2020-2021學(xué)年四川省內(nèi)江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）

2020-2021學(xué)年四川省內(nèi)江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）.

]/c兀、兀

1.cos(2x----)cios2x+sin(2x----)sin2x=:()

66

B.-返D.返

A.--c.—

2222

2.若a>b,則一定有()

A.—<—B.\a\>\b\cD.〃3〉拄

ab-后

3.記S八為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若〃4+。5=0,46=3,則S7=（)

A.-12B.-7C.0D.7

4.已知向量；=（1,2)，b=(1,0)，c=(3,4）?若（a+入b）”c（XER）-則實(shí)數(shù)入

=()

A.2B.1C.—D.—

24

5.設(shè)a為銳角，若cos(a+-^-)=性，則sin（2a+年）的值為（)

65

A.12“24c「.--24D.-衛(wèi)

25252525

6.已知x>0,y>0.且若2x+y>M恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

xy

A.(-8,7]B.(-8,7)C.(-8,9]D.(-8,9)

7.已知AABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,面積為S.若asinqt=6sinA,2S

=V3BAr'ci,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

8.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思

為：“有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

9.將函數(shù)y=sin（x-胃）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，再向右平移—個(gè)單

位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=/（x）的圖象.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,

若f（2A）二-坐，且a=4,b=敘歷，則△ABC的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

10.已知等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均不相等，且滿足〃2+2〃I=6,的2=2〃6,則該數(shù)列的前4項(xiàng)和

為（）

A.120B.-120C.3D.-22.5

222222

11.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，.2土=3上b=且

cb

宇”上￡2盧，若點(diǎn)。是△ABC外一點(diǎn)，0A=2,OB=1.則平面四邊形0AC8的面

sinAcosA

積的最大值是（）

A.B.C.3D.

442

12.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若仍=昌返，b+3acosC=0,則

2

當(dāng)角2取得最大值時(shí)，石在正方向上的投影是（）

A.B.c.D.-710

555

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知平面向量Z=（2,5）,E=（1°，X），若則兀=.

14.計(jì)算：sin60°cosl5O-2sin215°cosl5°=.

15.設(shè)。>0,/?>0,且5次?+/?2=1,則q+b的最小值為.

16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃〃｝中，“4-42=6,〃5-〃1=15,則斯=,又?jǐn)?shù)列｛為｝滿足

力卷，b^i二不?；若S〃為數(shù)列｛斯+也｝的前〃項(xiàng)和，那么.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、推演步驟.）

17.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃,若S4=15,S6=9S3.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）若d=log2a2〃,求數(shù)列｛瓦｝的前H項(xiàng)和4.

18.已知|；|=2,后|=3,W-3百?（2彳+1）=-7.

（1）若Z-E與37十%芯垂直，求女的值；

（2）求之與Z+E夾角的余弦值.

19.解關(guān)于x的不等式：“N+（1-〃）%-1>0.

c，c

20.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且滿足2a^b，C0Sl°sB,

cosA+cosA

（1）求出角A的值；

（2）若a=2,求△ABC的周長(zhǎng)的范圍.

21.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，2扶=Cb2+c2-a2）（1-tanA）.

（1）求角C；

（2）若C=2JI5,D為BC中點(diǎn),在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AO的長(zhǎng)度.

條件①：△ABC的面積S=4且2>4；

條件②：cosB=2g.

D

22.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且滿足〃i=l,當(dāng)〃三2（吒N*）時(shí)，（幾+1）

（n3-n）?

o

（1）計(jì)算：CL2,〃3；

（2）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)瓦=tanj^,求數(shù)列｛瓦+i瓦｝的前〃項(xiàng)和7k

參考答案

一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）.

(2x-^~)cos2x+sin(2x-^~)sin2x=()

1.cos

66

1B.考D.李

A.c

~24

../兀(71./兀、?/兀、

解:?COS(2X--^)=COS(_7-_2X)?，

6666

兀71,兀./冗、.

cos(2x------)cos2x+sin(2x------)sin2x=cos(-^-2x)cos2x-sinH^-2x)sin2x

6666

/兀、兀?

=COS(-7-2x+2x)=COS-7-=-7--

662

故選：D.

2.若a>b,則一定有（）

A.—<^B.\a\>\b\C.D.〃3〉拄

解：對(duì)于A,若〃>0>。，則［故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于8,若0>〃>4則⑷〈回，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若。>a>b,則°2<62,則故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若a>b,則。3>加顯然成立，故。正確.

故選：D.

3.記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若〃4+。5=0,06=3,則$7=（）

A.-12B.-7C.0D.7

軟《+@5=2軟1+7d-0,

解：因?yàn)椤?/p>

=a]+5d-3,

軟廣一7,

所以《

d=2,

7(7-1)

S=(-7)X7+2X

72

故選：B.

4.已知向量a=(1,2)，b=(150)，c=(3,4)-右(a+人b)#c(入€RM則實(shí)數(shù)入

()

1

A.2B.1c4D.z

解：:向量a=（l,2），b=（l,0），c=（3,4）.

???a+入b=（1，2）+入（1，0）=（1+A,2）,

,?*(a+b)//c(入CR)，

；.4(1+A)-3X2=0,解得入營(yíng).

故選：C.

設(shè)a為銳角，若cos（a+?）=《，則sin（2a+g）的值為（

5.)

653

A送R24C.-2412

D.---------D.

252525

/兀、4

解：:a為銳角，cos(a^r)=r

*e(0,會(huì)

2,兀、_3

??sin(al-coS(0.4^-)1T

貝！Jsin(2a+"~^")=2sin(a+-^-)cos(a)=2X-1-X424

525

故選：B.

已知兀>0,y>0.且2上1，若2x+y>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

6.

xy

A.(8,7]B.8,7)C.(-8,9]D.8,9)

解：—Ll,

且1>0,y>0,

xy

?(2二)=4+1+紅+叁力5+2

2x+y=(2x+y)

xyyx

當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)=里，即冗=尸3時(shí)，等號(hào)成立,

yx

???2x+y的最小值為9,

故選：D.

一A+T

7.已知△ABC內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,面積為S.若asin-六=/?sinA,2s

=?而?瓦，則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

解：因?yàn)閍sinA"=bsinA,

2

所以asin--)=acos-=Z^sinA,

222

由正弦定理可得sinAcos—=sinBsinA,

2

因?yàn)閟inAWO,可得cos—=sinB=2sin—cos—,

222

因?yàn)锽E(0,it),—G(0,----),cos—^0,

222

所以可得sin掾=《，可得掾=3,可得8=二，

22263

又2S=J^五?衰，可得2X?^■6csinA=J^?bccosA,即tanA=

因?yàn)锳e(0,n),可得A=二，

o

JT

所以Cnir-A-Buf,則△ABC的形狀是正三角形.

故選：C.

8.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思

為：“有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

解：有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走,

從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地,

則第n天走的里程數(shù)｛斯｝是公比為￡的等比數(shù)列,

??S6=-千=252,

解得。1=128,

則最后一天走了4Z6=128X~V=4.

25

故選：A.

9.將函數(shù)y二sin（x-《-）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，再向右平移〒個(gè)單

OO

位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=/(x)的圖象.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是〃，b,c,

若f(2A)=-堂，且a=4,b=l/2>則△ABC的面積為()

A.4B.6C.8D.10

解：由題意可得,f(x)=sin[|(x-y-)-^]=sin(1-y)=-coSf

f(2A)=-cosA=cosA=^^-.

兀

V0<A<ir,A=—.

4

a=4,b=472，由余弦定理得42=(蚯)2+c2-2x4如cX號(hào)，

整理得c2-8c+16=0,得c=4.

???S^ABC4ABXACXsinAW，???△ABC的面積為8,

故選：C.

10.已知等比數(shù)列｛。〃｝的各項(xiàng)均不相等，且滿足的+20=6,俏2=2疑，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和

為()

A.120B.-120C.3D.-22.5

解：等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均不相等，且滿足42+241=6,的2=2〃6,

%]q+2a]=6

-J(a1q2)2=2%q5,

q^l

解得ai=-6,q=-3,

???該數(shù)列的前4項(xiàng)和為：

$4=逸[包在尸]=120.

1-(-3)

故選：A.

222222

11.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，,士邑二P_=a+b-c且

cb

絲這_=l-co：B,若點(diǎn)。是△age外一點(diǎn)，0A=2,02=1.則平面四邊形0AC2的面

sinAcosA

積的最大值是()

A,經(jīng)返B.空運(yùn)C,3D.空運(yùn)

442

解：由型_上￡￡或，

sinAcosA

所以sinBcosA+sinAcosB=sinA,

所以sin(A+B)=sinA,即sinC=sinA,

所以C=A,

又記上止=史也±_,可得2accosB=2abcosC,可得cosB=cosC,可得8

cbcb

=c,

所以△ABC為等邊三角形,

由余弦定理得?2=12+22-2X2cos0,

貝1!SOACB=LX1X2sin8+^^42=sin8+^^（5-4cos0）=2sin（8-兀）+5y,

24434

當(dāng)e=器時(shí)，四邊形OACB面積取得最大值空返.

64

故選：A.

12.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為〃、b、c,若曲=芻7°,Z?+3“cosC=0,則

2

當(dāng)角5取得最大值時(shí)，源在以方向上的投影是（）

A.B.C.-D.--/10

555

解：由/?+3〃cosC=0,得cosCVO,

由正弦定理可得sinB+3sinAcosC=0,

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得4sinAcosC+cosAsinC=0,

.\tanC=-4tanA,由角。為鈍角，可得角A為銳角，即tanA>0,

從而tanB=-tan(A+C)=-tanA+tan,=3tanA=丁^------

1-tanAtanCl+4tanA~—^+4tanA

<1當(dāng)且僅當(dāng)tanA制時(shí)等號(hào)成立,

*4tanA

Q1

此時(shí)角3取最大值，且tanB=左，tanC=-4義彳"=-2,

V5_4

則cosC=—,cos6R.

55

375

ab=

2'解得k邛

聯(lián)立4

a=0

庠D

CB在BA方向上的投影是，3^：=a，cos（冗-B）=-a,cosE=2師

IBAI

故選：B.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知平面向量之=(2,5),己=(1°，X)，若則＞=-4

解：根據(jù)題意，向量(2,5),己=(1。，X)，

若彳_19則Z，E=20+5X=0,解可得X=-4；

故答案為：-4.

14.計(jì)算：sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=.

—2―

解：Vsin30°=2sinl5°cosl5°,sin30°=cos60°，

sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=sin60°cosl5°-cos60°sinl5°=sin(60°-

15°)=sin45°=返.

2

故答案為：返.

2

A

15.設(shè)a>0,b>Q,且5"+62=1,貝|a+6的最小值為—.

一5一

解：因?yàn)閍>0,b>0,且5"+62=1,

所以a=l-b,

5b

因?yàn)椤?gt;0,

所以0V5VL

當(dāng)且僅當(dāng)4造，即。=提時(shí)取等號(hào),

5b5210

，一4.

則a+b的取小值

5

故答案為：

5

n1

16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中，44-42=6,45-41=15,則an=2~,又?jǐn)?shù)列｛。〃｝滿足

11Qn_1

bi=y，b4/彳石-；若S〃為數(shù)列｛斯+ib〃｝的前"項(xiàng)和，那么$3“=_色皆_.

a,(q3-q)=6

解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,由題設(shè)可得：\,

a/q4-1)=15

ap-16

a,1=1

解得：＜赤](舍)，???斯=2〃%

,q=2

'?"1節(jié)，bn4-l=l-b，bi=—岳=2,63=-1,b4=~~>65=2,bf>="1,

n22

數(shù)列｛瓦｝是周期為3的周期數(shù)歹U,

-2n,n=3k,k€N*

=_J

an+\bn-n=3k2,k€N*:?a3k-lb3k-2+a3kb3k-l+a3k+lb3k=l?k-3+》k-2?k=8k

2n+1.n=3k-l,k€N*

-1

nn

?…?-_-l---8----_-8------l-,

1-87

故答案為：2"\止1

7

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、推演步驟.）

已知等比數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為若

17.S”S4=15,S6=9S3.

（1）求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；

（2）若兒=log2a2"，求數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和7“

解：（1）由S6=9S3,可得公比q不為1,

由S4=15,S6=9S3,可得的（1-q）=15,（1-q）=9?4（1-q）,

1-q1-q1-q

解得m=l,q=2,

所以—=1?2〃F=2〃F；

(2)bn—log2a2〃=log222n-1=2〃-1,

所以｛為｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，

故數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和.J（1+y1）=洛

18.已知|m=2,后|=3,（2；-31）?（2；+石）=-7.

（1）若Z-E與3；+顯垂直,求k的值；

（2）求之與Z+E夾角的余弦值.

解：⑴因?yàn)閨京=2，1b1=3-

所以（2a-3b）?（2a+b）=4a2-41-b-3b2=16-4a27=-7,

所以7?%=-1,

因?yàn)閍-b與3a+%b垂直，所以（a-b）?（3a+kb）=0,

即3a+ka?b-3a?b-kb=0'

所以12-Z+3-9仁0,即k1■.

2

故k的值為宏

⑵lZ+0保”=用荔^=日麗FT1，

設(shè)向量:與二+E的夾角為0>

貝ijcos0=a，（a+b）=a+a?b=4-1=M11,

|a|-|a+b|2X?27n22

所以向量不與一的夾角的余弦值為岑工1.

19.解關(guān)于x的不等式：”1+（1-〃）1_i>o.

解：根據(jù)題意，對(duì)于QN+（1-4）X-1>0,

分3種情況討論：

當(dāng)〃=0時(shí)，不等式等價(jià)于x-1>0,其解集為｛%|%>1｝,

當(dāng)。>0時(shí)，不等式變形可得（%+工）（x-1）>0,

a

不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-工和1,且-工<1,不等式的解集為｛x|x<-工或x>

aaa

1｝，

當(dāng)x<0時(shí)，不等式變形可得G+工）（x-1）<0,

a

不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-工和1,

a

當(dāng)-l<a<0時(shí)，-2>1,不等式的解集為｛x|l<x<-1｝；

aa

當(dāng)。=7時(shí)，-」=1,不等式為（X-1）2<0,其解集為0；

a

當(dāng)a<-l時(shí)，-工<1,不等式的解集為｛無(wú)卜工<x<l｝；

aa

綜合可得：當(dāng)。>0時(shí)，不等式的解集為｛x|x<-!或無(wú)>1｝,

a

當(dāng)4=0時(shí)，不等式解集為｛x|x>l｝,

當(dāng)-1V〃VO時(shí)，-不等式的解集為｛x[l<x<~;

a

當(dāng)〃=一1時(shí)，不等式為（x-1）2<0,其解集為0；

當(dāng)。<-1時(shí)，不等式的解集為｛R-2<x<l｝.

a

20.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且滿足26/=b，CQSl-+-.

cosAcosA

(1)求出角A的值;

(2)若〃=2,求△ABC的周長(zhǎng)的范圍.

解：(1)在△A3C中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是。、b、c,且滿足2a=

b?cosCfcosB

cosAcosA

sinBcosC+sinCcosB

利用正弦定理:2sinA=

cosA

整理得：cosA=］，

由于：OVAVTT,

所以人==，

3

(2)由于〃2=5+。2-2bccosA=/?2+c2-反=(0+c)2-3/?c=4,

由于bc4(等)2，

所以4》(b+c)2」(b；c)2,

整理得b+cW4,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

故6+c+aW6

由于b+c>a,

所以a+b+c>2a=4,

故周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6],

21.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，2〃=(^2+c2-6z2)(1-tanA).

(1)求角C;

(2