高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)

高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全1.,.2..

3.

4.集合個(gè).的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有個(gè)；非空子集有

個(gè)；非空的真子集有

5.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式;

(2)頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為此式

(3)零點(diǎn)式；當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)為此式4切線式：

設(shè)為此式

6.解連不等式。當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，常有以下轉(zhuǎn)化形式

.

7.方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于或。

8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)具體如下：在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，

(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；

，，.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，.

9.一元二次方程＝0的實(shí)根分布

1方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；2方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為

或或；

3方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或.

10.定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立(或有解)的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間形如。，，不同上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是

(2)在給定區(qū)間。的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))

恒成立的充要條件是

(3)在給定區(qū)間。的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))

的有解充要條件是

(4)在給定區(qū)間。的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))

有解的充要條件是

對于參數(shù)及函數(shù)若

若函數(shù)

11.真值表

12.常見結(jié)論的否定形式

有解，則.若；若恒成立，則有解，則；若；若恒成立，則有解，則；.無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論13.四種命題的相互關(guān)系(右圖):

14.充要條件記表示條件，表示結(jié)論

1充分條件：若，則是充分條件.

2必要條件：若，則是必要條件.

3充要條件：若，且，則是充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

15.函數(shù)的單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系

(1)設(shè)那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)函數(shù).

16.如果函數(shù)和在某個(gè)區(qū)間都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)也是增函數(shù);如果函數(shù)

是增函數(shù)；如果函數(shù)

是增函數(shù)；如果函數(shù)

在其對應(yīng)的定義域上一個(gè)是減函數(shù)而另一個(gè)是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

17．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

18.常見函數(shù)的圖像：

19.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是;

兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.

20.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).

21．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)

是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)

是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

22.函數(shù)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線

對稱.

(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

.

23.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

24.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)

的圖象；若將曲線的圖象.的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線

25.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)

正比例函數(shù).

(2)

指數(shù)函數(shù).

(3)

對數(shù)函數(shù).

(4)

冪函數(shù).

(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，

.

26.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)1，則的周期T=a；2

，或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)27.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

且，則的周期T=4a；

(1)，且.

(2)28.根式的性質(zhì)1.，且.

2當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)

為偶數(shù)時(shí)，

29．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)..

(2).(3).

p注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指

數(shù)冪都適用.

30.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式:

.

31.對數(shù)的換底公式:(,且,,且,

).

對數(shù)恒等式：(,且,

).

推論

(,且,

).

32．對數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1);(2);

(3);(4)。

33.設(shè)函數(shù)

的值域?yàn)?則，且。,記.若的定義域?yàn)?則且;

若34.對數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，，，且，則1.2.

35.平均增長率的問題負(fù)增長時(shí)

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.

36.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系：

).(數(shù)列的前n

項(xiàng)的和為

37.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n

項(xiàng)和公式為：.

38.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n項(xiàng)的和公式為

39.等比差數(shù)列:或的通項(xiàng)公式為

.

；

其前n項(xiàng)和公式為：.

40.分期付款(按揭貸款)：每次還款

41．常見三角不等式元(貸款元,次還清,每期利率為).

1若，則.

(2)若，則.(3).

42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，.

43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號看象限

，

44.和角與差角公式

;

;

.

(平方正弦公式

);

.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).

45.二倍角公式及降冪公式

.

.

.

46.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；

函數(shù)

，

三角函數(shù)的圖像：

(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.

五點(diǎn)法作圖列表：

47.正弦定理：R為外接圓的半徑.

48.余弦定理

;53.面積定理

;.

1分別表示a、b、c邊上的高.2.3

.

49.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有

.

50.簡單的三角方程的通解

.

.

.

特別地,有

.

.

.

51.最簡單的三角不等式及其解集

.

.

.

.

.

.

52.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(

μ)=(λμ);

(2)第一分配律：(λ+μ)=

λ+

μ;

(3)第二分配律：λ(+)=

λ

53.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)

·=·交換律;

+

λ.

(2)·

=·

=·=

·;(3)+·=·+·.

54.平面向量基本定理

如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得=λ1+λ2．不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件：

55．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)=,=

，且

，則

((M為任意點(diǎn))).56.與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：·=||||。

57.

·的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積．向量在向量上的投影：||58.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)=,=＝．，則+

=.

(2)設(shè)=,=，則-

=.

(3)設(shè)A，B,則.

(4)設(shè)=

，則=.

(5)設(shè)=,=，則·=.

59.兩向量的夾角公式

(=,=).

60.平面兩點(diǎn)間的距離公式

=(A，B).

61.向量的平行與垂直：設(shè)=,=

，且，則

||=

λ

.

()

·=

0.

62.線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，

則

63.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、.,則△ABC

的重心的坐標(biāo)是

.

64.點(diǎn)的平移公式

.

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形65.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

1點(diǎn)按向量=平移后得到點(diǎn)上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為..

(2)函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.

(3)圖象按向量=.平移后得到圖象,若的解析式,則

的函數(shù)解析式為

(4)曲線:按向量=平移后得到圖象,則的方程為.

(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=.

66.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則1為的外心.2為的重心.3為的垂心.4為的內(nèi)心.5為的的旁心.

67.常用不等式：

1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．

2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．345.6

68.最值定理:已知(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)。都是正數(shù)，則有

1若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；

2若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.

3已知，若則有

。

4已知，若則有

69.

一元二次不等式在兩根之外；如果與，如果與同號，則其解集異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間

.

；

.

70.含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時(shí)，有

.或

71.無理不等式.

1.

2.3

72.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)時(shí)

,.

;

(2)當(dāng)時(shí)

,

.

;

73.斜率公式

、

74.直線的五種方程

1點(diǎn)斜式

.(直線過點(diǎn)，且斜率為)．

2斜截式

(b為直線在y軸上的截距).

3兩點(diǎn)式

()(、()).兩點(diǎn)式的推廣：無任何限制條件！

(4)截距式

(分別為直線的橫、縱截距，)

5一般式

(其中A、B不同時(shí)為0).直線的法向量：，方向向量：

75.兩條直線的平行和垂直

(1)若，①;②.

(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；

,,，此時(shí)直線

76．四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：

(1)定點(diǎn)直線系方程：

經(jīng)過定點(diǎn)的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中(除直線),其中是待定的直線系方程為是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,

(除)，其中λ是待定的系數(shù)．的交點(diǎn)的直線系方程為

(3)平行直線系方程：直線

平行的直線系方程是中當(dāng)斜率k一定而b

變動時(shí)，表示平行直線系方程．與直線()，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線

變量．

(5)直線系與線段

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參相交。

77.點(diǎn)到直線的距離：(點(diǎn),直線：).78.或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左。79.或所表示的平面區(qū)域

或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所

成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。

80.圓的四種方程

1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

.

2圓的一般方程

(＞0).

3圓的參數(shù)方程

.

4圓的直徑式方程

81.圓系方程

(1)過點(diǎn),的圓系方程是

(圓的直徑的端點(diǎn)是、).

,其中系數(shù)．是直線的方程,λ是待定的

(2)過直線:與圓:

的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

(3)過圓:與圓:

的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，就是

表示：

①當(dāng)兩圓相交時(shí)，為公共弦所在的直線方程；

②向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡直線方程

82.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若83.直線與圓的位置關(guān)系，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).

直線與圓的位置關(guān)系有三種(

):;;.

84.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，

;

;

;

;

.

85.圓的切線方程及切線長公式

(1)已知圓．①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是

.當(dāng)圓外時(shí),表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．求切點(diǎn)弦方程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為

漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要

(2)已知圓．①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;②斜率為的圓的切線方程為.

(3)過圓外一點(diǎn)的切線長為

86.橢圓的離心率，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為：.

87.橢圓

，；。

88．橢圓的的3橢圓與直線相切的條件是.

90.雙曲線的離心率，過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為：

，，。

91.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.

(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.

92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1若雙曲線方程為

漸近線方程：.

(2)

若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為..

(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為

，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上.

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。

93.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.3雙曲線與直線相切的條件是.

94.拋物線的焦半徑公式拋物線，

.

(其中θ為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到FC的角)過焦點(diǎn)弦長.

(其中α為傾斜角)

95.拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中

.

95.

二次函數(shù)的圖象是拋物線：

1頂點(diǎn)坐標(biāo)為；2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

3準(zhǔn)線方程是.

97.以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。

98.拋物線的切線方程

(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3拋物線99.兩個(gè)常見的曲線系方程

(1)過曲線,與直線相切的條件是.的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.

100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式

或

弦端點(diǎn)A角，為直線的斜率，，由方程消去y得到.，,為直線的傾斜101.圓錐曲線的兩類對稱問題

1曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.

2曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是

.特別地，曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的曲線是.曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.102.動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)，若的軌跡為拋物線；若，M的軌跡為雙曲線。，M的軌跡為橢圓；若，M103．證明直線與直線的平行的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；

2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

3轉(zhuǎn)化為線面平行；

4轉(zhuǎn)化為線面垂直；

5轉(zhuǎn)化為面面平行.

104．證明直線與平面的平行的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；

2轉(zhuǎn)化為線線平行；

3轉(zhuǎn)化為面面平行.

105．證明平面與平面平行的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；

2轉(zhuǎn)化為線面平行；

3轉(zhuǎn)化為線面垂直.

106．證明直線與直線的垂直的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為相交垂直；

2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

107．證明直線與平面垂直的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。

108．證明平面與平面的垂直的思考途徑

1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

109.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

(1)加法交換律：＋=＋．

(2)加法結(jié)合律：(＋)＋=＋(＋)．

(3)數(shù)乘分配律：λ(＋)=

λ＋

λ．

110.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.

111.共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量、(≠)，∥存在實(shí)數(shù)λ使=

λ．

三點(diǎn)共線

.、112.共面向量定理向量共線且

不共線且不共線.與兩個(gè)不共線的向量、共面的存在實(shí)數(shù)對,使．

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB如果三個(gè)向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x＋y＋z．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z

，使

.

115.射影公式已知向量則

=和軸，是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，

116.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)

＝，＝則(1)＋＝；(2)－＝；

(3)

λ＝(λ∈R)；(4)·＝；

117.設(shè)A，B，則

=

118．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則

.

；

.

119.夾角公式設(shè)

＝，＝，則.推論

，此即三維柯西不等式.120.正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。特別地，對于正四面體每兩個(gè)面所成的角為，有。

121．異面直線所成角

=

其中122.直線為異面直線與平面所成角

所成角，分別表示異面直線的方向向量

(為平面的法向量).

123.二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角

或124折疊角定理，為平面，的法向量.

設(shè)AC是α，AB與AC所成的角為．則.

若A

126.點(diǎn)，B到直線距離

，則

=.

(點(diǎn)127.異面直線間的距離

在直線上，為直線的方向向量，

=).

(128.點(diǎn)是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).到平面的距離

為平面的法向量，129.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

.

，是的一條斜線段.

.

.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段

,,).的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F

，130.三個(gè)向量和的平方公式

131．作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.

132．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．133.球的半徑是R，則其體積,其表面積．

134.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體:正方體的5.(6).

140.組合數(shù)公式：===(∈N*，，且).

141.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.

142.組合恒等式1;2;3;4=;5.(6).(7).(8).(9).(10).

143.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系:.

個(gè)元素的排列144．單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取

1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有種；②某特元不在某位有補(bǔ)集思想

著眼位置

著眼元素種.

2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有

注：此類問題常用捆綁法；種.

③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)

排列數(shù)有種.，把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有3兩組元素各相同的插空個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有種排法.

4兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為

145．分配問題

1(平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物件等分給.個(gè)人，各得

件，其分配方法數(shù)共有

.

2(平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有

.

3(非平均分組有歸屬問題)將相異的，，?，件，且，，?，這

個(gè)物體分給

個(gè)人，物件必須被分完，分別得到個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有

.

4(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的得到，，?，件，且，，?，這個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、?個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有

.

5(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，?，件無記號的堆，且，，?，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.

6(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，?，件無記號的堆，

且，，?，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、?個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.7(限定分組有歸屬問題)

將相異的被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得個(gè)物體分給甲、乙、丙，??等件，?時(shí)，則無論，，?，等個(gè)人，物體必須個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

.

146．“錯位問題”

2封信與2個(gè)信封全部錯位排列數(shù)：1；

3封信與3個(gè)信封全部錯位排列數(shù)：2；

4封信與4個(gè)信封全部錯位排列數(shù)：9；

5封信與5個(gè)信封全部錯位排列數(shù)：44；

一般記著上面的就夠了

推廣

貝努利裝錯箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯位的組合數(shù)為

.

推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯位的不同組合總數(shù)為

.

147．不定方程的解的個(gè)數(shù)

(1)

方程的正整數(shù)解有個(gè).

(2)

方程的非負(fù)整數(shù)解有

個(gè).

(3)

方程滿足條件(

,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).148.二項(xiàng)式定理

;

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

.

的展開式的系數(shù)關(guān)系：

；；。

149.等可能性事件的概率：.

150.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．151.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和：

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．

152.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率：P(A·B)=P(A)·P(B).

153.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：

P(A1·A2·?·An)=P(A1)·P(A2)·?·P(An)

154.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率：

155.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)1;2.

156.數(shù)學(xué)期望：

157.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.

2若～,則.

(3)若服從幾何分布,且，則.158.方差：159.標(biāo)準(zhǔn)差：160.方差的性質(zhì)(1)=.；

(2若～，則.

(3)若服從幾何分布,且，則.161.方差與期望的關(guān)系：.

162.正態(tài)分布密度函數(shù)：

式中的實(shí)數(shù)μ，，>0是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.163.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：.164.對于，取值小于x的概率：

.

.

165.回歸直線方程

，其中.

166.相關(guān)系數(shù)：

.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限1.2.

3無窮等比數(shù)列()的和.

168.

函數(shù)的極限定理：.169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)