第四章 彎曲內(nèi)力教材

第四章彎曲內(nèi)力§4.1彎曲的概念和實例

§

4.2受彎桿件的簡化

§

4.3剪力和彎矩

§

4.4剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖

§

4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系§4.6平面曲桿的彎曲內(nèi)力§4.1彎曲的概念和實例

起重機大梁鏜刀桿車削工件P火車輪軸PPPPPP

受力特點：構(gòu)件受到垂直于其軸線的載荷作用。

變形特點：構(gòu)件的軸線由直線變成曲線。具備上述受力與變形的構(gòu)件，稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱為梁(beam)。常見彎曲構(gòu)件截面對稱彎曲（平面彎曲）

具有縱向?qū)ΨQ面

外力都作用在此面內(nèi)

彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線§4.2受彎桿件的簡化

一、支座的幾種基本形式固定鉸支座活動鉸支座固定端火車輪軸簡化二、載荷的簡化

集中力

分布載荷

集中力偶正負(fù)號規(guī)定：集中力和分布載荷與坐標(biāo)軸同向為正、反向為負(fù)；集中力偶逆時針為正、順時針為負(fù)。吊車大梁簡化均勻分布載荷簡稱均布載荷非均勻分布載荷可動鉸支1(Ry)固定鉸支2(Rx，Ry)固定端3(M，Rx，Ry)RyRxMRy圖示法反力未知反力數(shù)名稱RxRy梁的支承方式及反力三、靜定梁的基本形式根據(jù)梁的支承情況可以將梁分為3種基本形式：簡支梁一端固定鉸支座一端活動鉸支座懸臂梁一端固定一端自由外伸梁一端固定鉸支座活動鉸支座位于梁中某個位置§4.3剪力和彎矩

FNFSM

FS剪力，平行于橫截面的內(nèi)力合力。

M

彎矩，垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩。FNFSMFAyFByFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力對梁上任意一點的矩為順時針轉(zhuǎn)向時，剪力為正；反之為負(fù)。+_截面上的彎矩使得梁呈凹形為正；反之為負(fù)。+_左上右下為正；反之為負(fù)。左順右逆為正；反之為負(fù)。解：1、確定支反力FAyFBy2、用截面法研究內(nèi)力FSEME[例1]求圖示簡支梁E截面的內(nèi)力。FAyFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEOFAyFBy截面上的剪力等于截面任一側(cè)外力的代數(shù)和。FAyFSE2FFSEFAyFBy截面上的彎矩等于截面任一側(cè)外力對截面形心力矩的代數(shù)和。MEFAy2FMElq[例2]求圖示簡支梁x

截面的內(nèi)力。qFAyMAB在x

處截開，取左半部分分析畫出外力、約束反力、彎矩

x

截面剪力、力矩平衡方程qxFS可見剪力在該簡支梁內(nèi)的分布為一條斜直線，彎矩為一條曲線——拋物線。彎矩最大值在梁的中點，此處剪力為零，有由對稱性，可以求得lqAB§4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

若將梁上的內(nèi)力寫成如下關(guān)于位置坐標(biāo)x的函數(shù)的表達式：這兩個函數(shù)表達式稱之為梁的剪力方程和彎矩方程。如同軸力圖和扭矩圖，如果我們將上述關(guān)于位置坐標(biāo)x的函數(shù)表達式用數(shù)學(xué)作圖的方法繪制出來，則繪制出來的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

剪力圖和彎矩圖的繪制方法與軸力圖和扭矩圖的繪制方法完全相同。q[例3]圖中懸臂梁受均布載荷的作用，試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：任選一截面x，寫出剪力和彎矩方程x依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxMxl由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為qxBAlFAYFBY[例4]圖示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力FAy＝Fb/l

FBy＝Fa/l2、寫出剪力和彎矩方程x2FSxMxx1ACCB3、依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CFabBAlFAYFBY[例5]圖示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力2、寫出剪力和彎矩方程x2x1ACCB3、依方程畫出剪力圖和彎矩圖CMabFAy＝M/lFBy＝-M/lBAlFAYqFBY[例6]簡支梁受均布載荷作用，試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力FAy＝FBy＝ql/22、寫出剪力和彎矩方程yxCx3、依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxMx某些機器的機身（壓力機等）由幾根直桿組成，而各桿在其聯(lián)接處的夾角不能改變，這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點。有剛節(jié)點的框架稱為剛架。各直桿和外力均在同一平面內(nèi)的剛架為平面剛架。平面剛架的內(nèi)力一般有軸力、剪力和彎矩。Bqly[例7]已知平面剛架上的均布載荷集度q，長度l，試畫出剛架的內(nèi)力圖。Bql解：1、確定約束力2、寫出各段的內(nèi)力方程FN(y)FS(y)M(y)豎桿AB：A點向上為yyB橫桿CB：C點向左為xBqlyFN(x)M(x)xFS(x)x豎桿AB：Bqly3、根據(jù)各段的內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖橫桿CB：MFNFSql＋－＋§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系

載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：1、q＝0，F(xiàn)s=常數(shù)，剪力圖為直線；

M(x)

為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2、q＝常數(shù)，F(xiàn)s(x)

為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；

M(x)

為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。分布載荷向上（q>0），拋物線呈凹形；分布載荷向上（q<0），拋物線呈凸形。3、剪力Fs=0處，彎矩取極值。4、集中力作用處，剪力圖突變；集中力偶作用處，彎矩圖突變。無載荷集中力集中力偶均布力線分布力計算簡圖FS方程常數(shù)(C處突變)常數(shù)(C處不變)x的一次函數(shù)x的二次函數(shù)M方程x的一次函數(shù)x的一次函數(shù)(C處不變)x的一次函數(shù)(C處突變)x的二次函數(shù)x的三次函數(shù)FS圖拋物線M圖三次曲線微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面;

應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值;

建立FS-x和M-x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中;

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN[例8]簡支梁受力的大小和方向如圖示，試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力求得A、B

二處的約束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

根據(jù)力矩平衡方程2、確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3、建立坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系。

5、根據(jù)微分關(guān)系連圖線4、應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FS－x和M－x坐標(biāo)系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN（-）（+）解法2：1、確定約束力FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

2、確定控制面為A、C、D、B兩側(cè)截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3、從A截面左測開始畫剪力圖。Fs（

kN）0.891.11（-）（-）4、從A截面左測開始畫彎矩圖。

M（

kN.m）從A左到A右從C左到C右從D左到D右從A右到C左1.3300.330從C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（

kN）0.891.11從D右到B左從B左到B右qBADa4aFAyFBy[例9]試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由求得A、B二處的約束力qa2、確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的截面，以及集中力qa左側(cè)的截面，也都是控制面。C（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3、建立坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系。

OFSxOMx4、確定控制面上的剪力值，并將其標(biāo)在FS－x中。5、確定控制面上的彎矩值，并將其標(biāo)在M－x中。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1、確定約束力2、確定控制面，即A、B、D兩側(cè)截面。3、從A截面左測開始畫剪力圖。

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqaFs

9qa/4

7qa/4qa4、求出剪力為零的點到A的距離。

B點的彎矩為-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段為上凸拋物線。且有極大值。該點的彎矩為1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325、從A截面左測開始畫彎矩圖。

81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）Fs[例10]試畫出圖示有中間鉸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、確定約束力從鉸處將梁截開qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA2、畫剪力圖和彎矩圖§4.6平面曲桿的彎曲內(nèi)力

定義：軸線為平面曲線的曲桿稱為平面曲桿。鏈環(huán)吊鉤一般說來，從平面曲桿的載荷特點來看，它兼具有拉壓、彎曲甚至扭轉(zhuǎn)的特點，或者說它不屬于任何一種我們已經(jīng)研究過的基本變形的特點，所以說，平面曲桿可能有比任何一種基本變形更復(fù)雜的內(nèi)力。但其內(nèi)力的分析我們還是采