【數(shù)學(xué)】正態(tài)分布-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué) 人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)

人教A版2019選修第三冊(cè)第七章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2.通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.教學(xué)目標(biāo)情景導(dǎo)入PART.01情景導(dǎo)入

印在人民幣上的數(shù)學(xué)家

高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．

正態(tài)分布PART.02問題提出

現(xiàn)實(shí)中,除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外,還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸,但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量

,下面我們看一個(gè)具體問題。概念講解問題：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測(cè)值如下：(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?概念講解可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.其中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積為和為1隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.概念講解由函數(shù)知識(shí)可知，上圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù).思考1：這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢?其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對(duì)任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.f(x)x

μaxbO概念講解思考2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)?由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn):(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.概念講解

概念講解

思考3：

一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?歸納小結(jié)σ=0.5012-1-2x-33x=μσ=1σ=2(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

正態(tài)曲線的性質(zhì)：(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，且曲線在x=μ處取得最大值；(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度.在實(shí)際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有概念講解1.若X~N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.(4)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律：2.正態(tài)曲線下對(duì)稱區(qū)域的面積相等，對(duì)應(yīng)的概率也相等-x1-x2

x2

x1

a-a利用“對(duì)稱法”求正態(tài)分布下隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間的概率概念講解練習(xí)：若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a例題剖析例1.（多選）某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科成績(jī)的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項(xiàng)是().A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同AD

例題剖析例2.如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.

反思感悟歸納總結(jié)例題剖析

例3.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布．(1)估計(jì)X，Y

的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X與Y的分布密度曲線；(3)如果某天有38min可用,李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具？請(qǐng)說明理由．例題剖析解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.

用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,概念講解所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;

如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.（3）應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲