高中希望杯數(shù)學競賽試題詳解(1-10題)

題1已知的大小關系是.（第十一屆高二第一試第11題）解法1，..解法2，.解法3=.解法4原問題等價于比較與的大小.由得，..ABCxyOb-abb+a圖1解法5如圖1，在函數(shù)的圖象上取三個不同的點A（，）、B（，）、C（，）.ABCxyOb-abb+a圖1由圖象，明顯有，即，即，亦即.解法6令，單調(diào)遞減，而，，即，.解法7考慮等軸雙曲線.如圖2，其漸近線為.在雙曲線上取兩點ABOxy圖2A（，）、B（，ABOxy圖2由圖形，明顯有，即，從而.解法8如圖3.在Rt△ABC中，∠C為直角，BC=，AC=，BD=，則AB=，DC=.在△ABD中，AB-AD<BD，即AD，ABDC圖3從而ABDC圖3即，故.評析比較大小是中學代數(shù)中的常見內(nèi)容.其最基本的方法是作差比較法、作商比較法、利用函數(shù)的單調(diào)性.解法1通過分子有理化（處理無理式常用此法）將問題轉(zhuǎn)化成比較兩個分母的大小.解法2干脆作商與1比較大小，順理成章，也很簡潔.要留意的是：時，；時，.此題干脆作差難以確定差與0的大小，解法3對的倒數(shù)作差再與0比較大小，使得問題順當獲解，反映了思維的敏捷性.解法6運用函數(shù)的單調(diào)性解題，構造一個什么樣的函數(shù)是關鍵.我們認為構造的函數(shù)應使得恰為其兩個函數(shù)值，且該函數(shù)還應是單調(diào)的（最至少在包含對應的自變量值的某區(qū)間上是單調(diào)的）.解法5與解法7分別構造函數(shù)與解幾模型，將的大小關系問題轉(zhuǎn)化成斜率問題加以解決，充分溝通了代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系，可謂創(chuàng)新解法.解法8充分挖掘代數(shù)式的幾何背景，構造平面圖形，直觀地使問題得到解決，這也是解決大小關系問題和證明不等式的常用方法.有人對此題作出如下解答：取則，，可再取兩組特殊值驗證，都有.故答案為.從邏輯上講，取，得.即使再取無論多少組值（也只能是有限組值）驗證，都得，也只能說明或作為答案是錯誤的，而不能說明確定是正確的,因為這不能解除的可能性.因此答案雖然正確，但解法是沒有依據(jù)的.當然，假如將題目改為選擇題：已知的大小關系是（）A、B、C、D、此時用上述解法，且不用再取特殊值驗證就可選D，并且方法簡潔，答案確定正確.總而言之，特殊值法在解很多選擇題時顯得特殊簡捷，那是因為選擇支中的正確答案是唯一的，從而通過特殊值解除干擾支，進而選出正確答案.但特殊值法只能解除錯誤結論，而不能干脆確定正確答案，因此，用此法解填空題（少數(shù)特例除外）與解答題是沒有依據(jù)的.當然，利用特殊值指明解題方向還是特別可取的.題2設，且恒成立，則的最大值為（）A、2B、3C（第十一屆高二第一試第7題）解法1原式．．而+，且當，即時取等號．．．故選．解法2，，已知不等式化為．由，即，故由已知得，選．解法3由，知，有．又，即，由題意，．故選．解法4，．已知不等式可變形為．記，則．由題意，．故選．解法5于是．比較得．故選．評析由已知，可得恒成立．依據(jù)常識“若恒成立，則；若恒成立，則,”的最小值就是所求n的最大值，故問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，上述各種解法都是圍繞這一中心的，不過采納了不同的變形技巧，運用了不同的基本不等式而已．解法1運用了；解法2運用了；解法3運用了；解法4運用了；解法5運用了．雖解法異彩紛呈，但卻殊途同歸．此題使我們聯(lián)想到最新中學數(shù)學其次冊（上）P第8題：已知，求證：．證：令，則．．，．此證法通過換元將分母中的多項式改寫成單項式，使得推證更簡潔了．運用這一思路，又可得本賽題如下解法：設，則．恒成立，就是恒成立．也就是恒成立．恒成立，由題意得．故選．再看一個運用這一思想解題的例子．例設，求證：．（其次屆“友情杯”國際數(shù)學競賽題）證明設則．，①，,即，．本賽題還可干脆由下面的命題得解．命題若，則．證明，都大于．反復運用①式，可得:“若,則,當且僅當時取等號”.故有．也可以這樣證明：，．故由柯西不等式，得，即．，．由此可得本賽題的如下解法：，，．由題意，．故選．由此命題還可干脆解決第七屆高二培訓題第8題：設，并且，，則與的大小關系是()A、B、C、D、解，．故選．題3設實數(shù)滿意，，則的最大值為()A、B、C、D、（第十一屆高二培訓題第5題）解法1設則即max=.故選D．解法2,又,當且僅當且即時取等號，解法3當且僅當時取等號，故.解法4設則當且僅當共線，即時取等號，故.解法5若設，則直線與圓有公共點，于是，即.解法6設,則當且僅當時取等號，故．解法7構造函數(shù)，則故即解法8由還可構造圖形（如圖），其中為圓的直徑，由托勒密定理,得，從而得，當且僅當且時取等號．．評析解法1抓住已知條件式的結構特征，運用三角代換法，合情合理，自然流暢，也是解決此類型問題的通法之一．解法2運用基本不等式將放大為關于與的式子，再利用條件求出最大值．值得留意的是，稍不留意，就會得出下面的錯誤會法：．故選A．錯誤的緣由就在于用基本不等式求最值時未考慮等號能否取到．上述不等式取等號的條件是①且②，而若①，②式同時取得，則，即這與題設沖突！即當時，取不到．解法2是避開這種錯誤的有效方法．由于向量與復數(shù)的模的平方是平方和形式，與已知形式一樣，故解法4與解法6分別運用了構造向量與構造復數(shù)的方法，新奇而簡潔．解法5設后，將其看作動直線，利用該直線與定圓有公共點，則圓心到直線的距離小于等于半徑，得，充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的解題功能．解法7運用的是構造函數(shù)法．為什么構造函數(shù)呢？主要基于兩點：①為非負式（值大于等于0），②由于，故有，而溝通了已知與未知的關系，故使問題得到解決．解法8抓住已知兩條件式的特征，構造了兩個有公共邊的直角三角形，利用托勒密定理及圓的弦小于等于半徑使問題獲解，充分揭示了這一代數(shù)問題的幾何背景．拓展此題可作如下推廣若則（當且僅當時取得最大值）.證明當且僅當本推廣實際就是由聞名的（柯西）不等式（當且僅當時取等號）干脆得到的一個結論．推廣有特別廣泛的應用，現(xiàn)舉一例：例已知求最大值．解＝8．由推廣知當且僅當即時取等號．題4對于的一切實數(shù)，使不等式都成立的實數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿（第十三屆高二培訓題第63題）解法1題設等價于或或，即或或,所以或或，即.解法2已知不等式即，令，則當，即時，是的一次函數(shù)，因為，即時不等式恒成立，所以在上的圖象恒在軸的下方，故有，即，解得.又當時，，適合題意，當時，不合題意.故的取值范圍是.評析解決本題的關鍵是如何依據(jù)條件構建關于的不等式或不等式組.解法1運用分別參數(shù)法，為了達到分別參數(shù)的目的，又對分大于0、小于0、等于0三類情形分別構建關于的不等式組，從而通過解不等式組解決了問題.解法2則轉(zhuǎn)換思維角度，把已知不等式看成關于的不等式，從而將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象恒在軸下方的問題.這種方法稱為變更主元法.用此方法，使得此題的解決顯得既簡捷，又直觀易懂.題5當時,不等式恒成立,則的最大值是________.(第十一屆高二培訓題第45題)解法1當時,①,又有②,②+①×2,得,,,即.由,得,.解法2,又,,即,當且僅當且,即時取等號.恒成立,.于是.解法3原不等式等價于,由,可知.由“兩個正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”,可知只需,即即可,故,于是.解法4即①成立，又恒成立，只要滿意②就能使①恒成立.由②式，得，，③.由于對稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)，當時，要③式恒成立，則.解法5設（），則=+=.－1），即2－，則，于是，由已知，得.OOx解法6設則OOx表示在坐標系第一象限內(nèi)以原點為圓心，為半徑的圓及其外部.由得又它表示雙曲線位于第一象限內(nèi)的一支及其上方部分.依題意，雙曲線相切或相離，從而，即.解法7運用結論“假如，則當且僅當（常數(shù)）時取等號.”，由柯西不等式，有①，由得②.故得，當且僅當時取等號，由，得.解法8運用結論“當且僅當成等差數(shù)列時取等號.”.，當且僅當，即時取等號.令，得.評析恒成立，.故問題的實質(zhì)就是求的最小值（關于的式子）大于等于2的解.因而在的條件下，如何求的最小值成了問題的關鍵.解法1運用“兩個互為倒數(shù)的正數(shù)的和大于等于2”,解法2運用配方再放縮,解法3運用均值不等式及“兩個正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”,解法5運用三角代換，解決了這一關鍵問題.解法4奇妙地將原問題轉(zhuǎn)化為一個含參（）一元二次不等式恒成立，求參數(shù)的范圍問題，從而運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.解法6將原問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題處理.解法7、8則是運用一些現(xiàn)成的結論（讀者可自己證明），各種解法異彩紛呈，都值得細細品嘗.拓展此題可作如下推廣：推廣1若，則，當且僅當成等差數(shù)列時取等號.證明由已知，，則，，.依據(jù)柯西不等式及解法7運用的不等式（）,有故.當且僅當成等差數(shù)列時取等號.推廣2若，則，當且僅當時取等號.證明不妨設，由已知得令，則=.由均值不等式，即，則，即，，當且僅當時取等號..題6已知，設，，，那么的大小關系是（）A、B、C、D、（第八屆高二第一試第10題）解法1設，.，而是減函數(shù)，，即.，，.，即.故.選D.解法2由題意，令，則，，，，，，是減函數(shù)，又，，即.故選D.評析這是一個比較函數(shù)值大小的問題，通常利用函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)單調(diào)遞增（減），則當時，，當時，.因此解決問題的關鍵有兩個：一是確定函數(shù)的單調(diào)性，二是確定自變量的大小關系.解法1就是這樣解決問題的.因為正確答案應對一切都正確，故又可以運用特殊值法.對內(nèi)的某個角不正確的選擇支都是錯誤的，由正確選擇支的唯一性，也可選出正確答案.解法2便是取特殊值，解除了A、B、C、而選D的.當然，此題也可用作差比較法來解：，，是單調(diào)減函數(shù)，，.，.又，即，.選D.題7已知，不等式的解是.（第三屆高二其次試第13題）解原不等式即.指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，，原不等式化為，即.又對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，，即，解得.對數(shù)函數(shù)的定義域是的實數(shù)，原不等式的解是或.評析此題涉及到指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、確定值不等式的解法.解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的基本方法是同底法，即先將不等式兩邊的指數(shù)式或?qū)?shù)式化成底數(shù)相同的指數(shù)式或?qū)?shù)式，然后依據(jù)底數(shù)所屬區(qū)間是或，確定以該底數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，再去掉底數(shù)或?qū)?shù)符號，轉(zhuǎn)化成別的不等式.主要依據(jù)如下：⑴若,則；⑵若,則；⑶若,則；⑷若,則.有時須要將常數(shù)化為指數(shù)式或?qū)?shù)式，其化法如下：⑴（且）；（化為指數(shù)式）⑵（且）.（化為對數(shù)式）例如，將常數(shù)2化為3為底的指數(shù)式，將常數(shù)2化為3為底的對數(shù)式.解指數(shù)不等式不需檢驗，但解對數(shù)不等式必需保證解使得對數(shù)式有意義，這點常被忽視.若一個指數(shù)不等式的指數(shù)部分是對數(shù)式，經(jīng)常采納取對數(shù)法求解.例不等式的解集是.（第十一屆高二培訓題第40題）解兩邊取常用對數(shù)，得，即或或.故所求解集是.應當指出，兩邊取對數(shù)后，不等號的方向變不變，關鍵看取的是什么底數(shù).假如底數(shù)大于1，則不等號方向不變，假如底數(shù)大于0且小于1，則不等號方向變更.關于確定值不等式，主要是依據(jù)確定值的幾何意義求解.下列結論應當理解并熟記（為常數(shù)）.⑴的解集是；⑵的解集是；⑶的解集是R；⑷的解集是.下列題目供練習：⑴已知常數(shù)，則不等式的解集是.（第八屆高二第一試第16題）⑵若函數(shù)的定義域是不等式的解集，則的最小值=；最大值=.（第十屆高二第一試第23題）⑶不等式的解集是.（第九屆高二培訓題第23題）⑷不等式的解是（）（A）或（B）或（C）（D）答案⑴⑵；2⑶⑷A題8不等式的解集是,實數(shù)的取值范圍(用區(qū)間形式)是.(第一屆高二第一試第18題)解法1由兩邊平方并整理得,此方程無實根,故,.又,.故填.yx1-11o解法2作出函數(shù)的圖象(即圖中的半圓)及函數(shù)的圖象(即圖中斜率為1的直線系).由題意,直線應在半圓的上方,由圖象可知直線在軸上的截距.故填.yx1-11o解法3由,得.故設,,則已知不等式就是,即.,又,.由題意得.故填.評析這是一道蘊含著豐富數(shù)學思想方法的好題.解法1﹑2﹑3分別運用方程思想﹑數(shù)形結合思想﹑化歸轉(zhuǎn)換思想,從不同的角度解決了問題,體現(xiàn)了這道題的豐富內(nèi)涵.解法2揭示了本題的幾何背景.解法3的依據(jù)是:不等式的解集是等價于不等式恒成立.有人認為不等式的解集是等價于不等式有解,這種觀點是錯誤的.事實上,時,不等式就有解(比如就是其一個解),而時,不等式即的解集卻不是(比如0就是它的一個解).拓展通過上面的分析,并作進一步的探討,我們便有下面的結論已知為參數(shù),的值域是.若恒成立,則.若恒成立,則.若的解集是,則.若的解集是,則.若有解,則.若有解,則.若將的值域改為、、等，也會有相應的結論，限于篇幅，不再一一列出．依據(jù)這一結論，請回答下列問題：1.不等式的解集是，則實數(shù)的取值范圍是．2.不等式的解集是，則實數(shù)的取值范圍是．3.不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是．4.不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是．5.不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．6.不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．答案1.2.3.4.5.6.題9不等式的解集是（）A、B、C、D、（第十三屆高二其次試第8題）解法1當，即或時，原不等式就是即，解得.當時，原不等式就是即解得或.綜上，所求解集為即.故選A.解法2如圖，作函數(shù)和的圖象.要求的解集就是，即在上方時的區(qū)間，即圖中線段AB上的點所對應的橫坐標所組成的區(qū)間.13AB又當時，由可解得.當時，由可解得，所求不等式的解集為，故選A.13AB解法3同解法2畫出圖形后，可知解集為一個閉區(qū)間，且，比照選擇支.可知選A.解法4當時，時，故1.5不是原不等式的解，從而解除含1.5的B、C、D，故選A.評析解含確定值的不等式，一般是先去掉確定值符號，然后再求解.解法1正是運用分類探討思想這樣解決問題的，也是一種通法.我們知道，方程的解就是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標；若圖象無交點，則方程無解.而不等式的解集則是函數(shù)的圖象在的圖象上方部分的點的橫坐標的集合；若的圖象都不在的圖象的上方，則不等式無解.解法2正是運用這種數(shù)形結合思想解