《線性代數(shù)及其應(yīng)用》 教案大綱

《線性代數(shù)》課程教學(xué)大綱課程名稱：線性代數(shù)課程代碼：課程性質(zhì):必修總學(xué)分：2總學(xué)時：32*其中理論教學(xué)學(xué)時：32*適用專業(yè)和對象：理（非數(shù)學(xué)類專業(yè)）、工、經(jīng)、管各專業(yè)**使用教材：李庶民，戴琳，線性代數(shù)及其應(yīng)用，機械工業(yè)出版社，2023.注：（1）大部分高校開設(shè)本課程的教學(xué)學(xué)時數(shù)約為32—48學(xué)時，為兼顧少學(xué)時高校開展教學(xué)工作，本大綱以最低學(xué)時數(shù)32學(xué)時（約2學(xué)分）進行教學(xué)安排，有多余學(xué)時的學(xué)?；?qū)I(yè)可對需要加強的內(nèi)容適當拓展教學(xué)學(xué)時。（2）對線性代數(shù)課程而言，理工類與經(jīng)管類專業(yè)的教學(xué)基本要求幾乎一致，所以這里所列教學(xué)內(nèi)容及要求對這兩類專業(yè)均適合。一、課程簡介《線性代數(shù)》是高等學(xué)校理（非數(shù)學(xué)類專業(yè)）、工、經(jīng)、管各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)課，其研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。該課程具有理論上的抽象性、邏輯推理的嚴密性和工程應(yīng)用的廣泛性。主要內(nèi)容是學(xué)習科學(xué)技術(shù)中常用的矩陣方法、線性方程組及其有關(guān)的基本計算方法，使學(xué)生具有熟練的矩陣運算能力并能用矩陣方法解決一些實際問題。通過本課程的學(xué)習，使學(xué)生理解和掌握行列式、矩陣的基本概念、主要性質(zhì)和基本運算，理解向量空間的概念、向量的線性關(guān)系、線性變換、了解歐氏空間的線性結(jié)構(gòu)，掌握線性方程組的求解方法和理論，掌握二次型的標準化和正定性判定。線性代數(shù)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法深刻地體現(xiàn)辯證唯物主義的世界觀和方法論，線性代數(shù)的發(fā)展歷史也充分展示數(shù)學(xué)家們開拓創(chuàng)新、追求真理的科學(xué)精神，展現(xiàn)古今中外數(shù)學(xué)家們忠誠愛國、獻身事業(yè)的高尚情懷。思想政治教育元素融入線性代數(shù)的教學(xué)實踐之中，可以培養(yǎng)學(xué)生用哲學(xué)思辨立場、觀點和方法分析解決問題，能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷、愛崗敬業(yè)精神和開拓創(chuàng)新精神，幫助學(xué)生在人生道路上形成良好的人格，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。線性代數(shù)理論不僅滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在物理、化學(xué)、生物、航天、經(jīng)濟、工程等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。同時，線性代數(shù)課程注重培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和抽象思維能力、空間直觀和想象能力，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。通過本課程的學(xué)習，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法，了解線性代數(shù)在工程應(yīng)用中的廣泛性，初步熟悉抽象的、嚴格的代數(shù)方法，理解其中的具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系，提高抽象思維、邏輯推理及運算能力。該課程是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)與提高，是學(xué)習概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)、大學(xué)物理等課程的必修課，為學(xué)習理工科專業(yè)后繼課程及進一步提高奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)目標與基本要求通過這門課程的學(xué)習，使學(xué)生了解行列式、矩陣、向量組的定義和性質(zhì)，掌握行列式的計算，矩陣的初等變換，矩陣秩的定義和計算，利用矩陣的初等變換求解方程組及逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性，利用正交變換化對稱矩陣為對角矩陣等有關(guān)基礎(chǔ)知識，并具有熟練的矩陣運算能力和利用矩陣方法解決一些實際問題的能力，從而為學(xué)習后續(xù)課程及進一步擴大知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三、課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)基本要求及教學(xué)學(xué)時安排（見下表）序號教學(xué)內(nèi)容教學(xué)基本要求參考教學(xué)學(xué)時習題布置備注章節(jié)1第1章

線性方程組與矩陣1.1線性方程組了解線性方程組的概念。1選做教材習題一21.2矩陣與向量理解矩陣的概念，理解n維向量的概念。1選做教材習題一31.3矩陣與向量的基本運算了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角形矩陣、對稱矩陣以及它們的基本性質(zhì)。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則。2選做教材習題一41.4方陣的逆矩陣理解逆矩陣的概念，了解可逆矩陣的性質(zhì)。掌握用矩陣的行初等變換求逆矩陣的方法。2選做教材習題一51.6應(yīng)用實例(自學(xué)或選講)6*1.5分塊矩陣(選講)選做教材習題一7習題課一8第2章

方陣的行列式2.1行列式的概念了解行列式的定義，掌握行列式的性質(zhì)(對行列式性質(zhì)的嚴格證明不作要求)。會求簡單的n階行列式。1選做教材習題二92.2行列式的性質(zhì)與計算4選做教材習題二102.3行列式在矩陣和線性方程組中的應(yīng)用(1)了解克拉默(Cramer)法則。理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。(2)掌握用行列式求矩陣秩的方法。(3)掌握用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。3選做教材習題二112.4應(yīng)用實例(自學(xué)或選講)12習題課二13第3章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.1向量組的線性相關(guān)性理解向量組的線性組合、線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別方法。3選做教材習題三143.2向量組的秩了解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組和秩。了解n維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標、標準正交基等概念。2選做教材習題三15*3.3向量空間1選做教材習題三163.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)了解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的概念，了解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和通解的概念，掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。3選做教材習題三173.5應(yīng)用實例(自學(xué)或選講)18*3.6線性變換(視學(xué)時及專業(yè)需求選講)選做教材習題三19習題課三20第4章

相似矩陣與二次型4.1向量的內(nèi)積了解n維向量內(nèi)積的概念，會用施密特方法將線性無關(guān)的向量組標準正交化。了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。1選做教材習題四214.2方陣的特征值與特征向量了解相似矩陣的概念和性質(zhì)。理解矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值與特征向量。2選做教材習題四224.3方陣的對角化了解矩陣可對角化的充要條件和對角化的方法。會求實對稱矩陣的相似對角形矩陣。2選做教材習題四234.4二次型的概念掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念。了解矩陣合同的概念。1選做教材習題四244.5化二次型為標準形了解實二次型的標準形及其求法(配方法及正交變換法)。2選做教材習題四254.6正定二次型了解慣性定理(對定理的證明不作要求)和實二次型的規(guī)范形。了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別法。1選做教材習題四264.7應(yīng)用實例(自學(xué)或選講)27習題課四28復(fù)習課四、各教學(xué)環(huán)節(jié)（建議）學(xué)時分配表教學(xué)單元名稱課堂講授在線學(xué)習作業(yè)研討備注線性方程組與矩陣6課外學(xué)習教材習題一選做方陣的行列式8課外學(xué)習教材習題二選做線性方程組解的結(jié)構(gòu)9課外學(xué)習教材習題三選做相似矩陣與二次型9課外學(xué)習教材習題四選做合計32五、教學(xué)組織與方法1、配合多媒體教學(xué)課件，充分使用現(xiàn)代化教學(xué)手段；2、教材配套教學(xué)視頻，在線學(xué)習平臺、慕課等；3、如果條件允許，可以安排一定學(xué)時的數(shù)學(xué)實驗課，用MATLAB語言實現(xiàn)一些繁瑣計算，如矩陣求逆、線性方程組求解。六、考核方式和成績評定（一）考核方式：閉卷考試（二）成績評定辦法：平時成績（考勤、出勤、在線學(xué)習內(nèi)容、課外作業(yè)等）占綜合成績40%；期末成績占綜合成績60%。七、教學(xué)參考書目與文獻1.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，線性代數(shù).第7版.高等教育出版社.2023.2.同濟