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第第頁《常微分方程》答案習(xí)題4.2《常微分方程》習(xí)題答案
習(xí)題4.2
1.解以下方程
(4)*5*4*0〔1〕
解:特征方程45240有根12,22,31,41
2t2ttt
cececece故通解為*=1234
23
*3a*3a*a*0(2)
解:特征方程33a23a2a30
有三重根a
故通解為*=c1eatc2teatc3t2eat
(5)*4*0〔3〕
解:特征方程5430
有三重根0,42,5-2故通解為*c1e
2t
c2ec3tc4tc5
2t2
〔4〕*2*10*0
解:特征方程22100有復(fù)數(shù)根1-1+3i,2-1-3i
故通解為*c1etcos3tc2etsin3t(5)***0
解:特征方程210有復(fù)數(shù)根11故通解為*c1e
1
t2
3i
2
,2
1i
,2
costc2e
2
1t2
3sint
2
《常微分方程》習(xí)題答案
(6)sa2st1
解:特征方程2a20有根
1a,2-a
當(dāng)a0時(shí),齊線性方程的通解為s=c1eatc2eat
~sABt
代入原方程解得AB
1
(t1)2a
1a2
故通解為s=c1eatc2eat-
11
當(dāng)a=0時(shí),~st2(1t2)代入原方程解得1,2
6
2
故通解為s=c1c2t-
12
t(t3)6
(7)*4*5*2*2t3
解:特征方程4520有根2,兩重
3
2
1
根1
齊線性方程的通解為*=ce
12t
c2etc3tet
又由于0不是特征根,故可以取特
*ABt代入原方程解得A=-4,解行如~
B=-1
故通解為*=cececte-4-t(8)*2**t3
2重根1解:特征方程210有2重根1,
2t
t
t
1
2
3
(4)
2
42
故齊線性方程的通解為
《常微分方程》習(xí)題答案
*=cectececte
*At取特解行如~
t
t
t
t
1
2
3
4
2
Btc
代入原方程解得
A=1,B=0,C=1
故通解為*=cectececte+t1
(9)**cost
解:特征方程10有復(fù)數(shù)根
t
t
t
t
2
1234
3
1
13i1i
,2,3122
故齊線性方程的通解為
*c1e
1t2
t3costc2e2sintc3et
22
1
*AcostBsint代入原方程解得取特解行如~
1,BA=122
故通解為*ce
1
1
t2
t1costc2e2sintc3et(costsint)
222
1
(10)**2*8sin2t
解:特征方程20有根-2,1
2
12
故齊線性方程的通解為*=cece
t
2t
1
2
由于+-2i不是特征根
《常微分方程》習(xí)題答案
*Acos2tBsin2t代入原方程解取特解行如~
26
,B得A=5
5
故通解為*=cece
t1
2
2t
26
cos2tsin2t55
〔11〕**e
t
解:特征方程
1
13i1i
,2,3122
310
有復(fù)數(shù)根
故齊線性方程的通解為
*c1e
1t2
t3costc2e2sintc3et
22
1
1是特征方
1
*Ate代入原方程解得A=程的根,故~
3
t
故通解為*ce
1
1t2
tcostc2e2sintc3et
22
1
te+1
3
t
〔12〕s2asase
2
t
解:特征方程
2
2aa20
有2重根-a
當(dāng)a=-1時(shí),齊線性方程的通解為s=cecte,
1是特征方程的2重根,*Ate代入故~
t
t
1
2
2
t
《常微分方程》習(xí)題答案
原方程解得A=12
t,通解為s=cecte12
t
t
2
1
2
當(dāng)a-1時(shí),齊線性方程的通解為s=cecte,
1不是特征方程的根,故~*Ae代入原
at
at
1
2
t
方程解得A=(a11)
2
故通解為s=ce
1
at
c2teat
+(a11)e
t2
〔13〕*6*5*e
2t
解:特征方程
2
650
有根-1,-5
1
2
故齊線性方程的通解為*=ce
1
t
c2e5t
*Ae代入原2不是特征方程的根,故~
2t
1方程解得A=21
故通解為*=ce
1
t
c2e5t
1
e+21
2t
〔14〕*2*3*e
t
cost
2230
解:特征方程
有根
《常微分方程》習(xí)題答案
-1+2i,-1-2i
故齊線性方程的通解為*cecos
1
2
t
1
2tc2etsin2t
1i
不是特征方程的根,取特解行如
54,B代入原方程解得A=41
41
t
~*(AcostBsint)et
故通解為*cecos
1
2tc2etsin2t
54
costsint)e+(41
41
t
(15)**sintcos2t
解:特征方程10有根i,-i
2
12
故齊線性方程的通解為*ccostcsint
1
2
**sint
,i,是方程的解
1
~*t(AcostBsint)
代入
原方程解得
1~*tcostA=1B=0故22**cos2t
~*Acos2tBsin2t
代入原方程解
得
1
*cos2tA=13B=0故~
3
故通解為*c1costc2sint1tcost1cos2t
2
3
《常微分方程》習(xí)題答案
《常微分方程》習(xí)題答案
習(xí)題4.2
1.解以下方程
(4)*5*4*0〔1〕
解:特征方程45240有根12,22,31,41
2t2ttt
cececece故通解為*=1234
23
*3a*3a*a*0(2)
解:特征方程33a23a2a30
有三重根a
故通解為*=c1eatc2teatc3t2eat
(5)*4*0〔3〕
解:特征方程5430
有三重根0,42,5-2故通解為*c1e
2t
c2ec3tc4tc5
2t2
〔4〕*2*10*0
解:特征方程2210
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