2023-2024學年廣東省東莞外國語學校高二（下）第一次段考數(shù)學試卷（4月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省東莞外國語學校高二（下）第一次段考數(shù)學試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x?A.0 B.1 C.2 D.32.有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有多少種(

)A.24 B.64 C.81 D.43.(x?2)5的展開式中A.40 B.?40 C.80 D.4.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(

)

A.0<f′(3)<f(5.若函數(shù)f(x)=(x?3A.m<?1 B.m>2

C.?6.已知函數(shù)f(x)=(x+A.?1 B.0 C.1 D.7.已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，當A.f(12)>2f(18.已知(8?9x)A.?1 B.1 C.?63 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.丹麥數(shù)學家琴生(Jensen)是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數(shù)f(x)在(a,b)上的導函數(shù)為f′(x)，fA.f(x)=sinx+10.若α，β∈[?π2,A.α>β B.α+β>011.已知函數(shù)f(x)=|lnx|,x∈A.n的最大值為5 B.n的最大值為4

C.f(x1)x1的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有______種不同的選法．13.若函數(shù)f(x)=2xf14.已知函數(shù)f(x)=ax?ex，?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

投石入水，水面會產(chǎn)生圓形波紋區(qū)，且圓的面積隨著波紋的傳播半徑r的增大而增大(如圖).計算：

(1)半徑r從a增加到a+d時，圓面積S相對于r的平均變化率；

(2)半徑r16.(本小題15分)

已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對這6件產(chǎn)品一一進行測試，直至確定出所有次品則測試終止.(以下請用數(shù)字表示結(jié)果)

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，且第4次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？

(2)17.(本小題15分)

已知fn(x)=(1+x)n．

(1)若g(18.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax2(a>0)．19.(本小題17分)

英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當f(x)在x=0處的n(n∈N*)階導數(shù)都存在時，f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+f(3)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由f(x)=x?1x，得f′(x)=1+1x2，

∴2.【答案】C

【解析】解：∵有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，

∴不同的投法有：3×3×3×3=81(種)．

故選：C．

由有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，可知每封信有3個選擇，所以可得有33.【答案】A

【解析】解：(x?2)5的展開式的通項Tr+1=C5rx5?r(?2)r，

4.【答案】A

【解析】解：觀察圖象可知，該函數(shù)在(2,3)上為連續(xù)可導的增函數(shù)，且增長的越來越慢．

所以各點處的導數(shù)在(2,3)上處處為正，且逐漸減小，所以故f′(2)>f′(3)，

而f(3)?f(2)=5.【答案】C

【解析】解：由題意可得，f′(x)=(x?2)ex+x?2=(x?2)(ex+1)，

則當x>2時，f′6.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1定義域為R，

令g(7.【答案】B

【解析】解：令F(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，

結(jié)合已知可得F′(x)=xf(x)?f(x8.【答案】C

【解析】解：對(8?9x)7=a0+a1x+?+a7x7兩邊同時求導，9.【答案】AB【解析】解：對于A，由f(x)=sinx+cosx，得f′(x)=cosx?sinx，則f″(x)=?sinx?cosx=?(sinx+cosx)，

∵x∈(0,π2)，∴sin10.【答案】AB【解析】解：令f(x)=xsinx，x∈[?π2,π2]，則f′(x)=sinx+xcosx，

∵當x∈(0,π2)時，sinx>0，xcosx>0，即f11.【答案】BD【解析】解：f(x)x的幾何意義為過點(x,f(x))，(0,0)的直線的斜率．如圖所示，

易知直線y=kx與f(x)=|lnx|,x∈(0,6),ex?6?1,x∈[6,+∞)的圖象最多只有4個交點，

故n的最大值為4，故A錯誤，B正確．

當直線12.【答案】6

【解析】解：從3名工人中選1名上白班和1名上晚班，可以分成先選1名上白班，再選1名上晚班這兩個步驟完成．先選1名上白班，共有3種選法；上白班的人選定后，上晚班的工人有2種選法．根據(jù)分步計數(shù)原理，所求的不同的選法數(shù)是3×2=6(種)．

故答案為：613.【答案】12【解析】解：∵f′(x)=2f′(1)+2x，

∴f′(1)=2f′(1)+214.【答案】(?【解析】解：?x∈(1,+∞)，f(x)<alnx+a?ex，

等價于?x∈(1,+∞)，ex?ax>ex?a(lnx+1)，

等價于?x∈(1,+∞)，ex?ax>eln(ex)?aln(ex)，15.【答案】解：(1)圓面積S相對于半徑r的平均變化率為

π[(a+d)2?a2]d=π(【解析】(1)根據(jù)平均變化率的定義進行求解；

(2)在16.【答案】解：(1)6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對這6件產(chǎn)品一一進行測試，

需測試4次，按順序可看作為4個位置，

兩件次品置于第二，四位，有放法數(shù)A22=2；

其余二個位置放二個正品，有放法數(shù)A42=12，

由乘法原理方法數(shù)為：2×12=24種不同的測試情況；

(2)6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對這6件產(chǎn)品一一進行測試，

至多4次可分為恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，

恰好2次，即前2次測試都是次品，方法數(shù)為A22=2；

恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法數(shù)為C【解析】(1)需測試4次，按順序可看作為4個位置，兩件次品置于第二，四位，其余二個位置放二個正品，求解排放方法．

(2)至多4次可分為恰好2次，恰好3次，恰好17.【答案】解：(1)g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8=(3x2+8x+6)(1+x)6，

因為(1+x)6展開式中的第r+1項Tr+【解析】(1)由題知g(x)=(x2+8x+6)(1+18.【答案】解：(1)當a=1時，f(x)=lnx?x2，x>0，

則f′(x)=1x?2x=1?2x2x=(1?2x)(1+2x)x，

當x∈(0,22)時，f′(x)>0，當x∈(22,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)的遞增區(qū)間為(0,【解析】(1)代入a=1，直接求導然后確定單調(diào)性；

(2)先令x=1219.【答案】(1)解：令f(x)=sinx，f′(x)=cosx，f′′(x)=?sinx，f(3)(