矩形的性質(zhì)（分層作業(yè)）-八年級數(shù)學(xué)下冊（人教版）（解析版）

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊18.2.1矩形的性質(zhì)同步練習(xí)夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對邊平行且相等【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵矩形的對角線互相平分且相等，平行四邊形的對角線互相平分；它們的對邊都具有平行且相等的性質(zhì)，∴矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線相等；故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，于點且于點，連接，則的長為（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】已知，，則和是直角三角形，，即；根據(jù)，則是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出答案．【詳解】∵，∴和是直角三角形，又∵，∴，∴∵∴是直角三角形，∴．故選：C【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，理清題意，得出是直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM、CN、MN，若，，則圖中陰影部分圖形的面積和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的中心對稱性判定陰影部分的面積等于空白部分的面積，從而得到陰影部分的面積等于矩形的面積的一半，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：∵點E、F分別是AB、CD的中點，M、N分別為DE、BF的中點，∴矩形繞中心旋轉(zhuǎn)180°陰影部分恰好能夠與空白部分重合，∴陰影部分的面積等于空白部分的面積，∴陰影部分的面積＝×矩形的面積，∵，，∴AB＝2，∴陰影部分的面積＝，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的中心對稱性，判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形中，、交于點O，于點E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得出，得出，由直角三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故C正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，若EF＝6cm，則AC的長是(

)A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得EF=DO，再根據(jù)矩形的對角線的性質(zhì)可得AC長．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，∴EF=DO，∵EF=6cm，∴DO=12cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=2DO=24(cm)，故選：C．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的對角線互相平分且相等．6．如圖，在長方形中，，．將沿折疊，使點的對應(yīng)點落在上，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，，，折疊，，在中，，，在中，，，．故選D．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形中，，相交于點，平分交于，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再由角平分線得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，證明△AOB是等邊三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題：8．如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使，若，則________．【答案】##17度【分析】連接，交于點，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交于點，四邊形是矩形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為（4，3），則對角線AC的長等于____．【答案】5【分析】連接OB，利用勾股定理求出OB的長，即為AC的長．【詳解】如圖，連接OB，∵B的坐標(biāo)為（4，3），∴∵四邊形OABC是矩形∴AC=OB=5故答案為：5．【點睛】此題主要考查求矩形對角線的長，解題的關(guān)鍵是熟知矩形對角線相等．10．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD邊上的一動點，M，N分別是AE，PE的中點，則隨著點P的運動，線段MN長的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理，先求出的取值范圍，進(jìn)而求出的取值范圍．【詳解】解：連接，∵M(jìn)，N分別是AE，PE的中點，∴，由題意可知：當(dāng)點與點重合時，最長，此時：，，當(dāng)當(dāng)點與點重合時，最短，此時：，，∴；故答案為：．【點睛】本題考查三角形中位線，解題的關(guān)鍵是確定動點P的兩個邊界點．11．如圖，在中，是高，E，F(xiàn)分別是的中點．若四邊形的周長為24，，則_____．【答案】9【分析】根據(jù)線段中點的概念得到根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的周長公式得到，進(jìn)而求出．【詳解】∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴∵是高，∴，∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴，∴四邊形的周長，∵四邊形的周長為24，∴，∵，∴，故答案為：9．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P為邊AB上任意一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE＋PF＝________．【答案】2.4【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．【詳解】解：連接OP，∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，∴PE+PF==2.4．故答案為：2.4．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．如圖，矩形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接，若，則的度數(shù)是_________．【答案】15°##15度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)有DO=OA=OB=OC，結(jié)合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分線，即有∠COG=90°，AG=CG，則有∠OAG=∠OCG，根據(jù)∠BOG=15°，可得∠COB=75°，進(jìn)而有∠OCB、∠OBC的度數(shù)，則可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即問題得解．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，∴DO=OA=OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵OG⊥AC，∴OG是AC的垂直平分線，∠COG=90°，∴AG=CG，∴∠OAG=∠OCG，∵，∴∠OAG=∠OCD，∵∠BOG=15°，∠COG=90°，∴∠COB=75°，∵∠OCB=∠OBC，∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，故答案為：15°．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OG是AC的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若點E在線段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于點F，沿EF折疊C落在處，當(dāng)為等腰三角形時，BC=________．【答案】18或15或21.9【分析】分三種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即可求解．【詳解】解：∵沿EF折疊C落在處，∴，，，∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，∴，當(dāng)時，CE=AE=13，∴BC=BE+CE=18；當(dāng)時，過點A作于點G，則，∵AE⊥EF，∴，∵，∴，∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，∴，∴EG=BE=5，∴，∴CE=10，∴BC=BE+CE=15；當(dāng)時，過點作于點M，連接交EF于點N，連接AF，則AE=2ME，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴此時點落在AD上，，∴，設(shè)DF=x，則，∵，∴，解得：，∴，設(shè)CE=a，則AD=BC=5+a，∵，∴，解得：a=16.9，∴BC=21.9；綜上所述，BC=18或15或21.9．故答案為：18或15或21.9【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．三、解答題：15．已知：如圖，在矩形中，，．對角線的垂直平分線分別交、于點、．求線段的長．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得，設(shè)，表示出的長度，然后在中，利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，∵是的垂直平分線，∴，設(shè)，則，在中，即解得：x=5∴【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，BE=2，DE=6，求AD的長．【答案】【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，證得AE是線段OB的垂直平分線，然后證得△OAB是等邊三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE=2，DE=6，∴BD=8，∴OB=4，∴BE=EO=2，∵AE⊥BD于E，∴AE是線段OB的垂直平分線，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形，∴AB=OB=4，∴AD==4．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，結(jié)合已知條件和等邊三角形的判定方法證明△OAB是等邊三角形是解題關(guān)鍵．17．已知：如圖，分別是的中點，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)可證明；【詳解】證明：如圖所示，連接，，是的中點．Rt中，，Rt中，，，又是的中點，；綜上所述，．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)．18．如圖，矩形中，的平分線交于點，為對角線和交點，且．（1）證明為等邊三角形；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）135°．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到、，再證明即可證明結(jié)論；（2）先說明，再求得，最后根據(jù)角的和差解答即可．【詳解】（1）證明：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=45°∵∠CAE=15°∴∠BAC=60°∵AO=BO∴△AOB是等邊三角形（2）解：∵△AOB是等邊三角形∴AB=BO∵AB=BE∴BE=BO∴∠BOE=∠BEO∵∠OBE=90°－60°=30°∴∠BOE=∠BEO=（180°－30°）÷2=75°∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題：1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊，折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后設(shè)EC=x，則EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形AOCD為矩形，D的坐標(biāo)為(10,8)，∴AD=OC=10，DC=AO=8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中,OF==6，∴FC=10?6=4，設(shè)EC=x，則DE=EF=8?x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8?x)2=x2+42，解得x=3，即EC的長為3，∴點E的坐標(biāo)為(10,3)．故選擇A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．2．如圖，在矩形中，，，過對角線交點作交于點，交于點，則的長是（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】首先連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，，，，再根據(jù)，得出線段是線段的垂直平分線，再根據(jù)線段的垂直平分線定理，可得，然后設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得出，解出即可得出的長．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，，，又∵，∴線段是線段的垂直平分線，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得：，∴．故選：A【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線定理、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．3．如圖，矩形的面積為5，它的兩條對角線交于點，以為兩鄰邊作平行四邊形，平行四邊形的對角線交于點，同樣以為兩鄰邊作平行四邊形，…，依此類推，則平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得的面積為，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得平行四邊形的面積為，同樣的方法可得平行四邊形和平行四邊形的面積，然后歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】解：矩形的面積為5，的面積為，四邊形是平行四邊形，平行四邊形的面積為，同理可得：平行四邊形的面積為，平行四邊形的面積為，歸納類推得：平行四邊形的面積為，其中為正整數(shù)，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．二、填空題：4．如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為__．【答案】【分析】先根據(jù)矩形的判定得出是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，，于，于，四邊形是矩形，，互相平分．且，，的交點就是點．當(dāng)?shù)闹底钚r，的值就最小，當(dāng)時，的值最小，即的值最?。?，，，，，，，；故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出的最小值是關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別為(5，0)，(0，3)，點P在BC邊上運動，當(dāng)OAP是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為_____．【答案】(,3)或(4，3)或(1,3)【分析】作PM⊥OA于M，則PM=OC=3，當(dāng)△OAP是等腰三角形時，分三種情況：①PO=PA時，②OP=OA=5時，③AP=OA=5時，分別取OM的長即可．【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，頂點A、C的坐標(biāo)分別為(5,0)、(0,3)，∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，作PM⊥OA于M，如圖：則PM=OC=3，當(dāng)△OAP是等腰三角形時，分三種情況：PO=PA時，點P在OA的垂直平分線上，OM=AM=OA=，∴P點的坐標(biāo)為：(,3)；OP=OA=5時，OM==4，∴P點的坐標(biāo)為：(4,3)；AP=OA=5時，AM==4，∴OM=OA-AM=1，∴P點的坐標(biāo)為：(1,3)；綜上所述，P點的坐標(biāo)為：(,3)或(4,3)或(1,3)；故答案為：(,3)或(4,3)或(1,3)．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．6．如圖，在矩形ABCD中，，的平分線交BC于點E，于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號是______．【答案】①②③【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE＝AB，從而得到AE＝AD，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根據(jù)平角等于180°求出∠CED＝67.5°，從而判斷出①正確；利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE＝DH，再求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根據(jù)等角對等邊可得OE＝OD＝OH，判斷出②正確；求出∠EBH＝∠OHD，證明△BEH≌△HDF（ASA），可得BH＝HF，得到③正確；判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④錯誤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°?45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°?45°?67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正確；在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∵∠AHB＝（180°?45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°?67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°?45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正確；∵∠EBH＝90°?67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，故③正確