(完整版)大連理工大學高等數(shù)值分析有限元簡述-2017

橢圓與拋物微分方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉化成一種變分方程（微分積分方程），從而降低了對解的光滑性和邊值條件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個單元（有限元），構造分片光滑函數(shù)，這個光滑函數(shù)由其在單元頂點上的函數(shù)值決定；最后，把這個分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方程中去，就得到關于單元頂點函數(shù)值的一個線性方程組，解之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條件，易于利用分片高次多項式等等來提高逼近精度?？臻g作為例子，我們將考慮區(qū)間上的微分方程。用表示在上勒貝格平方可積函數(shù)的集合，表示本身以及直到階的導數(shù)都屬于的函數(shù)的集合。我們下面用到的主要是。這里所說的導數(shù)準確地說是應該是廣義導數(shù)，對此我們不予詳細說明，只需知道比如說，連續(xù)的分片線性函數(shù)（折線函數(shù)）就屬于，其廣義導數(shù)是分片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到空間。（空間=函數(shù)集合。）微分方程考慮兩點邊值問題 （1） （2） （3）其中都是區(qū)間上的光滑函數(shù)，,并且，是一個正常數(shù)。用中任一函數(shù)乘（1）式兩端，并在上積分，得（4）利用分部積分，并注意和，得以此代入到（4）得到（5）為了方便，定義（7）（8）則相應于微分方程（1）-（3）的變分方程為：求滿足 （9）注意在（9）中不出現(xiàn)二階導數(shù)?？梢宰C明，滿足微分方程（1）-（3）的光滑解一定滿足變分方程（9）。（9）的解稱之為（1）-（3）的廣義解，它可能只有一階導數(shù)，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是（1）-（3）的解。另外注意，在變分方程（9）中，我們強制要求廣義解滿足邊值條件，因而稱之為強制（或本質）邊界條件；而對邊值條件，則不加要求。但是可以證明，如果廣義解在通常意義下二階可微，則一定有，即這個邊界條件自然滿足。這類邊界條件稱之為自然邊界條件?？傊兎址匠蹋?）不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了對邊值條件的要求。有限元空間構造有限元法的第一步與差分法一樣，也是對求解區(qū)間作網格剖分。相鄰節(jié)點之間的小區(qū)間稱為第個單元，其長度為。記。在空間中，按如下原則選取有限元空間：它的元素滿足所謂本質邊界條件，在每一單元上是次多項式，并且在每個節(jié)點上都是連續(xù)的。當時，就得到最簡單的線性元，這時每個可表為，（10）其中。圖1.一維線性元線性元的另外一種表示方法是利用以下具有局部支集的基函數(shù)：（11）（12）圖2.線性元的基函數(shù)顯然，任一可以表為（13）有限元方程將變分方程（9）局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解滿足 （14）注意到和都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等價于如下的線性方程組：求節(jié)點上的近似解滿足（15）這個線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解。可以把微分方程（1）、變分方程（9）和有限元方程（15）比喻為確定“好人”的三種標準：他每一時刻表現(xiàn)都好；每一個人都說他好；一個遴選委員會說他好。誤差估計可以證明，微分方程（1）-（3）的解和有限元方程（14）或（15）的解之間的誤差滿足（16）其中是一個常數(shù)；表示范數(shù)，定義為,（17）二維橢圓方程有限元法以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： ， （18） （19）其中是以為邊界的一個二維區(qū)域。利用Green公式，容易推出相應的變分方程：求滿足 ， （20）其中空間由在邊界上為零且廣義偏導數(shù)在區(qū)域上勒貝格可積的所有函數(shù)組成，（21）（22）二維區(qū)域上最常用的剖分是形如下圖的三角剖分：我們可以相應地構造三角剖分上的線性元。對內點集合（例如上圖中3，6，5這三個點）中每個節(jié)點，定義其基函數(shù)為一個分片線性函數(shù)，它在節(jié)點取值為1，而在所有其他節(jié)點為0。這樣，有限元空間中任一元素就可以表示成。把它帶入到變分方程（20）便得有限元方程：求上的近似解滿足（23）高次元可以從兩個途徑來提高有限元法的精度，一個是加密網格，另一個是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite三次元，它在每一個單元上是一個三次多項式，由兩個端點上的函數(shù)值和導數(shù)值總共4個參數(shù)確定。這時，相應于（16）我們有誤差估計（24）其中表示階導數(shù)。對于二維問題也可以使用高次元，但是其定義要稍微復雜一點。拋物方程有限元法考慮一維拋物方程（25）（26）（27）其中系數(shù)都是和的已知光滑函數(shù)，初值是的已知光滑函數(shù)。它的變分方程為：求使得對每一個固定的，都有，并且（28）其中（29）（30）拋物方程有限元法的通常做法是在時間方向用差分法，在空間方向用有限元法。象在（10）中那樣，可以關于變量構造線性有限元空間。令時間方向步長為。若時間方向用向前差商，空間方向用線性有限元，并記，則有限元方程為：對，逐層求滿足（31）這相當于在每一層要解一個線性方程組：或者稍微整理一下：（32）如果在時間方向用梯形公式，則類似于（31）得到所謂Crank-Nicolson格式：（33）習題1