充要條件 高一數(shù)學(xué)

1.4.2

充要條件自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、逆命題的概念1.給出以下兩個(gè)命題:(1)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù);(2)若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù);你能說(shuō)出命題(1)與命題(2)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎?提示:命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰好互換了.2.將命題“若p,則q”中的條件p和結(jié)論q互換,就得到一個(gè)新的命題“若q,則p”,稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.3.命題“若A∪B=B,則A?B”的逆命題是

.答案:若A?B,則A∪B=B二、充要條件1.給出以下兩個(gè)“若p,則q”形式的命題:①若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等.②若

,則關(guān)于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有實(shí)數(shù)根.(1)你能判斷它們的真假嗎?(2)你能寫出它們的逆命題,并判斷真假嗎?(3)以上兩個(gè)命題中,p是q的什么條件?q是p的什么條件?提示:(1)①真命題.②真命題.(2)①逆命題:若兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等,則這兩個(gè)三角形全等,是真命題.②逆命題:若關(guān)于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有實(shí)數(shù)根,則

,是真命題.(3)因?yàn)閜?q,且q?p,所以p是q的充分條件也是必要條件;同理,q是p的充分條件,也是必要條件.2.

答案:充要

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)如果原命題“若p,則q”與其逆命題都為真命題,那么p是q的充要條件.(√)(2)若p是q的充要條件,則p是唯一的.(×)(3)當(dāng)p是q的充要條件時(shí),也可說(shuō)成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

充分條件、必要條件、充要條件的判斷【例1】

在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答):(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,p:x=2,且y=6,q:x+y=8;(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;分析:判斷p?q與q?p是否成立.反思感悟判斷充分條件、必要條件和充要條件的方法

(1)定義法:①若p?q,但qp,則p是q的充分不必要條件;

②若q?p,但pq,則p是q的必要不充分條件;

③若p?q,且q?p,則p是q的充要條件;

④若pq,且qp,則p是q的既不充分也不必要條件.(2)命題法:(3)集合法:

【變式訓(xùn)練1】

“x=5”是“x2-4x-5=0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析:由x2-4x-5=0,得x=5或x=-1,則當(dāng)x=5時(shí),x2-4x-5=0成立,但當(dāng)x2-4x-5=0時(shí),x=5不一定成立,故選A.答案:A探究二

充要條件的證明【例2】

求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.分析:設(shè)p:a+b+c=0,q:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1.要證明p是q的充要條件,只需分別證明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可.證明:充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1.必要性:∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1,∴x=1滿足方程ax2+bx+c=0,∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.綜上可得,方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.反思感悟有關(guān)充要條件的證明問(wèn)題,要分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論,由“條件?結(jié)論”是證明命題的充分性,由“結(jié)論?條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個(gè)環(huán)節(jié):一是證明充分性;二是證明必要性.【變式訓(xùn)練2】

求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩異號(hào)實(shí)根的充要條件是ac<0.證明:必要性:因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有兩異號(hào)實(shí)根,即一正根和一負(fù)根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2為方程的兩根),所以ac<0.充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2為方程的兩根),故方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,且兩根異號(hào),即方程ax2+bx+c=0有兩異號(hào)實(shí)根.綜上可得,方程ax2+bx+c=0有兩異號(hào)實(shí)根的充要條件是ac<0.探究三

探求充要條件【例3】

對(duì)于非零實(shí)數(shù)x,y有x>y,試探求

的充要條件,并加以證明.反思感悟探求充要條件的方法方法一:先由結(jié)論尋找使之成立的條件,再由條件來(lái)驗(yàn)證它成立,即保證必要性和充分性都成立.方法二:變換命題為其等價(jià)命題,使每一步都可逆,直接得到使結(jié)論成立的充要條件.思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法,通過(guò)不斷地轉(zhuǎn)化,將不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.【典例】

已知p:-2≤

≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

審題視角:對(duì)題目中的條件進(jìn)行化簡(jiǎn),等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式的解集,再將充分條件、必要條件和集合間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.解析:因?yàn)閝是p的必要不充分條件,所以p是q的充分不必要條件,由-2≤

≤2,得-2≤x≤10,所以p對(duì)應(yīng)的集合為{x|-2≤x≤10}.答案:{m|m≥9}設(shè)M={x|-2≤x≤10}.q對(duì)應(yīng)的集合為{x|1-m≤x≤1+m,m>0},設(shè)N={x|1-m≤x≤1+m