2021年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）

2021年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。（共12題；共60分）

1.設(shè)集合乂={x|0<x<4},N={x||<x<5},則MnN=（）

A.{x|0<x<1}B.{x||<x<4}C.{x|4<x<5}D.{x|0<x<5}

【答案】B

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】解：MCN即求集合M,N的公共元素，所以McN={x|gx<4},

故答案為：B

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【答案】C

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖

【解析】【解答】解：對(duì)于A,由頻率分布直方圖得該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為

0.02+0.04=6%,故A正確；

對(duì)于B,由頻率分布直方圖得該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為0.02x3+0.04=10%,

故B正確；

對(duì)于D,由頻率分布直方圖得該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間比率估計(jì)為

0.10+0.14+0.20x2=0,64>0.5,故D正確

故不正確的是c

故答案為：C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖直接求解即可.

2

3.已知(1-i)z=3+2i，則z=()

3333

A.-1--iB.-1+-iC.--+iD.---i

2222

【答案】B

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

■〃刀▼vAA-,b-n3+213+2i(3+2i)i—2+3i4.3.

【解析】【解答】解：2=碇===』=丁=-1+/

故答案為：B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求解即可.

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV。己知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)

據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為()(=1.259)

A.1.5B,1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得，將L=4.9代入l=5+lgV,得|gV=0.1=一表，

所以v=io10=:-y°，8

*7101.259

故答案為：C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化求解即可.

5.已知Fl,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且NF1PF2=6O。，|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為

()

A.—B.—C.y/7D.V13

22

【答案】A

【考點(diǎn)】雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】解:由得

|PFI|=3|PF2|,|PFi|-|PF2|=2a|PFi|=3a,|PF2|=a

222

在中，Ef3|FiF2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cosZFiPF2

#(2c)2=(3a)2+a2-2x3axaxcos60°

解得c=—a

2

所以e=￡=亞

a2

故答案為：A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理以及離心率公式直接求解即可.

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱徘A-EFG后，所得多面體的三

視圖中，正試圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

【答案】D

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，由三視圖還原實(shí)物圖

【解析】【解答】解：由題意得正方體如圖所示，

則側(cè)視圖是

故答案為：D

【分析】根據(jù)三視圖的畫法求解即可.

7.等比數(shù)列｛a，的公比為q,前n項(xiàng)和為S0,設(shè)甲：q>0,乙：｛Sj是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】解：當(dāng)ai=-l,q=2時(shí)，｛SJ是遞減數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件；

當(dāng)脩｝是遞增數(shù)列時(shí),即則所以甲是乙的必要條件；

an+i=Sn+i-Sn>0,aiq">0,q>0,

所以甲是乙的必要條件但不是充分條件.

故答案為：B

【分析】根據(jù)充要條件的判定，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法

是珠峰高程測(cè)量方法之一.右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有以A,B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一

水平而上的投影A，8，C滿足C'B=45。，/4'B'C'=60。.由c點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15。，曲，

BB'與CC'的差為100：由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。,則A,C兩點(diǎn)到水平面4'B'C'的高度差A(yù)4’-

CC,約為（）<V3?1,732；

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【考點(diǎn)】正弦定理，正弦定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)C作BB，的垂線交BB，于點(diǎn)M,過(guò)B作AA，的垂線交AA，于點(diǎn)N,

在△ABC'中，由正弦定理得武;=得

在△BCM中，由正弦定理得點(diǎn)=片，

則/=晟，解得”=瑞“273,

得A,C兩點(diǎn)到水平面A'BC的高度差A(yù)A'-CC'=273+100=373.

故答案為：B

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

9.若aef0,^),tan2a=^^,則tana=()

【答案】A

【考點(diǎn)】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的

運(yùn)用

【解析】【解答】解：由題意得tan2a=^=§『=『,

cos2a1—zsina2—sma

則2sina（2—sina）=1—2sin2a,解得sina=],

又因?yàn)?Er0,?）,所以cosa=—sin2a=百

/4

n；IM.sina715

9r以tana=——=——

cosa15

故答案為：A

【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

C

A---1

3B.53D.5

【答案】C

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式，排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

【解析】【解答】解：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行共有4種排法，

先將4個(gè)1全排列，再用插空法將2個(gè)0插入進(jìn)行排列，共有d種排法，

則所求概率為P=：=g

故答案為：C

【分析】根據(jù)古典概型，結(jié)合插空法求解即可.

11.已知A,B,C是半徑為1的求。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACJ_BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為（）

A.立B.且C.立D.包

121244

【答案】A

【考點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：記^ABC的外接圓圓心為01,由ACJ_BC,AC=BC=1知01為AB的中點(diǎn)，且AB=

V2,0C=f,

又球的半徑為1,所以0A=0B=0C=l,所以0A2+OB2=AB2,001=y，

則OOi2+OiC2=OC2

則OOilOiC,OOilAB,

所以00」平面ABC,

所以4TBC=g448c，。。1=5TT，￥=噂

故答案為：A

【分析】根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的外接球的性質(zhì)，運(yùn)用三棱錐的體積公式直接求解即

可.

12.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+l)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[1,2]時(shí)，f(x)=ad+b.若f(0)+

f⑶=6,則瑕)=()

9375

B-2CqD.-

【答案】D

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值

【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x+l)是奇函數(shù),所以f⑴=0,即a+b=0,則b=-a,

又f(0)=f(-l+l)=f(-l+2)==f(l)=0,

由f(0)+f(3)=6得a=-2,

所以雇)=/(2+習(xí)=/(2一|)=/(一分=/(一)1)=一北+1)=一/6+2)

=-/(-1+2)=-/(1)

故答案為：D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。(共4題；共20分)

13.曲線y=筮在點(diǎn)I，一3)處的切線方程為------。

【答案】5x-y+2=0

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程

【解析】【解答】解：由題意得八號(hào)鏟=舟，所以在點(diǎn)(-1，-3)處的切線斜率k=5,故

切線方程為y+3=5(x+l),即5x-y+2=0

故答案為：5x-y+2=0

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.

14.已知向量a=(3,l),b=(l,0),c=a+kb,若a_Lc,則k=。

【答案】一日

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

J

【解析】【解答】解：；=；+o=(3,1)+fc(1,o)=(3+M)

由第1二=3,(3+k)+l=0，解得仁智

故答案為：一弓

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量垂直的判斷條件求解即可.

15.已知Fi，F(xiàn)2為橢圓C：直+e=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)堆成的兩點(diǎn)，且

164

|PQI=|F1F2|，則四邊形PFQF2的面積為。

【答案】8

【考點(diǎn)】橢圓的定義，三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【解答】解：由|PQI=|FF2|,得|OP|=?FIF2|,所以PFIJ_PF2,

所以SPF1QF2=2s4PF/2=2XNXtan-^=8

故答案為：8

【分析】根據(jù)橢圓的定義及直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式求解即可

16.已知函數(shù)f(x)=2cos(3x+力)的部分圖像如圖所示，則滿足條件rf(x)-f(-^))(/(x)-

/(￡))>0的最小正整數(shù)x為o

【答案】2

【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法，余弦函數(shù)的圖象

【解析】【解答】解：由衛(wèi)=業(yè)一三=注得T=n,3=2

41234

將點(diǎn)&°)代入f(淄=2cos(2x+0),得2cos(2+w)=0

則'

所以

所以/(%)=2cos(2x-嵩)

(f(x)-f(-y))(/(%)-/(y))>0等價(jià)于(f(x)-1)(/(%)+V3)>0

則f(x)<-遮或/(x)>1

由圖象得最小整數(shù)》€(wěn)(三,學(xué),

所以x=2

故答案為：2

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(共5題；共60分)

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別

用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

付.1^2_n(ad-bc)2

(a+b)6c+d)fa+c?<b+d)

P(K，Nk)0.0500.0100.001

K3.8416.635。10,828

【答案】(1)(1)由題意可知：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：黑=,

2004

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：黑=1

400+(150X80-50'120)2

(2)由于K2=10.256>6,635

270X130X200X200

所以，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

【考點(diǎn)】頻率分布表，獨(dú)立性檢驗(yàn)，獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率=頻數(shù)/總體直接求解即可；

(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法直接求解即可.

18.已知數(shù)列｛a。｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為｛a"的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明

另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛a,是等差數(shù)列：②數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列；③az=3ai

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選①②作條件證明③：

2

設(shè)V5n=an+b(a>0),貝ijSn=(an+b),

當(dāng)n=1時(shí)，a1=Si=(a+b)2；

22

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn_1=(an+b)—(an-a+b)=a(2an—a+2b)；

因?yàn)椋鸻n｝也是等差數(shù)列，所以(a+b)2=a(2a—a+2b)，解得b=0；

所以%=a2(2n-l),所以<22=3%.

選①③作條件證明②：

因?yàn)椤?=3%,｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，

所以公差d=a2—%=2%,

所以Sn=n%+"。；Ad=n2al,即yfs^=y[a[n,

因?yàn)閂sn+1-瘋=炳5+1)-Vain=炳，

所以｛后｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

2

設(shè)y/^n=an+b(a>0),貝USn=(an+b),

當(dāng)n=1時(shí)，ai=Si=(a+b)2；

當(dāng)n>2時(shí)，4=Sn—Sn_i=(an+b)2—(an—a+b)2=a(2an-a+2b)；

_

因?yàn)閍2-3aj,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=y;

22

當(dāng)b=0時(shí)，ax=a,an=a(2n-1),當(dāng)n>2時(shí)，髭-07H1=滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)｛a?｝

為等差數(shù)列；

當(dāng)b——y時(shí)，=an+b=an-a,=-<0不合題意，舍去.

綜上可知｛%>｝為等差數(shù)列.

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】選(1)(2)做條件時(shí)，證明③：根據(jù)等差數(shù)列的定義得出/S；=an+b(a>0)，且｛%>｝

也是等差數(shù)列，進(jìn)一步遞推出③。2=3%;

若選①③作條件證明②：由。2=3%,顯然d=a2-%=2al再寫出前n項(xiàng)的和與ai,n的關(guān)系式

瘋=g?n,進(jìn)而證明｛后｝是等差數(shù)列.；

選②③作條件證明①：先設(shè)JT=an+b(a>0),進(jìn)一步形為S"=(an+b)2,再根據(jù)an與

sn的關(guān)系，分n為1,n>l,推導(dǎo)出%-%-1=2。2,顯然｛%>｝為等差數(shù)列。

19.己知直三棱柱ABC-A1BG.中,側(cè)面AAiBiB為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC和CJ的中點(diǎn),D為

棱AiBi上的點(diǎn),BF±AiBi.

(1)證明：BFXDE；

(2)當(dāng)為BiD何值時(shí)，面BBiJC與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

【答案】(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A^B^C^是直三棱柱，所以BB11底面ABC,所以BB11AB

因?yàn)锳\B[〃AB,BF,所以BFLAB,

又BBCBF=B,所以AB1平面BCCXBX.

所以BA.BC.BBy兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,BBI所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

所以8(0,0,0)Q(2,0,0),C(0,2,0),Bi(O,0,2Ml(2,0,2)。式0,2,2),

E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)￡>(a,0,2)(0<a<2).

因?yàn)锽F=(0,2,1),DE=(1-a,l,-2),

所以FFD￡,=0X(l-a)+2Xl+1X(-2)=0,所以BF1DE.

(2)設(shè)平面DFE的法向量為m-(x,y,z),

因?yàn)镋F=(-1,1,1),DE=(1-a,l,-2),

所以｛(m-EF=0即(-x+y+z=0

所以m.DE=0'即Ql-a)x+y-2Z=0-

令z=2—a,貝1］濟(jì)=(3,1+a,2—a)

因?yàn)槠矫鍮CC$i的法向量為瓦？=(2,0,0)，

設(shè)平面BCC1B1與平面DEF的二面角的平面角為9,

AI|加曲|

貝n,0.|.COS81=——zr-=--/6=/3.

I河川2xJ2a2_2a+14V2a2-2a+14

當(dāng)a=g時(shí)，2a2-2a+4取最小值為日，

3_V6

此時(shí)cos。取最大值為第=可.

所以(Sin8)min=J1-(彳)2=*

此時(shí)當(dāng)。=2.

【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根據(jù)條件，先證明BA.BC.BB,兩兩垂直，再建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，定

義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用空間向量證明BF1OE.

(2)先設(shè)O(a,0,2)設(shè)出平面平面DFE的法向量及平面BCC1B1的法向量，分別求出二法向量，再

由向量的夾角公式，得到夾角余弦值，當(dāng)其值最大時(shí)正弦值最小，確定此時(shí)的a值即為BiD的值。

20.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，直線L：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，且OPJ_OQ.已知點(diǎn)M

(2,0)，且0M與L相切,

(1)求0M的方程；

(2)設(shè)AIA,A3,是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2,A1A3均與OM相切，判斷A2A3與0M的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

【答案】(1)依題意設(shè)拋物線。鏟=2px(p>O),P(l,yo),Q(l,-y()),

OP10Q,???OP-0Q=1-=1—2p=0,2p=1,

所以拋物線C的方程為y2=x,

M(0,2),OM與x=l相切，所以半徑為1,

所以0M的方程為(x-2)2+y2=1；

(2)設(shè)41(右'1)/2(如、2)/3(43/3)

若力斜率不存在，則方程為x=1或x=3,

若71^2方程為X=1,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)41(1,1),

則過(guò)為與圓M相切的另一條直線方程為y=l,

此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在&,不合題意；

若方程為x=3,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)人2(3,-6)，

AXA2

則過(guò)A與圓M相切的直線為小為y-V3=y(x-3),

Vk-力一一_]_]_3_n

k

乂A1A3-Xi_X3-yi+y3-^+y3-3,y3-u)

x=O4(o,o)，此時(shí)直線關(guān)于%軸對(duì)稱，

3AXA3,A2A3

所以直線A2A3與圓M相切；

若直線斜率均存在，

A.A2,AAA3,A2A3

則%的=島;，或遇3=島？％2方=土)

1

所以直線方程為y-y[=—,

A^2yi+yz

整理得％-(為+y2)y+yi72=o，

同理直線的方程為x-O14-y)y+7173=0，

AXA33

直線A2A3的方程為%-(%+y3)y+y2y3=o，

???4遇2與圓M相切，=1

14Ji+竽(yi詈+y21)z

整理得(尤-1必+2yly2+3-*=0,

4遇3與圓河相切，同理01-1)因+2yly3+3-y；=0

所以y-L,y-i為方程Oj-l)y2+2yly+3-yj=0的兩根，

._2yj_3-y：

丫2+y-i=~行，丫2,乃=而"，

M到直線A2A3的距離為：

3_yj

|2+^^|

J2+y2y3l_*_1

Jl+（，2+乃＞|2月

1為-1

=M+II=史=i

J（y：-l）2+4*yl+1，

所以直線A2A3與圓M相切；

綜上若直線4通2，&43與圓M相切，則直線A2A3與圓M相切.

【考點(diǎn)】平面向量的綜合題，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，圓的參數(shù)方程

2

【解析】【分析】(1)先設(shè)拋物線的方程C:y=2px(p>0),由對(duì)稱性，可知IP(l,yo),(2(l,-yo)，進(jìn)

而由OPJ.OQ,可以很容易求出拋物線的P值，進(jìn)而寫出拋物線的方程；

由于圓M的圓心已知，且與x=l相切，立刻知道半徑，故很容易求得M的方程；

(2)先設(shè)出&(XiyD/2(X2，y2)/3(X3，y3)三點(diǎn)的坐標(biāo)，分公42斜率不存在及直線A1A2,A1A3,A2A3

斜率均存在討論，分別寫出相應(yīng)的直線方程，根據(jù)相關(guān)直線與圓相切的條件，分別代入拋物線方程,

利用達(dá)定理，點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)，推導(dǎo)結(jié)論。

21.己知a>0且an,函數(shù)f(x)=[(x>0),

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng)a=2時(shí)，/(尤)=%()=空2熹理=匕鏟父，

令/(X)=0得x=S,當(dāng)0cx時(shí)，f'(X)>0,當(dāng)%>專時(shí)，/(x)<0,

函數(shù)/(%)在(0,由上單調(diào)遞增；注,+叼上單調(diào)遞減:

(2)/(x)=^=1oa*=工。<=>x\na-alnx^~=~，設(shè)函數(shù)9。)=產(chǎn),

則9'0)=與等，令g'Q)=0，得x=e,

在(0,e)內(nèi)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

在(e,+8)上g(X)<0,g(x)單調(diào)遞減；

???g(x)m=。⑻=十，

又g(l)=0,當(dāng)X趨近于+8時(shí)，g(x)趨近于0,

所以曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線y=g(x)與直線y=*有兩個(gè)交點(diǎn)的充

分必要條件是0<整<十，這即是0<g(a)<g(e),

所以a的取值范圍是(l,e)u(e,+8).

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=|J,用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性；

（2）首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程?=（有兩個(gè)解的問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=?與函數(shù)力（乃=野

有兩聽(tīng)問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果。

四、選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（共1題；共10分）

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p

=2V2cos0.

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐