高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)獲獎(jiǎng)作品《等差數(shù)列》

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)獲獎(jiǎng)作品《等差數(shù)列》一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5》（人教版）其次章數(shù)列其次節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特別的函數(shù)與函數(shù)思想密不行分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好打算。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的學(xué)問進(jìn)一步深化和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列供應(yīng)了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二（2）班的學(xué)生，經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生學(xué)問閱歷已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維實(shí)力和演繹推理實(shí)力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好還不是很濃，所以我在授課時(shí)留意從詳細(xì)的生活實(shí)例動(dòng)身，留意引導(dǎo)、啟發(fā)、探討和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維實(shí)力的進(jìn)一步發(fā)展。三、設(shè)計(jì)思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)學(xué)問進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和主動(dòng)性，發(fā)揮其創(chuàng)建性。⑵分組探討法：有利于學(xué)生進(jìn)行溝通，剛好發(fā)覺問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性。⑶講練結(jié)合法：可以剛好鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2．學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問題、水庫水位問題、儲(chǔ)蓄問題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種實(shí)力的同學(xué)引導(dǎo)相識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探究，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和須要解決的問題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并駕馭等差數(shù)列的概念，能用定義推斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，能在解題中敏捷應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用；并在此過程中培育學(xué)生視察、分析、歸納、推理的實(shí)力，在領(lǐng)悟函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把探討函數(shù)的方法遷移來探討數(shù)列，培育學(xué)生的學(xué)問、方法遷移實(shí)力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)力。在解決問題的過程中培育學(xué)生主動(dòng)探究、勇于發(fā)覺的求知精神；使學(xué)生相識(shí)事物的改變形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心視察、仔細(xì)分析、擅長(zhǎng)總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過肯定的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的民族驕傲感和愛國(guó)熱忱。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點(diǎn)：①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、教化貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問題，都須要用到有關(guān)數(shù)列的學(xué)問來解決。今日我們就先學(xué)習(xí)一類特別的數(shù)列。傾聽課堂引入探究探討由學(xué)生視察分析并得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常這樣數(shù)數(shù)，從0起先，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼實(shí)行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為競(jìng)賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。假如一個(gè)水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從起先放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。依據(jù)單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么依據(jù)單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。視察分析，發(fā)表各自的看法引向課題發(fā)覺規(guī)律思索：同學(xué)們視察一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？視察分析并得出答案:引導(dǎo)學(xué)生視察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于-2.5；對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于72；由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。通過分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的探究學(xué)問的愛好，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點(diǎn)。總結(jié)提高[等差數(shù)列的概念]對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：等差數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學(xué)生仔細(xì)閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過學(xué)生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括實(shí)力，學(xué)會(huì)抓重點(diǎn)。提問：假如在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿意什么條件？由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學(xué)生參加到學(xué)問的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)潔的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。不難發(fā)覺，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)?？磥?，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則深化探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學(xué)習(xí)更深化的探究，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平?？偨Y(jié)提高[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。⑴、我們是通過探討數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們依據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項(xiàng)公式：①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10（=5+5），第3項(xiàng)是15（=5+5+5），第4項(xiàng)是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48，第2項(xiàng)是53（=48+5），第3項(xiàng)是58（=48+5×2），第4項(xiàng)是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是③這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5（=18-2.5），第3項(xiàng)是13（=18-2.5×2），第4項(xiàng)是10.5（=18-2.5×3），第5項(xiàng)是8（=18-2.5×4），第6項(xiàng)是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072，第2項(xiàng)是10144（=10172+72），第3項(xiàng)是10216（=10072+72×2），第4項(xiàng)是10288（=10072+72×3），第5項(xiàng)是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)會(huì)發(fā)覺規(guī)律，并加以總結(jié)。⑵、那么，假如隨意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：所以……引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式?？偨Y(jié)提高思索：那么通項(xiàng)公式究竟如何表達(dá)呢？……進(jìn)一步的分析。得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來了。思索，并發(fā)表各自的看法。讓學(xué)生有自主思索的時(shí)空。應(yīng)用鞏固例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？讓兩個(gè)學(xué)生分別對(duì)這兩小題加以分析。讓學(xué)生參加課堂。分析：⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來。首項(xiàng)知道了，還須要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個(gè)問題可以看成是上面那個(gè)問題的一個(gè)逆問題。要推斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿意該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且須要留意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來推斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)推斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，假如不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。傾聽老師點(diǎn)評(píng)通過老師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第1題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的學(xué)問應(yīng)用水平例2．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4千米）計(jì)費(fèi)10元。假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，須要解：依據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客須要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來計(jì)算車費(fèi).令=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)須要支付車費(fèi)答：須要支付車費(fèi)23.2元。學(xué)以致用，將所學(xué)學(xué)問應(yīng)用到詳細(xì)生活中去，加深對(duì)概念的理解。例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問題的一個(gè)簡(jiǎn)潔應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的學(xué)問解決實(shí)際問題。傾聽老師點(diǎn)評(píng)通過老師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生對(duì)關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第2題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的學(xué)問應(yīng)用水平例3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列肯定是等差數(shù)列嗎？分析思索，然后分組探討，讓兩組學(xué)生代表發(fā)表自己的見解。培育學(xué)生分析問題的實(shí)力，在小組探討中提高組長(zhǎng)的組織與歸納組內(nèi)成員想法的實(shí)力。分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的隨意相鄰兩項(xiàng)（n＞1），求差得它是一個(gè)與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)公差。由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如的數(shù)列，肯定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.例題評(píng)述：通過這個(gè)例題我們知道推斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行更深化一步的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好。探究探討引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖探討完成以下探究：⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？⑵在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)覺了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點(diǎn)；⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。學(xué)生動(dòng)手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組探討，發(fā)表見解。通過學(xué)生動(dòng)手作圖，并加以對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義：即(n≥2)②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n≥1)推導(dǎo)出公式：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對(duì)這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學(xué)生自己小結(jié)，使學(xué)生對(duì)自己所學(xué)學(xué)問有更深刻的相識(shí)。評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1、已知是等差數(shù)列.⑴是否成立？呢？為什么？⑵是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：作業(yè)是課堂的持續(xù)，除了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)問的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課學(xué)問的進(jìn)一步探究，讓學(xué)生在更大的深度與廣度之間進(jìn)行思索。七、教學(xué)反思本節(jié)課通過生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生視察，從而得出等差