新課標(biāo)九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座-第十六講-銳角三角函數(shù)

第十六講銳角三角函數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國(guó)數(shù)學(xué)家為了測(cè)量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用以下幾何結(jié)論：在兩個(gè)大小不同的直角三角形中，只要有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值一定相等．正是古人對(duì)天文觀察和測(cè)量的需要才引起人們對(duì)三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過(guò)瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)：1．單調(diào)性；2．互余三角函數(shù)間的關(guān)系；3．同角三角函數(shù)間的關(guān)系．平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1；商數(shù)關(guān)系：tgα=，ctgα=；倒數(shù)關(guān)系：tgαctgα=1．【例題求解】【例1】在△ABC中，∠A、∠B是銳角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，那么S△ABC=．思路點(diǎn)撥過(guò)C作CD⊥AB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值．注：設(shè)△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，R為△ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)S△ABC=；〔2〕．【例2】如圖，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，那么AC=()A．B．C．0.3D．思路點(diǎn)撥由15°構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化．注：〔1〕求()非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形．〔2〕求()銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比，有時(shí)需通過(guò)等的比來(lái)轉(zhuǎn)換．【例3】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CE，求sin∠ACE的值．思路點(diǎn)撥作垂線把∠ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比．【例4】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC，(1)求證：AC＝BD；(2)假設(shè)sinC=，BC=12，求AD的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥(1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明；(2)sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC＝13．【例5】：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的兩個(gè)根．(1)求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件；(2)假設(shè)、滿足(1)的條件，方程的兩個(gè)根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦?思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件．學(xué)歷訓(xùn)練1．α為銳角，以下結(jié)論①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>，那么α<60°；④．正確的有．2．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，那么這個(gè)菱形的面積為．3．如圖，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此圖可求得tan75°=．4．化簡(jiǎn)(1)=．(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=．5．身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽．三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，那么三人所放的風(fēng)箏中()A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低D．丙的最低6．sinαcosα=，且0°<α<45°那么coα-sinα的值為()A．B．C．D．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中點(diǎn)，那么ctg∠DBC的值是()A．B．C．D．8．如圖，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，假設(shè)tan∠DBA=，那么AD的長(zhǎng)為()A．B．2C．1D．9．關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值．10．如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AE⊥BC于E，假設(shè)BD＝8，sin∠CBD=，求AE的長(zhǎng)．11．假設(shè)0°<α<45°，且sinαconα=，那么sinα=．12．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，α為銳角，那么α的取值范圍是．13．是△ABC的三邊，a、b、c滿足等式，且有，那么sinA+sinB+sinC的值為．14．設(shè)α為銳角，且滿足sinα=3cosα，那么sinαcosα等于()A．B．C．D．15．如圖，假設(shè)兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，那么重疊局部(圖中陰影局部)的面積是()A．2B．C．1D．16．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=，AC=，那么AB的長(zhǎng)是()A．B．C．5D．17．己在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且c=，假設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6，求△ABC的面積．18．如圖，AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC的長(zhǎng)．19．設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20．如圖，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿直線滾動(dòng)．(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△AlB1C1的位置，此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為，約為(精確到，π(