。作￡>G〃AE交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出Co的

長，其次利用GSC8。，求出CG的長，得出BG的長，最后利用一8。GSBAE,求出BE的長，最后

得出答案.

【詳解】解：如圖：過。作垂直AC于H點(diǎn)，過。作。G〃AE交BC于G點(diǎn),

：在RtABC中，AC=BC=6,

AB=√AC2+BC2=6√2，

又BD=2AD,

.?.ΛD=2√2，

.?.在等腰直角三角形AWE＞中，AH=DH=2,

二C"=6-2=4,

在Mcw。中，CD=JCH2+DH。=2石，

'：DG//AE,

,ZCFE=ZCDG=45o,ZB=45°,

二NCDG=NB,

又，：NDCG=NBCD,

：._CDGSHBD,

.CDCG

??--=---，

CBCD

???CD2=CGCB,

即20=6CG,

.E10

..CG=—,

3

1()Q

：,BG=BC-CG=6-=2,

33

又,：DG〃AE,

：?.BDGS..BAE,

又＜BD=^AD,

..,-B-D=--B-G=一2

BABE3

又BG=∣,

3

/.BE=BGX—=4,

2

.??GE=6-4=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案.

5.(2022春?廣東汕頭?九年級汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，NMPN=90。，邊長為6的正方形

ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊尸M、PN上移動，連接PC,。為PC上一點(diǎn)，且PQ=2QC,則線段BQ長度

的最小值為.

【答案】√17-1?*-1+√17

【分析】根據(jù)題意，取A3的中點(diǎn)E,連接PE,EC,過點(diǎn)。作QF//PE,過點(diǎn)/作尸G_L3C,當(dāng)尸,Q,B三

點(diǎn)共線時?，BQ取得最小值，勾股定理求得8尸，根據(jù)BQNBF-Q尸求解即可.

【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接EC,過點(diǎn)。作。尸//PE,過點(diǎn)F作尸GLBC,

,AB=6,/MPN=90。

.?PE=-AB=3

2

QFHPE,PQ=2CQ

:..CFQs,CEP

3=更=L

'EP—PC―3

s.QF=?

四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)GlBC

:.FGHEB

.-CFG^CEB

CGCF1

--=---=一

CBCE3

.-.CG=2

..BG=4

.?.BF=BG1+FG2=√17

BQ≥BF-QF=y∕∏-l

，破的最小值為布_1

故答案為：Tn-I

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，添

加輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

6.（2021秋.九年級課時練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為1.5π√,一條直角邊A8為1.5m,怎樣才能把

它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位

木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

（甲）（Z）

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.說明見解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合

要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得

到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例，可求出正方形的邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角

形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求.

【詳解】解：作B∕∕"L4C于H,交OE于如圖

；AC=√AB2+BC2=√1.52+22=-

2

??SΛABC=^ACBH

5L,：DE//AC

.DEBM

'"^AC~~BH

6

----X?n

??t=?-解得X哼

25

設(shè)正方形的邊長為X米，如圖乙

?tDE∕∕AB

?DECD

**Afi^CB

.q=笄，解得W

..6、30

737

.?.乙木匠的加工方法符合要求.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立

數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2021?遼寧錦州?統(tǒng)考一模）如圖，A8為。。的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)￡＞為圓上一點(diǎn)且

NADC=NAOF,OFlAD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

（1）判斷8與。。的位置關(guān)系；

（2）若SinC=；,BD=8,求EF的長.

【答案】（1）CO與。。相切；（2）EF=2.

【分析】（1）要判斷Co與。。的位置關(guān)系，可連接。。，判斷。。與Cz）能否垂直即可；（2）觀察圖形可

知：EF=OF-OE,所以要求EF,只需設(shè)法分別求出OF和OE的長度即可；由于AB是。0的直徑，可以判

斷出。尸與8。平行的位置關(guān)系，從而利用z?34）和AOCFs△*■￡）,即可分別求出。尸和OE

的長度.

【詳解】（1）CD與。。相切.

證明：連接OD

D

F

CA?OB

TAB為。。的直徑，

.β.ZADO+ZBDO=ZDAO+ZB=90o,

VOFA-AD,OD=OAf

：.ZAOD=2ZAOFfZDAO=ZODA.

??ZAOD=2ZB,

：.NADC=NB.

：.NAOC+/4。。=90。.

Λ0D±CD.

.?.C。是。。的切線.

???C。與。。相切.

(2)設(shè)。。的半徑為二

在MZkOCQ中，

VsinC=?,

3

.OD1

.?-----=—,

OC3

?*.OD=r,OC=3〃.

VOA=r,：.AC=OC-OA-Ir.

TAB為。。的直徑，

???NAQB=90。.

XVOFlADf

：.OF//BD.

：?△()AESABAD且AOCFSABCD.

λλzf,OEOA1

由4OAEs∕i8A。，得，一=一=-.

BDAB2

：.OE=-BD=-×8=4.

22

,八C_OFOC3

由△λ€>CFSλABCD,z得s，==

BDBC4

33

.?.OF=-BD=-×8=6.

44

，EF=OF-OE=6-4=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn).熟知切線的判

定方法和相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用是解題的基礎(chǔ)；在解決問題的過程中，善于觀察和思考，努

力尋找和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法是關(guān)鍵.

8.(2020秋?吉林長春?九年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教

材第77頁的部分內(nèi)容.

如圖23.4.2,在BC中,點(diǎn)0、E分別是ΛB與AC

的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形,可以猜想：

DE/∕BC,DE=；BC.

圖23.4.2

對此,我們可以用演繹推理給出證明.

【定理證明】請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程.

【定理應(yīng)用】如圖②，在矩形ABC。中，AC為矩形ABC。的對角線，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=2BE,點(diǎn)

尸在邊CB上，CF=2BF.。為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、OE、OF.

(1)EF與AC的數(shù)量關(guān)系為.

(2)一OEF與一43C的面積比為.

【答案】【定理證明】證明見解析；【定理應(yīng)用】(1)EF與AC的數(shù)量關(guān)系為EF=：AC；(2)一OEF與

.ABC的面積比為2:9.

【分析】定理證明：先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得照=空=1,4AOE=NABC,再根據(jù)平行線的

BCAD2

判定即可得證；

定理應(yīng)用：（1）先根據(jù)線段的比例關(guān)系可得R票F=3RF=41,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

BABC3

（2）如圖（見解析），先根據(jù)三角形中位線定理可得OM=IBC,0N=^A8,設(shè)BE=a,BF=b,再根據(jù)

三角形的面積公式分別求出,,。石廠與45C的面積，由此即可得出答案.

【詳解】定理證明：「點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

AEAD1

——=——=一,

ACAB2

AEAD1

在VAoE和√U3C中，］AC^AB-2,

ZA=ZA

:.ADEABC,

DEAD1/…L

-----==—,/ADE=^-A,BC,

BCAB2

DEHBC,且OE」3C；

2

定理應(yīng)用：（1）AE=2BE,CF=2BF,

BEBF1

/.——=——=-,

BABC3

BEBF

在Zk3E7∕IJBAC中，?^BC,

NB=NB

.?.BEF~.BAC,

-EF=-B-F=11，

ACBC3

BP￡F=1AC；

（2）如圖，過點(diǎn)。作OMLAB于點(diǎn)M,作ONj.BC于點(diǎn)N,

四邊形ABCD是矩形，

.-.ZB=90°,即AS_ZBC,

:.OMHBC,ONHAB,

點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

..OM,ON是ABC的兩條中位線，

:.OM=-BC,ON=-AB9

22

33

設(shè)BE=a,BF=b,則ΛE=2兄AB=3cι,C尸=2。,BC=3"OM=-b,ON=—。,

22

.0.SBEF=LBE?BF=—ab,

呷22

13

sA。卜=-AE?OM=士ab，

.ACfr.22

13

SeCF=-CFON=—ab，

.ct∕r22

19

S=—AB?BC=—ab,

abc22

??SoEF=SABC-SBEF~SAOE~SCQF=帥,

.SOEF_ab_2

SABC-ab9'

2

即「。瓦'與ABC的面積比2:9.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題

(2),通過作輔助線，運(yùn)用到三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

9.(2020?湖北武漢?統(tǒng)考二模)如圖，AB是。的直徑，。為AB上一點(diǎn)，C為，。上一點(diǎn)，且AD=Ac,延

長CO交：。于點(diǎn)E,連接CB.

(1)求證：NCAB=2NBCD；

CD

(2)若OD=DE,求*的值.

【答案】(1)見解析；(2)巖=Y尸

【分析】(1)證明NAC6=90。，利用AD=AC,得到兩底角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

(2)連接OC,OE,由OD=O￡,OC=O已證明NoCE=NCAB,再證明aODCS,結(jié)合AD=HC,

設(shè)CQ=α,OD=b,建立關(guān)于〃/的方程可得答案.

【詳解】解：(I)TAB是。的直徑，NACB=90。，

：?ZBCD=900-ZACDf

u

?AD=AC9：.ZACD=ZADCf

：.ZCAB=180o-2ZACD,

：?NCAB=2ZBCD；

(2)連接OC,OE,

?：OD=DE,

：.ZDEO=ZDOEf

?."OC=OE,

：.ZOCE=/CEO=NDoE,

又ZDOE=2ZBCD=ZCAB.

???NoCE=NCAB.

又ZADC=NODC,

：??ODC^?CZM,

.CDODOC

?'AD-CD-AC,

2

又AD=AC,ΛCD=OC1CD=ADOD,

設(shè)CO=α,OD=b,則4O=α+Z?,

2

/.a=(a+b)`bf

?*?a2-ab-b2=O，

.b±∕5h

??Cl=-----y----,

2×1

(負(fù)值舍去)，

b2

即0=叵Ll.

OD2

H

GDl

N<7E

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，三角形相似的判定與性質(zhì)，一元二次方

程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10?（2020?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB為。。的直徑，AE是。O的弦，C是弧AE的中點(diǎn)，弦

CGLAB于點(diǎn)。，交AE于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作。。的切線，交&!延長線于點(diǎn)P,連接BE

（1）求證：PC//AE；

3

（2）若SinNP=《，CF=5,求BE的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）BE=12.

【分析】（1）連接OC,如圖，先利用切線的性質(zhì)得OCLPC,再利用垂徑定理得到OCLAE,所以

PC/7AE；

（2）設(shè)OC與AE交于點(diǎn)H,如圖，利用垂徑定理得到AC=AG，根據(jù)圓周角定理得NACG=NCAE,則

AF=CF=5,在RsADF中利用三角函數(shù)的定義可計算出DF=3,AD=4,再證明△OAH妾△€>CD得到

AH=CD=8,所以AE=2AH=16,然后證明Rt△ADFSRQAEB,于是利用相似比可計算出BE.

【詳解】解：（1）證明：連接OC,如圖，

YPC為。。的切線，

...OC±PC,

是弧AE的中點(diǎn)，

二OCA.AE,

：.PC//AE-,

（2）設(shè)。C與AE交于點(diǎn)”，如圖，

VCGlAB,

-AC=AG，

??AG=CE，

/.ZACG=ZCAEf

ΛAF=CF=5,

?/PC∕∕AEf

：.ZEAB=ZP9

在Rt△AoF中，

DF3

VSinZP=SinZMD==-,

AF5

ΛDF=3,AD=4,

在^QA〃和△OCo中，

ZOHA=ZODC

,ZAOH=ZDOC,

OA=OC

：./\0AH^A0CD(AAS),

.?.A"=CO=5+3=8,

.?AE=2AH=l6f

?：NDAF=NEAB,

ΛRt?ADFooRtAAEB,

：.DF：BE=AD:AE9即3：BE=4:16,

ΛBE=12.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過

切點(diǎn).若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系也考查了垂徑定理和相似三角形

的判定與性質(zhì).

11.（2020.陜西.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作。。交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作。。的切線。E交AC于點(diǎn)E,交AB延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：DELACi

(2)若A8=10,Bf=g,求AE的長.

【答案】(1)見解析；(2)AE=S.

【分析】(I)連接OD、AD,由AB=AC且NADB=90。知D是BC的中點(diǎn)，由O是AB中點(diǎn)知

OD〃AC,主艮據(jù)ODJLDE進(jìn)一步求證即可；

(2)通過證明△ODFS^AEF,可得竺=”,據(jù)此進(jìn)一步求AE的長即可.

AFAE

【詳解】(1)連接OD、AD,

TDE切。O于點(diǎn)D,

ΛODIDE,

TAB是直徑，

ΛZADB=90°,

VAB=AC,

???D是BC的中點(diǎn)，

又TO是AB中點(diǎn)，

ΛOD/7AC,

VODlDE,

ΛDE±AC;

(2)VAB=IO,

.?.OA=OB=OD=5,

2540

ΛOF=BO+BF=-,AF=BF+AB=-,

33

由⑴得OD〃AC,

ΛZODF=ZAEF,ZF=ZF,

.?.△ODFS△AEF,

.OFOD

25

????

「40一AE'

T

ΛAE=8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與相似三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

12.（2020?湖北隨州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，。。為AABC的外接圓，BC為直徑，點(diǎn)E在AB上,

過點(diǎn)E作EFLBC,點(diǎn)G在FE的延長線上，且GA=GE.

（1）求證：AG與。O相切.

（2）若AC=6,AB=8,BE=3,求線段OE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）√io.

【分析】（1）連接OA,由OA=OB,GA=GE得出NABO=NBAO,ZGEA=ZGAE;再由EF_LBC,得出

ZBFE=90o,進(jìn)一步由∕AB0+∕BEF=9（Γ,ZBEF=ZGEA,最后得出∕GAO=90。求得答案；

（2）BC為直徑得出/BAC=90。，利用勾股定理得出BC=I0,由△BEFsaBCA,求得EF、BF的長，進(jìn)

一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的長即可.

【詳解】（1）連接OA,

VOA=OB,GA=GE

ΛZABO=ZBAO,ZGEA=ZGAE

VEFlBC,

.β.ZBFE=90o,

ΛZABO+ZBEF=90o,

又???NBEF=NGEA,

.?.ZGAE=ZBEF,

ΛZBAO+ZGAE=90o,

即AG與。O相切.

(2)解：?.'BC為直徑,

ΛZBAC=90o,AC=6,AB=8,

ΛBC=IO,

VZEBF=ZCBA,ZBFE=ZBAC,

ΛΔBEF^ΔBCA,

.BFBEEF

,t~BA~~BC~~AC

ΛEF=I.8,BF=2.4,

ΛOF=OB-BF=5.2.4=2.6,

'OE=^EF2+OF2=√10?

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì).

13.(2022?山東青島?山東省青島第二十六中學(xué)?？级?如圖，在平行四邊形ABC。中，ZAoB=90。，

AB=IOcm,4D=8cm,點(diǎn)夕從點(diǎn)。出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出

發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為ICmZSP作尸E//80交于點(diǎn)E,連接PQ,交3。于點(diǎn)產(chǎn).設(shè)運(yùn)動時間為

r(s)(0v∕<4).解答下列問題:

(2)連接EQ,設(shè)四邊形APQE的面積為y(cn√),求V與，的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)f為何值時，點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上？

(4)若點(diǎn)尸關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為尸，是否存在某一時刻f,使得點(diǎn)P,E,F三點(diǎn)共線？若存在，求出f

的值；若不存在，請說明理由.

Q324

【答案】(1)—；(2)y=-a廠—3f+24；(3)5/5—1;(4)—.

【分析】(1)由題意得，PQ//AB,則四邊形MBQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AP=BQ,

即S-2t=t,解方程即可求解；

(2)過點(diǎn)。作Q”,AB交AB的延長線于點(diǎn)”，由勾股定理求出BO=6,證明根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)可得QH=i，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得W=與，可得出BE=j,根據(jù)y=S跡影

5ADAB2

APQB-SzBEQ即可求解；

PFAPQ

(3)先證出△APEsZ?ABZλ根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得f=M,可得PE=6-9f,根據(jù)線段垂直平分

DBAD2

34

線的性質(zhì)得EQ=PE,由(2)得。H=不，可得出BH=F,根據(jù)勾股定理得出EH2+Hβ2=Eβ2,列出方程

即可求解；

(4)連接F尸交AB于點(diǎn)N,由對稱及平行線的性質(zhì)可得/FEB=NABC,由等角對等邊得EF=FB,則

BN=EN=；BE=%再證AθPFs∕?BQF,可得DF=2BF,可求出BF=2,然后證明△BNFSZ^BD4,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得/的值.

【詳解】解：(1)Y四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AD//BC,

若PQ//AB,

.?.四邊形∕?8Q是平行四邊形，

J-AP=BQ,

/.S-2t=t,

??t——，

3

O

.?.當(dāng)片§時，PQ//ABi

Q

故答案為：—；

(2)如圖，過點(diǎn)Q作QHLAB交AB的延長線于點(diǎn)從

?.βZADB=90o,

/.BD2=AB2-AD2=100-64=36,即BD=6,

T四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.NA=NQBH,

又TNADB=/BHQ=9。。,

：.AADBs叢BHQ,

BDAB610

??----=—,BπPm-----=—,

QHBQQHt

3

.??QH=

9:PE//BD,

.DPBE2t_BE

ADAB810

：.BE=-t

2f

]?533

?*?y=S承^形APQB?SABEQ=3(8-2t÷∕)×6--×-Z×-/=——/*"—3/÷24；

(3)如圖:

D

9

?PE∕∕BDf

???NAPE=NADB,

?.?ZA=ZA,

/.AAPEsAADB,

.PEAPPE8-2r

??=---，艮hJπ—-=---------,

DBAD68

3

???PE=6——t

2f

???點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上，

3

EQ=PE=6--t,

35

由（2）得QH=m，BE=/

22

.?.BH=y∣BQ-QH=『_（|）2=gr,

4533

二EH=BH+BE=-t+-t=-t,

5210

RfAEQH中，EH2+HQ2=E^,

：.（-Z）2+（-O2=（6--Z）2,即∕?2Λ4=0,

1052

解得：Z1-y∕5-?,t2--y[5-?<0（舍去），

二當(dāng)/=君-1時，點(diǎn)E在尸。的垂直平分線上;

（4）連接FE交AB于點(diǎn)M

P

F

E??NB

Y點(diǎn)F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為F,

：?/FEB=NFEB,FN工EB,

???點(diǎn)尸，E,尸三點(diǎn)共線，PE//AB,

：.NFEB=NABD,

：.ZFEB=ZABDf

：.EF=FB,

：.BN=EN=-BE=-t,

241

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.?AD∕∕BC,

：.ZDPF=ZFQBf

?：DFP=/BFQ,

：?∕?DPFsABQF,

DFDPC

------=——=2

.?BFBQ，

：.DF=IBF,

Λ2BF+BF=6,

:?BF=2,

VZFBN=ZABDf/FNB=NADB,

：?ABNFSRBDA,

.BNBD

5

「?4'_6,解得:

210

???存在某一時刻3使得點(diǎn)P,E,尸三點(diǎn)共線，/的值為2二4.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，

多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

14.（2021?山東?統(tǒng)考三模）如圖1,平行四邊形A8C。的對角線AC,B。相交于點(diǎn)。，Co邊的垂直平分

線EH交BD于點(diǎn)、E,連接AE,CE.

（1）過點(diǎn)A作AF//EC交3。于點(diǎn)F,求證：AF=BF-,

（2）如圖2,將“ΛBE沿AB翻折得到Z?AB?.

①求證：BE,”CE；

②若AF∕∕8C,OE=X,求CE的長度.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②1+后

【分析】（1）根據(jù)題意證明aCOE絲A4"?（A45）,即可證明￡D=M,在根據(jù)E〃垂直平分CZ）可得

EC=ED,即可證的結(jié)果；

（2）①過點(diǎn)A作A尸//EC交6。于點(diǎn)尸，根據(jù)（1）中結(jié)論，然后證明5E7/A尸即可；

,

Ap/7/7

②求證一AEFSjSCE,則蕓=笠，據(jù)此解答即可.

BECE

【詳解】證明：（1）???四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.OA=OC1OB=OD.

VAFUEC,

：?/CEO=ZAFO,ZFAO=ZECO9

????COE^?ΛOF（Λ45）,

：.CE=AF,OE=OF,

JED=BF.

???EH垂直平分C。，

：?EC=ED.

：?AF=BF↑

（2）如圖2,過點(diǎn)A作A///EC交BO于點(diǎn)尸.

E'AD

E.

圖2

①證明：由（1）可知:AQFg-COE,AF=BF,

??.ZABF=ZBAF,

T將，ABE沿AB翻折得到ZVWE,

：?ZABE=ZABF,

f

：.ZABE=ZBAFf

：.BEY/AF,

又,：AF//CE,

：.BEIICE；

②解：VAE'//BC,

：?AEyAB=ZABC,

由翻折可知NE'AB=NE46,

：?ZABC=NE4B,

?：AF=BF>

：.ZFAB=ZFBA,

：?ZABC-ZFBA=ZEAB-ZFAB,

：,/EBC=NEAF,

VAF//EC9

：.ZAFE=ZCEBf

"AEFsiaBCE,

.AFEF

*'BE-CE,

設(shè)AF=CE=B/=x,

VOE=OF=I,

：.EF=2OE=2,

.X2

?----=-,

x+2X

?^?JC=1+λ∕5.X=?-y∕5(負(fù)根舍去)

經(jīng)檢驗(yàn)：X=I+6是原方程的根，且符合題意,

.?.CE=l-√5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的

判定與性質(zhì)，能夠根據(jù)已知條件證明相關(guān)三角形全等和相似是解題的關(guān)鍵.

15.（2020?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=4√2.ZB=450,ZC=60o.

（1）求BC邊上的高線長.

（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AC上，連結(jié)EF,沿EF將△AEF折疊得到△PEP.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時，求/4EP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)尸產(chǎn)_LAC時，求AP的長.

【答案】(1)4;(2)①90°；(g)2√6

【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作ADLBC于D.解直角三角形求出AD即可.

（2）①證明BE=EP,可得∕EPB=NB=45。解決問題.

②如圖3中，由（1）可知：AC=」"=逑，證明^AEFS∕?ACB,推出”=絲，由此求出AF即

sin60°3ABAC

可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖1,過點(diǎn)A作A￡>_LBC于點(diǎn)力，

在RsAB。中，AD=AB?sin45。=40X立=4.

2

圖1

(2)①如圖2,V∕?AEF^∕?PEF,

.,.AE=EP.

又YAE=BE,

：.BE=EP.

ΛZEPB=ZB=45o,

/.NAEP=90°.

在RSAOC中'Ac=磊=竽

9

：PFLACf

.?ZPFA=90o,

?/?A?F^?PEF,

.?NAFE=NPFE=45。,則NAFE=ZB.

又?.?NE4F=NC4B,

：?XEXFsχcNB,

2√2

.AF_AEAF_

?.萩=就'即運(yùn)=T'

?,?AF-2下）,

在RtAAFP中，AF=PF,則AP=后4尸=26.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

16.（2021.山東聊城.統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC中，AB=AC,以AC為直徑的：，0交BC于點(diǎn)Q,交AB

于點(diǎn)￡,過點(diǎn)。作。FLAB,垂足為尸，連接DE.

(1)求證：直線OF與O相切；

(2)若AE=7,BC=6,求AC的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)9.

【分析】(1)連接。。，利用AB=AC,OD=OCr證得OQ//4),易證J_QQ,故DF為。的切線;

證得求得防，利用防求得答案即可.

(2)ΔBE0SΔBC4,AC=AB=AF+

【詳解】證明：連接OD.

VAB=AC,

：.ZB=ZCf

YOD=OC,

：.ZODC=ZC9

；?/ODC=NB,

：.OD//AB,

tCDFLAB,

：.ODLDF9

Y點(diǎn)。在。。匕

???直線。尸與。O相切；

(2)解：???四邊形ACOE是OO的內(nèi)接四邊形，

???NAEo+NACO=180。，

?//AED+/BED=I80。,

：,/BED=/ACD,

*：ZB=ZBf

：.4BEDsABCA,

.BD_BE

^~AB~~BC,

9

?0D∕∕AB,AO=COf

：.BD=CD=LBC=3,

2

又,：AE=J

.3BE

.?—，

7+BE6

：.BE=2,

.'.AC=AB=AE+BE=7+2=9.

【點(diǎn)睛】此題考查J'切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，耍證某線是圓的切線，已知此線過圓上某

點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.

17.(2022秋.重慶.九年級重慶市第H^一中學(xué)校?？计谥?ABC中，AC=BC,ZC=90,CDLAB于

力，點(diǎn)E在線段3。上，點(diǎn)廠在射線C4上，連接CE,DF,滿足ZAr)F=NEC8.

—

嚴(yán)

B

CBCB'C

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若DF=2也,AC=4,求AF的長；

(2)如圖2,若AF=BE,求證：BC=2DEi

(3)如圖3,將二8E繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<a≤360)得到XCDE,連接CE',點(diǎn)尸為CE'的中點(diǎn)，連接

BP,若EB=46-4,ZDCE=30.當(dāng)BP最小時，直接寫出,BCP的面積.

【答案】(l)2√Σ-2;

(2)見解析；

?60-4√15

5-

【分析】（1）過點(diǎn)。作DGLAC于G,通過解直角三角形可求出AF的長；

（2）過點(diǎn)E作EWLAB交BC于”，通過A4S證明Z.D4F也AC"E,得AD=CH,設(shè)HE=BE=x,設(shè)

CD=BD=CH=y,用X和N的代數(shù)式表示出BC和OE的長，即可解決問題；

（3）取CZ）的中點(diǎn)。，連接。P,0B,其中。B交CE'于。，過。作OMLBC于M,過點(diǎn)。作QNLBC

于N,設(shè)。E=X,可表示出OE和OC的長，再根據(jù)8E的長，可求出x=4,可求得0P=2,則點(diǎn)P在以

。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，且點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，BP最小，再利用相似三角形的性質(zhì)求出QN的長

即可.

【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)。作AG_LAC于G,則NFG。=90。，

在LΛBC中，AC=3C=4,ZAeB=90。，

.?.ZBAC=ZB=45o,ABAAC2+BC?=4母,

CD±AB,AC=BC=4,ZACB=90°,

.?CD=AD=BD=-AB=-×4>∕2=2>∕2,

22

又CDVAB,DGLAC,

:.AG=CG=DG=-AC=-×4=2,

22

在RtAFGO中，由勾股定理得：

FG=y∣DF2-DG2=2√2,

AF=FG-AG=2亞-2;

(2)如圖，過點(diǎn)E作EHLAB交5C于H,則NHEB=90。,

Fl

上

CHB

oo

NHEB=90,ZB=45f

:.NBHE=ZB=45。,

:.BE=HE,ZCHE=180o-ZBHE=?80o-45o=135o,

AF=BE,

:.AF=HE,

ZBAC=45。，

.?.ZΩ4F=180o-ZβAC=180o-45o=135o,

.?.ZDAF=ZCHE9

在ACHF與.CHE中，

NADF=ZECB

<ZDAF=ZCHE,

AF=HE

.?.T-DAF^^dCHE,

AD=CH,

AD=BD=CD,

..CD=BD=CH,

設(shè)HE=BE=X,

貝IJBH=√HE2+BE2=√2x，

設(shè)CD=BD=CH=丫,

則BC=√CD2÷BD2=√2y，

CH+BH=BC,

:.y+6X=>∣2y,

2y-gy

..Λ一，

.?.DE=BD-BE=y-x=y-2y~^y=^y,

BC√2y?

??DE√2,

~τy

..BC=2DE;

(3)如圖，取8的中點(diǎn)。，連接OP,0B,其中。8交CE'于0