2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題07 一元二次方程的應(yīng)用含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題07一元二次方程的應(yīng)用閱讀與思考一元二次方程是解數(shù)學(xué)問題的有力工具，許多數(shù)學(xué)問題都可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)等而獲解.現(xiàn)階段，一元二次方程的應(yīng)用主要有以下兩方面：求代數(shù)式的值；列二次方程解應(yīng)用題.從本質(zhì)上講，列二次方程解應(yīng)用題與前面我們已經(jīng)學(xué)過的列一元二次方程解應(yīng)用題沒有區(qū)別，通常都要經(jīng)過設(shè)、列、解、答等四個(gè)步驟，解題的關(guān)鍵是尋找實(shí)際問題中的等量關(guān)系.特別需要注意的是，列出的一元二次方程一般會(huì)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以在檢驗(yàn)時(shí)應(yīng)特別注意，很可能其中有不符合實(shí)際問題的根，必須舍去.例題與求解【例1】甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準(zhǔn)點(diǎn)以勻速?gòu)膬傻貙?duì)開，通常它們總在11時(shí)于途中相遇，一天乙地的船因故晚發(fā)了40分鐘，結(jié)果兩船在上午11時(shí)15分在途中相遇，已知甲地開出的船在靜水中的速度數(shù)值為44千米/時(shí)，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度千米/時(shí)數(shù)值的平方，則的值為___________.（安徽省競(jìng)賽試題）解題思路：利用甲船15分鐘所行路程是乙船（40-15）分鐘所行路程建立方程.【例2】自然數(shù)滿足，這樣的的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：運(yùn)用冪的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為解方程.【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與交于點(diǎn)A，分別交軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).（太原市中考試題）解題思路：對(duì)于（2），利用“腰相等”建立方程，解題的關(guān)鍵是分類討論.【例4】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E在直角邊AC上（點(diǎn)E與A，C兩點(diǎn)均不重合）.（1）若點(diǎn)F在斜邊AB上，且EF平分Rt△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)AE＝，試用的代數(shù)式表示S；（2）若點(diǎn)F在折線ABC上移動(dòng)，試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在直線EF，則求出AE的長(zhǎng)；若不存在直線EF，請(qǐng)說明理由.（常州市中考試題）解題思路：幾何計(jì)算問題代數(shù)化，通過定量分析回答是否存在這樣的直線EF，將線段的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解方程.【例5】某公司投資新建了一商場(chǎng)，共有商鋪30間，據(jù)預(yù)測(cè)，當(dāng)每間的年租金定為10萬元時(shí)，可全部租出.每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元.（1）當(dāng)每間商鋪的年租金定為13萬元時(shí)，能租出多少間？（2）當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少萬元時(shí)，該公司的年收益（收益＝租金－各種費(fèi)用）為275萬元？（紹興市中考試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系分解成若干個(gè)小問題，再尋找各個(gè)小問題間量與量的關(guān)系.【例6】已知：如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s.連結(jié)PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（s）（0＜＜2），解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）設(shè)△AQP的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由；（4）如圖2，連結(jié)PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（青島市中考試題）解題思路：對(duì)于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周長(zhǎng)時(shí)的值，再看求出的值是否滿足由面積關(guān)系建立的方程能力訓(xùn)練A級(jí)1.某工廠把500萬元資金投入新產(chǎn)品生產(chǎn)，第一年獲得了一定的利潤(rùn)，在不抽調(diào)資金和利潤(rùn)（即將第一年獲得的利潤(rùn)也作為生產(chǎn)資金）的前提下，繼續(xù)生產(chǎn)，第二年的利潤(rùn)率（即所獲利潤(rùn)與投入生產(chǎn)資金的比）比第一年的利潤(rùn)率增加了8%.如果第二年的利潤(rùn)為112萬元，為求第一年的利潤(rùn)率，可設(shè)它為，那么所列方程為_______________.（濟(jì)南市中考試題）2.如圖，在長(zhǎng)為10cm、寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下陰影部分面積是原矩形面積的80%，則所截去的小正方形的邊長(zhǎng)是_________.（廣東省中考試題）3.有一旅客攜帶了30千克行李從南京祿口國(guó)際機(jī)場(chǎng)乘飛機(jī)去天津.按民航規(guī)定，旅客最多可免費(fèi)攜帶20千克行李，超重部分每千克按飛機(jī)票價(jià)的1.5%購(gòu)買行李票，現(xiàn)該旅客買了120元的行李票，則他的飛機(jī)票價(jià)格應(yīng)是________.4.已知實(shí)數(shù)、滿足，則的值為（）A.7B.C.D.55.一個(gè)跳水運(yùn)動(dòng)員從10米高臺(tái)上跳水，他每一時(shí)刻所在的高度（單位：米）與所用時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系式是，則運(yùn)動(dòng)員起跳到入水所用的時(shí)間是（）A.－5秒B.1秒C.－1秒D.2秒6.某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)：起步價(jià)7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費(fèi)），超過3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計(jì)），某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19元，設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是千米，那么的最大值是（）A.11B.8C.7D.57.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，則＝（）A.B.C.1D.2第2題圖第7題圖8.我市向民族地區(qū)的某縣贈(zèng)送一批計(jì)算機(jī)，首批270臺(tái)將于近期起運(yùn).經(jīng)與某物流公司聯(lián)系，得知用A型汽車若干輛剛好裝完；用B型汽車不僅可少用1輛，而且有一輛車差30臺(tái)計(jì)算機(jī)才裝滿.（1）已知B型汽車比A型汽車每輛車可多裝15臺(tái)，則A，B兩種型號(hào)的汽車各能裝計(jì)算機(jī)多少臺(tái)？（2）已知A型汽車的運(yùn)費(fèi)是每輛350元，B型汽車的運(yùn)費(fèi)是每輛400元。若運(yùn)送這批計(jì)算機(jī)用這兩種型號(hào)的汽車，其中B型汽車比A型汽車多用1輛，所用運(yùn)費(fèi)比單獨(dú)用任何一種型號(hào)的汽車都要節(jié)省，按這種方案需A，B兩種型號(hào)的汽車各多少輛？運(yùn)費(fèi)多少元？（四川省中考試題）9.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過A度，那么這個(gè)月這戶只需交10元用電費(fèi)；如果超過A度，則這個(gè)月除了仍需交10元用電費(fèi)外，超過部分還需按每度元交費(fèi).下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）交電費(fèi)（元）3月80254月4510根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，電廠規(guī)定的A（度）為多少？（蘇州市中考試題）10.某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？（廣東省中考試題）11.某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格，第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉(cāng)銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元.設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元.（1）填表（不需化簡(jiǎn)）：時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？（南京市中考試題）B級(jí)1.如圖，梯子AB斜靠在墻上，∠ACB＝90°，AB＝5m，BC＝4m，當(dāng)點(diǎn)B下滑到點(diǎn)B′時(shí)點(diǎn)A向左平移到點(diǎn)A′，設(shè)BB′＝，當(dāng)＝_______時(shí)，點(diǎn)B下滑的距離與點(diǎn)A向左平移的距離相等.（徐州市中考試題）2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA，AB移到點(diǎn)B，則C點(diǎn)出發(fā)________秒時(shí)，可使.3.甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線起跑，繞過P點(diǎn)回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑；用時(shí)少者勝.結(jié)果，甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完。事后，乙同學(xué)說：“我倆所用的全部時(shí)間的和為50秒，撿球過程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍?！备鶕?jù)圖文信息，請(qǐng)問哪位同學(xué)獲勝？（江西省中考試題）4.一個(gè)批發(fā)與零售兼營(yíng)的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買300支以下（包括300支）只能按零售價(jià)付款.現(xiàn)有學(xué)生小王來購(gòu)買鉛筆，如果給學(xué)校初三年級(jí)每人買1支，則只能按零售價(jià)付款，需用（）元（為正整數(shù)，且＞100）；如果多買60支，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用（）元.（1）設(shè)這個(gè)學(xué)校初三年級(jí)共有名學(xué)生，則①的取值范圍是____________；②鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為____________元，批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為__________元.（用含，，的代數(shù)式表示）（2）若按批發(fā)價(jià)每購(gòu)買15支，比按零售價(jià)每購(gòu)15支少付款1元，試求這個(gè)學(xué)校初三年級(jí)共有多少名學(xué)生，并確定的值.5.在一次汽車比賽中，有三輛汽車在起點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，其中第二輛車每小時(shí)輛車比第一輛車少走5公里，而比第三輛車多走7.5公里；第二輛車到達(dá)終點(diǎn)比第一輛車遲3分鐘，而比第三輛車早到5分鐘.假設(shè)它們?cè)诼飞隙紱]停過.（1）比賽的路程是多少公里？（2）第二輛車的速度是每小時(shí)多少公里？（荊州市競(jìng)賽試題）6.象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤.記分辦法是勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分.已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，參加此次比賽的選手共有多少人？（天津市競(jìng)賽試題）7.如圖，有矩形地ABCD一塊，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面積為這塊地面積地一半，且花圃四周的道路寬相等.今無測(cè)量工具，只有無刻度的尺和夠長(zhǎng)的繩子一條，如何量出道路的寬度？小明有5張人民幣，面值合計(jì)20元.小明的5張人民幣的面值分別是______元、______元、______元、______元、______元.（2）小明來到水果店，稱了公斤蘋果（是整數(shù)），按標(biāo)價(jià)應(yīng)付元，正好等于小明那5張人民幣中的2張面值之和；這時(shí)果筐里還剩6公斤蘋果，店主便對(duì)小明說：“如果你把這剩下的也都買去，那么連同剛才已經(jīng)稱的，一共就付10元錢吧?！毙∶饕凰?，這樣相當(dāng)于每公斤比原標(biāo)價(jià)減少了0.5元，本著互利原則，便答允了，試求和.（江蘇省競(jìng)賽試題）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度作直線運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.（1）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，？（2）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論.（荊門市中考試題）10.某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克.現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？求滿足下列條件的所有四位數(shù)：:＝(＋),其中數(shù)碼可以為0.（“新知杯”上海市競(jìng)賽試題）專題07一元二次方程的應(yīng)用例16例2C例3（1）B（－1，0），C（4，0），，由得，∴A（，）（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），BC＝5.，①當(dāng)BD1＝D1C時(shí)，過點(diǎn)D1作D1M1⊥x軸于M1，則BM1＝，OM1＝，x＝，∴y＝－×＋3＝，∴D1（，）..②當(dāng)BC＝BD2時(shí)，過點(diǎn)D2作D2M2⊥x軸于M2，則＋＝,.∵M(jìn)2B＝－x－1，D2M2＝－x＋3，D2B＝5.③當(dāng)CD3＝BC或CD4＝BC時(shí)，同理，可得D3（0，3），D4（8，－3），故點(diǎn)的坐標(biāo)為D1（，），D2（－，），D3（0，3），D4（8，－3）.例4（1）S△AEF＝x（6－x）（2）假設(shè)存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，AE＝x.①若點(diǎn)F在斜邊AB上，則由（1）知x（6－x）＝×6，解得x1＝3－，x2＝3＋（舍去）此時(shí)AF＝6－（3－）＝3＋＜5.，②若點(diǎn)F和B重合，不滿足題設(shè)要求的直線EF；③若點(diǎn)F在BC上，由AE＝x，得CE＝3－x，CF＝3＋x，S△CEF＝（3－x）（3＋x）＝×6，解得x1＝，x2＝－（舍去），由于3＋x＝＋3＞4，故不存在直線EF滿足題設(shè)要求.例5（1）24間（2）設(shè)每間商鋪的年租金增加x萬元，則（30＋）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，解得x1＝0.5，x2＝5，故設(shè)每間商鋪的年租金定為15萬元或10.5萬元.例6(1)AP＝5－t,AQ＝2t,若PQ∥BC,則△APQ∽△ABC,∴＝,即＝,t＝.(2)過點(diǎn)P作PH⊥AC,由△APH∽△ABC,得＝,即＝,PH＝3－t,＝3.∴y＝×AQ×PH＝×2t×（3－t）＝－t2＋3t.（3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分,則AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ,,∴（5－t）＋2t＝t＋3＋（4－2t）,t＝1.若PQ把△ABC面積平分,則S△APQ＝S△ABC,即－t2＋3t＝3,但t＝1代入此方程不成立.故不存在這一時(shí)刻,使線段PQ把△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分.(4)過點(diǎn)P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.若四邊形PQP′C是菱形,則PQ＝PC.由△PBN∽△ABC,得＝,即＝,PN＝,∴QM＝CM＝,由＋＋2t＝4,得t＝.此時(shí)PM＝3－t＝,CM＝＝,PC＝＝.∴菱形PQP′C邊長(zhǎng)為.A級(jí)1.500（1＋x）（x＋8%）＝1122.2cm3.800元4.A5.D6.B7.A8.（1）A型汽車能裝45臺(tái)，B型汽車能裝60臺(tái).（2）A型汽車2輛，B型汽車3輛，運(yùn)費(fèi)為1900元.9.50度10.設(shè)每輪感染中平均每臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，則1＋x＋（1＋x）x＝81，解得x1＝8，x2＝－10（舍去），（1＋x）3＝（1＋8）3＝729＞700，故三輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái).11.（1）80－x200＋10x800－200－（200＋10x）（2）根據(jù)題意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（20＋10x）]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，斛方程得x1＝x2＝10.當(dāng)x＝10時(shí)，80－x＝70＞50.故第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是70元.B級(jí)1．12．1或7．753．甲、乙兩同學(xué)所用的時(shí)間分別為26秒、24秒，乙同學(xué)獲勝．4．(1)=1\*GB3①240＜x≤300=2\*GB3②(2)由題意得15·－15·=1，整理得x2＋60x－900（m2－1）=0，解得x=30(m－1)，x=－30（m+1）(舍去)，解得m=11，x=300．5．（1）150公里（2）120公里/小時(shí)提示：設(shè)比賽路程是x公里，第二輛車的速度是y公里/小時(shí)，由題意得即，解得6．9人提示：設(shè)共有選手（n＋2）人，除2人得8分外，n個(gè)人平均得k分（k為整數(shù)），由題意得(n＋1)(n＋2)=8＋nk，整理得n＋(3－2k)n－14=0，人數(shù)只能是奇數(shù)，n=7．7．設(shè)道路寬為x，AB=a，AD=b，則有(a－2x)(b－2x)=ab，即8x2－4(a＋b)＋ab=0，解得x=[(a＋b)－]．量法是：用繩量出（a＋b）之長(zhǎng)，從中減去BD（BD=），得l=AB＋AD－BD，再將l對(duì)折兩次即得到道路寬度x．8．(1)1，2，2，5，10(2)由(1)知，從小明的5張人民幣中取2張，和小于10的情況只有4種，1＋2=3，2＋2=4，1＋5=6，2＋5=7，即y值只可能是3，4，6，7．再分別討論，只有當(dāng)y=6時(shí)，方程=－0．5有整數(shù)解，解得x=4．9．(1)設(shè)AP=x，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，則AP=CQ=x，BP=2－x，由(2x－x)=2，方程無解；當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AP=CQ=x，PB=x－2，由(x－2x)=2，得x=1＋(2)過P作PF∥BC交AC或AC延長(zhǎng)線于F，可以證明當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度保持不變，始終等于10．設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，則(500－20x)(10＋x)=6000，解得x=5，x=10，要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5．11．設(shè)=x，=y，則x，y為正整數(shù)，且10≤x≤99，0≤y≤99．由題設(shè)可知(x＋y)2=100x＋y=1\*GB3①，即x2－2(50－y)x＋y2－y=0，而x，y為正整數(shù)，=4(2500－99y)為完全平方數(shù)，從而2500－99y為完全平方數(shù)．設(shè)2500－99y=k2(kZ，0≤k≤50)，則(50＋k)(50－k)=99y，故11|(50＋k)與11|(50－k)至少有一個(gè)成立．50≤50＋k≤100，0≤50－k≤5050＋k=55，66，77，88，99或50－k=0，11，22，33，44．故99y=55×45，66×34，77×23，88×12，99×1，或99y=100×0，89×11，78×22，67×33，56×44．因此，使y為非負(fù)整數(shù)的只有y=25，y=1，y=0．回到方程=1\*GB3①，解得x=30或20，x=98或0，x=0或100．顯然x=0或100不符合條件，故符合條件的四位數(shù)共有三個(gè)：3025，2025，9801．專題08二次函數(shù)閱讀與思考二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應(yīng)用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，主要知識(shí)與方法有：1.二次函數(shù)解析式的系數(shù)符號(hào)，確定圖象的大致位置.2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與有關(guān)，與（，）決定拋物線對(duì)稱軸與頂點(diǎn)的位置.3.二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：①一般式：；②頂點(diǎn)式：；③交點(diǎn)式：，其中，為方程的兩個(gè)實(shí)根.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設(shè)法，可使解題過程簡(jiǎn)捷.例題與求解【例1】二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)（天津市中考試題）解題思路：由拋物線的位置確定，，的符號(hào)，解題關(guān)鍵是對(duì)相關(guān)代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并能綜合推理.【例2】若二次函數(shù)(≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（－1，0），則的值的變化范圍是（）A.0＜S＜1B.0＜S＜2C.1＜S＜2D.－1＜S＜1（陜西省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法將S表示為只含一個(gè)字母的代數(shù)式，求出相應(yīng)字母的取值范圍，進(jìn)而確定S的值的變化范圍.【例3】某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)失誤.（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為米.此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由.（河北省中考試題）解題思路：對(duì)于（2），判斷此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，關(guān)鍵時(shí)求出距池邊的水平距離為米時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員與跳臺(tái)的垂直距離.【例4】如圖，在直角坐標(biāo)xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，），且在軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在軸上求作一點(diǎn)P（不寫作法），使PA＋PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在軸的上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，A，B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.（泰州市中考試題）解題思路：對(duì)于（1）、（2），運(yùn)用對(duì)稱方法求出A，B，P點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于（3），由于未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，需分類討論.【例5】如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積.（遼寧省中考試題）解題思路：設(shè)DN＝PM＝，矩形PNDM的面積為，建立與的函數(shù)關(guān)系式.解題的關(guān)鍵是：最值點(diǎn)不一定是拋物線的頂點(diǎn)，應(yīng)注意自變量的取值范圍.【例6】將拋物線沿軸翻折，得拋物線，如圖所示.（1）請(qǐng)直接寫出拋物線的表達(dá)式.（2）現(xiàn)將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線向右也平移移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與軸的交點(diǎn)從左到右依次為D，E.①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（江西省中考試題）解題思路：把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)用的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立的方程.因值不確定，故解題的關(guān)鍵是分類討論.能力訓(xùn)練A級(jí)1.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則的值為__________.2.已知拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸正半軸交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝2，＝3，則＝____________.（四川省中考試題）3.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式是＝_________；（2）當(dāng)＝________時(shí)，；（3）根據(jù)圖象回答，當(dāng)_______時(shí)，.（常州市中考試題）4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)（，），且圖象與軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則該二次函數(shù)的解析式為_______________.（安徽省中考試題）5.二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）ABCD6.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，0）……求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是（）A.過點(diǎn)（3，0）B.頂點(diǎn)是（2，－2）C.在軸上截得的線段長(zhǎng)度是2D.與軸的交點(diǎn)是（0，3）（鹽城市中考試題）7.如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式不能總成立的是（）（大連市中考試題）A.B.C.D.第7題圖第8題圖8.如圖，某中學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米處高各有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不計(jì)）（）A.9.2米B.9.1米C.9米D.5.1米（吉林省中考試題）9.如圖，是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖.在地面O，A兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得空中固定目標(biāo)C的仰角分別為α和β，OA＝1千米，tanα＝,tanβ＝,位于O點(diǎn)正上方千米D點(diǎn)處的直升機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行到達(dá)距地面最大高度3千米時(shí)，相應(yīng)的水平距離為4千米（即圖中E點(diǎn)）.（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行為一拋物線，求拋物線的解析式；（2）說明按（1）中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)的理由.（河北省中考試題）10.如圖，已知△ABC為正三角形，D，E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)（不在頂點(diǎn)），∠BDE＝60°.（1）求證：△DEC∽△BDA；（2）若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，并設(shè)DC＝，BE＝，試求出與的函數(shù)關(guān)系式，并求BE最短時(shí)，△BDE的面積.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA且OB＝2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－1，2）.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A，O，B的拋物線的解析式；（3）連結(jié)AB，在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使.(陜西省中考試題)12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（0，－3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t；（1）分別求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié)BM，AM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△ABM的面積；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，M，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（南寧市中考試題）B級(jí)1.已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為5，則＝________.2.如圖，四邊形ABCD是矩形，A，B兩點(diǎn)在的正半軸上，C，D兩點(diǎn)在拋物線上.設(shè)OA的長(zhǎng)為(0＜＜3).矩形ABCD的周長(zhǎng)為，則與的函數(shù)解析式為__________________.（昆明市中考試題）第2題圖第3題圖第4題圖3.如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC，垂足為D（點(diǎn)D在邊BC上），且AD＝3，當(dāng)AB的長(zhǎng)等于________時(shí),⊙O的面積最大，最大面積為___________.4.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（－2，4），B（8，2），則能使成立的的取值范圍時(shí)______________.(杭州市中考試題)5.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的圖象只可能是（）（重慶市中考試題）ABCD6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列6個(gè)代數(shù)式：，，，，，中，其值為正的式子個(gè)數(shù)為()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.4個(gè)以上（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7.已知拋物線（≠0）的對(duì)稱軸是，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)則的值為（）A.－1B.0C.1D.28.已知二次函數(shù)（）的對(duì)稱軸是，且當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值分別時(shí)，那么的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.9.已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)A，B，與軸交于C點(diǎn)，若△ABC是等腰三角形，求拋物線的解析式.（“新世紀(jì)杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）10.如圖，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，－1），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線PM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連結(jié)NP，NQ，求證：∠PNM＝∠QNM.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）11.已知函數(shù)的圖象與軸相交于相異兩點(diǎn)A，B，另一拋物線過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求，，的值.（天津市競(jìng)賽試題）12.如圖1，點(diǎn)P是直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).（1）若直線的解析式為，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，t），當(dāng)PA＝AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②試證明：對(duì)于直線上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA＝AB成立；（3）如圖3，設(shè)直線交軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（武漢市中考試題）圖1圖2圖3專題08二次函數(shù)例1C．提示：③④⑤成立．對(duì)于④，當(dāng)＝－l時(shí)，＝＜0，∴＜．又∵＝1，則＝代入上式，得＜；對(duì)于⑤，當(dāng)＝1時(shí)，＝，∴＞，則＞（≠1）．例2B．提示：S＝，＞0，＝，＜0．例3（1）O（0，0），B（2，—10），＝．（2）＝＝時(shí)，＝，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5，故此次試跳會(huì)出現(xiàn)失誤．例4（1）＝；（2）P（0，）；（3）由點(diǎn)點(diǎn)A（l，0），C（4，），B（7，0）得∠BAC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120°．①若以AB為腰，∠BAQ為頂角，使△ABQ∽△CBA，則Q（－2，）；②若以BA為腰，∠ABQ′為頂角，由對(duì)稱性得另一點(diǎn)Q′（10，）；③若以AB為底，AQ、BQ為腰．則Q點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，舍去．例5由＝，得＝，∴NP＝，∴＝＝（2≤≤4）．∵隨的增大而增大，∴當(dāng)＝4時(shí)，有最大值為＝12．例6（l）＝．（2）①令＝0，得＝－1，＝1，則拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0），（1，0）．∴A（，0），B（，0）．同理可得D（，0），E（，0）．當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖1，＝，∴＝．當(dāng)AB＝AE時(shí)，如圖2，＝，∴＝2．∴當(dāng)＝或2時(shí)，B、D是線段AE的三等分點(diǎn)．圖1圖1圖2圖2②存在．連結(jié)AN、NE、EM、MA，依題意可得M（，），N（，），即M、N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴OM＝ON．∵A（，0），E（，0）．∴A、E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴OA＝OE．∴四邊形ANEM為平行四邊形．要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM＝OA，即＝，∴＝1．∴當(dāng)＝1時(shí)，以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．A級(jí)1．－2，4或－8．2．－43．（l）；（2〉3或－1；（3）＜0或＞2．4．＝或＝．提示：另一交點(diǎn)為（－1，0）或（1，0）．5．D．6．B．7．D．8．B．9．（1）＝ 專題09特殊與一般——二次函數(shù)與二次方程閱讀與思考二次函數(shù)的一般形式是，從這個(gè)式子中可以看出，二次函數(shù)的解析式實(shí)際上是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，若令y=0，則得這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，因此，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，表現(xiàn)為：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)為A(，0)，B(，0)，其中，是方程兩相異實(shí)根，;2.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；3.當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問題的常用技巧．例題與求解【例1】（1）拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若是直角三角形，則=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（2）為使方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解題思路：對(duì)于（1），為直角三角形，則A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及射影定理解題，對(duì)于（2），作出函數(shù)圖象，借助圖象解題．【例2】設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件：①兩根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③兩根均大于1且小于4．試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解題思路：因?yàn)楦谋磉_(dá)式復(fù)雜，故應(yīng)把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，作出函數(shù)圖象，借助圖象找制約條件．【例3】如果拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，OA的長(zhǎng)是a，OB的長(zhǎng)是b，（1）求的取值范圍；（2）若，求的值，并寫出此時(shí)拋物線的解析式；（3）設(shè)（2）的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問：拋物線是否存在一點(diǎn)P，使得面積等于的面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（南京市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件得相應(yīng)二次方程兩實(shí)根的符號(hào)特征，兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的突破口．【例4】設(shè)p是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像與軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．（1）求證：；（2）若A，B兩點(diǎn)之間距離不超過，求p的最大值．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，于是，綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系、根的方程、不等式來解．【例5】是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間？如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：由于根的表示形式復(fù)雜，因此，應(yīng)把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來討論，即討論相應(yīng)二次函數(shù)交點(diǎn)在2與4之間，應(yīng)滿足的條件，借助函數(shù)圖象解題．【例6】設(shè)，為正整數(shù)，且.如果對(duì)一切實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離不小于，求，的值．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：由，得，由條件得，因此不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，故將問題轉(zhuǎn)化為判別式結(jié)合正整數(shù)求解．能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，若△ABC的面積為，則=.2．把拋物線向上平移個(gè)單位，所得拋物線與軸相交于點(diǎn)A(，0)和B(，0)，已知，那么平移后的拋物線的解析式為.（杭州市中考試題）3．拋物線的圖象如圖所示．（1）判斷及的符號(hào)：0，0；.當(dāng)時(shí)，滿足的關(guān)系式為________________.4．已知二次函數(shù)的圖象過（-1，0）和（0，-1）兩點(diǎn)，則的取值范圍為.（黑龍江省中考試題）5．若關(guān)于的方程的一個(gè)根大于-2，且小于-1，另一個(gè)根大于2且小于3，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（天津市競(jìng)賽試題）6．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段OA與OB的長(zhǎng)的比為1:4，則的值為（）A.8B.-4C.11D.-4或117．已知二次函數(shù)與軸相交于兩點(diǎn)A(，0)，B(，0)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，AB=，若，則與的關(guān)系是（）A.B.C.D.（福州市中考試題）8．設(shè)關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，且＜1＜，那么a的取值范圍是（）A.B.C.D.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）9．已知二次函數(shù)．（1）求證：不論取任何實(shí)數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)都在x軸的正半軸上；（2）設(shè)這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，若△ABC的面積為48，求的值．（徐州市中考試題）10．已知拋物線交軸于A(，0)，B(，0)，交軸于C點(diǎn)，且＜0＜，（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（武漢市中考試題）11．已知拋物線與x軸交于A(，0)，B(，0)(＜)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，b)，O為原點(diǎn)．（1）求的取值范圍．（2）若，且，求拋物線的解析式及A，B，C的坐標(biāo)；（3）在（2）情形下，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（如圖）以相同的速度沿AB，OC向B，C運(yùn)動(dòng)，連接PQ與BC交于M，設(shè)AP=，問：是否存在值，使以P，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（黃岡市中考試題）12．某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元？根據(jù)以上的結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元？（武漢市中考試題）B級(jí)1．已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩旁，則的取值范圍為____________.2．設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為____________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4．已知拋物線與x軸的正方向相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，△ABC為等腰直角三角形，則=.5．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，∠ACB=90°，且，則△ABC的外接圓的面積為.6．已知拋物線，（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，拋物線經(jīng)過x軸上的一定點(diǎn)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A(，0)，B(，0)，兩點(diǎn)，且滿足：＜，，.問：過A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個(gè)交點(diǎn)？試說明理由，如果有，求出其坐標(biāo)．（武漢市中考試題）7．已知拋物線上有一點(diǎn)位于x軸下方.（1）求證：已知拋物線必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(，0)，B(，0)，其中＜；（2）求證：＜＜;（3）當(dāng)點(diǎn)M為（1，-2）時(shí)，求整數(shù)，.（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）8．隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高，某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例的關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？（南寧市中考試題）9．已知以x為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于x的方程的一整數(shù)根，求的值．（紹興市競(jìng)賽試題）10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC周長(zhǎng)最??？若存在，求點(diǎn)出C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．（深圳市中考試題）11．如圖1，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線與軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q(0，3)作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（武漢市中考試題）12．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)P(1，a)，Q(2，10a)（1）如果a，b，c都是整數(shù)，且，求a，b，c的值；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，如果關(guān)于x的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）專題09特殊與一般——二次函數(shù)與二次方程例1（1）-1提示：，即(2)令當(dāng)時(shí)，，∴∴①若直線過P點(diǎn)，此時(shí)兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，再向上移將有四個(gè)交點(diǎn)，∴0=則②若直線與拋物線PQ部分相切，恰有三個(gè)交點(diǎn)，∴整理得則例2（1）如圖1，設(shè)∴(2)如圖2，則（3）如圖3，則例3（1）m>-1(2)(3)A(3,0),B(-1,0),C(0,3),M(1,4),滿足條件的P點(diǎn)存在,P點(diǎn)的坐標(biāo)是:(1,4),(，一4).例4提示:(1)原式=(2)兩邊平方，解得.符合題意，故p的最大值為.例5這樣的k值不存在，理由如下:設(shè)并作出如圖所示的圖象，則這個(gè)不等式組無解.例6由得即由題意知，且上式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，故即得或A級(jí)1.2.提示:設(shè)平移后的拋物線的解析式為3.（1）<>(2)ac-b+1=04.0<a<1提示:當(dāng)x=1時(shí),y<0.5.C提示:設(shè)，由已知畫出y=f(x)的大致圖象，知聯(lián)立解得6.C7.D8.D提示：記則這個(gè)拋物線開口向上，由題意得x=1時(shí),y<0.9.(1)證明略(2)10.(1)m=1,(2)存在這樣的P點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，使∠APB為銳角.提示:A(一1,0),B(4,0),C(0，一2).△ABC為直角三角形，過A，B，C三點(diǎn)作⊙，則AB為⊙的直徑，C點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M是⊙與拋物線的另一交點(diǎn)，M（3，-2），11.(1)(2)(3)當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則即解得當(dāng)PQ∥AC時(shí)，∠CAB=∠PMB時(shí)，同理可求得故存在k符合題目條件，或2時(shí)，所得三角形與△ABC相似.12.（1）（且x為整數(shù)）（2）當(dāng)x=5.5時(shí)，y有最大值2402.5.∵且x為整數(shù)，當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55,y=2400（元）；當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56,y=2400（元）.∴當(dāng)售價(jià)定為每件55元或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元.(3)當(dāng)y=2200時(shí)，解得當(dāng)x=1時(shí)，50+x=51；當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60.∴當(dāng)售價(jià)定為每件51元或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元;當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元(或當(dāng)售價(jià)分別為51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元）．B級(jí)1．m＜2提示：f(1)＜0.2.5796提示：a2－a－1＝0，a4＝(a＋1)2＝3a＋2，a8＝(3a＋2)2＝21a＋13，a16＝(21a＋13)2＝987a＋610，a18＝（987a＋610）（a＋1）＝987a2＋1597a＋610＝2584a＋1597，a－6＝EQ\F(1,a4?a2)＝EQ\F(1,8a＋5).3.4提示：由題意得3×（－EQ\F(9,5)）2＋m（－EQ\F(9,5)）－2＞0，3×（EQ\F(3,7)）2＋m（EQ\F(3,7)）－2＞0，－EQ\F(9,5)＜－EQ\F(m,6)＜EQ\F(3,7).解得3EQ\F(8,21)＜m＜4EQ\F(13,45)．4．－2EQ\r(,2)5.2π提示：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0),OA＝―x1，OB＝x2，得EQ\B\lc\{(\a\al(－q＝q2,EQ\F(－p,q2)＝EQ\F(2,|q|))),解得EQ\B\lc\{(\a\al(q＝－1,p＝－2)).y＝x2－2x－1,AB＝|x2―x1|＝2EQ\r(,2).6．(1)拋物線恒過x軸上一定點(diǎn)(－1，0)．(2)過A，B，C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D．∵|x1|＜|x2|，C點(diǎn)在y軸上，C不是拋物線頂點(diǎn)，x1＝－1,x2＞1，即x2＝1－k＞1，得k＜0，由S△ABC＝6得k＝－2，∴y＝x2－2x－3，其對(duì)稱軸為x＝1，根據(jù)對(duì)稱性，D點(diǎn)坐標(biāo)(2，－3）．，7．(1)由y0＝x02＋Px0＋q＝（x0＋EQ\F(p,2)）2－EQ\F(p2－4q,4)，得p2－4q＝4(x0＋EQ\F(p,2)）2－4y0≥―4y0＞0.(2)將p＝－（x1＋x2）,q＝x1?x2,代入y0＝x02＋Px0＋q＜0,得x02－(x1＋x2)x0＋x1x2＜0,即（x0－x1）（x0－x2）＜0.證得x1＜x0＜x2.(3)EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(1)＝0,x\S\DO(2)＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(1)＝－1,x\S\DO(2)