浙江省杭州市西湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page26本試題滿分150分，考試時間120分鐘一．單項選擇（共8題，每小題5分；滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的方向向量為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進行求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的傾斜角為.故選：C2.已知三棱錐，點M，N分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運用向量的線性運算即可求得結(jié)果．【詳解】因為，，，所以.故選：D.3.若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離不可能是（）A.4 B.6C.3＋1 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，判斷出直線過定點，進而求出圓心到直線距離的最大值，然后判斷各個答案.【詳解】如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6；當(dāng)直線與圓有公共點時，點P到直線距離的最小值為0．即距離的范圍是[0,6].故選：D.4.某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）A.中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B.平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C.方差是，平均數(shù)是2 D.平均數(shù)是3，眾數(shù)是2【答案】C【解析】【分析】舉特例可說明正誤，利用方差的計算公式可判斷C.【詳解】選項A：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如；選項B：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如；選項C：設(shè)這5次的點數(shù)為，則方差如果出現(xiàn)點數(shù)6，而，則方差大于或等于3.2，故不可能出現(xiàn)點數(shù)6；選項D：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如，故選：C．5.已知橢圓（）的長軸長為，且與軸的一個交點是，過點的直線與橢圓交于兩點，且滿足，若為直線上任意一點，為坐標(biāo)原點，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點為線段的中點，然后利用點差法可求出直線的方程，則的最小值為點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因為，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個交點，因為，即點為線段的中點，設(shè)，顯然，則，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，所以直線為，即，因為M為直線上任意一點，所以的最小值為點到直線的距離，故選：B.6.已知點，若圓O：上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意知，A在圓O上，PA中點也在圓上，根據(jù)中點位置列出方程式解得中點的軌跡為，然后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求得a的取值范圍.【詳解】設(shè)A的坐標(biāo)為，PA的中點坐標(biāo)為，則有：，解得：，又線段PA中點也在圓上，所以兩圓有公共點，所以，解得：，解得：，故選：B.7.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內(nèi)的動點（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因為平面，平面，所以平面，同理平面，又因為平面，，所以平面平面.因為平面，所以H為線段FG上的點.由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因為，所以平面，，.因為，所以，，.所以.因為，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.8.設(shè)拋物線的焦點為，直線過點與拋物線交于兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，作y軸，過A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，由梯形中位線得到，然后求得r，進而得到，然后，利用韋達定理求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，作y軸，過A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，則，所以，則，即，解得或（舍去），則，設(shè)，由，消去y得，則，解得，所以直線方程為，即，故選：A二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.已知圓C的方程為，直線的方程為，下列選項正確的是（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.直線被圓所截最短弦長為D.存在一個實數(shù)，使直線經(jīng)過圓心【答案】ABC【解析】【分析】化簡直線的方程為，結(jié)合方程組的解，可判定A正確；求得圓心到定點的距離，得到點在圓內(nèi)，進而得到直線與圓相交，可判定B正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)直線和直線垂直時，此時截得的弦長最短，求得最短弦長，可判定C正確；將圓心坐標(biāo)代入直線的方程，可判定D不正確.【詳解】對于A項：由直線的方程，可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線恒經(jīng)過定點，所以A正確；對于B項：由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，可得在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，所以B正確；對于C項：由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時，此時截得的弦長最短，最短弦長為，所以C正確；對于D項：將圓心代入直線的方程，可得，所以不存在一個實數(shù)，使得直線過圓心，所以D不正確.故選：ABC.10.甲乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.事件、是相互獨立事件 B.事件、是互斥事件C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用列舉法分別求出事件，，，，的概率，結(jié)合互斥事件、相互獨立事件的定義直接求解．【詳解】解：甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，基本事件總數(shù)，記事件為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有9個，分別為：，，，，，，，，，，，事件、是相互獨立事件，故正確；事件與能同時發(fā)生，故事件與不互斥事件，故錯誤；，故正確；包包含的基本事件有9個，分別為：，，，，，，，，，．故錯誤．故選：．11.直線l與拋物線相交于，，若，則（）A.直線l斜率為定值 B.直線l經(jīng)過定點C.面積最小值為4 D.【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合拋物線方程得出，聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達定理得出直線l經(jīng)過定點，再由判別式判斷A，由面積公式結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷C.【詳解】，因為，所以，即，，又，所以，故D正確；設(shè)直線，由得，即，，即直線l過定點，故B正確；又，則，故A錯誤；，當(dāng)時，面積取最小值，故C正確.故選：BCD12.在棱長為1的正方體中，點M是的中點，點P，Q，R在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，，點R到平面的距離等于它到點D的距離，則（）A.點P的軌跡的長度為 B.點Q的軌跡的長度為C.PQ長度的最小值為 D.PR長度的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，取BC的中點N，連接AN，，根據(jù)面面平行的判定可證得平面平面，從而得點P的軌跡為線段AN，解三角形計算可判斷；對于B，連接DQ，由勾股定理得，從而有點Q的軌跡是以點D為圓心，以為半徑的圓，由圓的周長計算可判斷；對于C，過點D作于，交點Q的軌跡于，此時的長度就是PQ長度的最小值，由三角形相似計算得，由此可判斷；對于D，由已知得點R到直線的距離等于它到點D的距離，根據(jù)拋物線的定義知點R的軌跡是以點D為焦點，以AB為準(zhǔn)線的拋物線，以AD的中點為坐標(biāo)原點O，過點O且垂直于AD的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，設(shè)與直線AN平行且與拋物線相切的直線l的方程為：，聯(lián)立，整理得，由，解得，再根據(jù)平行線間的距離可求得PR長度的最小值．【詳解】解：對于A，取BC的中點N，連接AN，，則，，所以平面，平面，又平面，平面，，所以平面平面，又點P在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，所以點P的軌跡為線段AN，因為，所以點P的軌跡的長度為，故A不正確；對于B，連接DQ，因為Q在底面ABCD上，，所以，解得，所以點Q的軌跡是以點D為圓心，以為半徑的圓，如下圖所示，所以點Q的軌跡的長度為，故B正確；對于C，過點D作于，交點Q的軌跡于，此時的長度就是PQ長度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，所以PQ長度的最小值為，故C正確；，對于D，因為點R到平面的距離等于它到點D的距離，由正方體的特點得點R到直線的距離等于點R到平面的距離，所以點R到直線的距離等于它到點D的距離，根據(jù)拋物線的定義知點R的軌跡是以點D為焦點，以AB為準(zhǔn)線的拋物線，以AD的中點為坐標(biāo)原點O，過點O且垂直于AD的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，直線AB的方程為，直線AN的方程為，則拋物線的方程為，設(shè)與直線AN平行且與拋物線相切的直線l的方程為：，聯(lián)立，整理得，，解得，所以直線l的方程為：，則直線AN與直線l的距離為：，所以PR長度的最小值為，故D正確，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．）13.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知甲、乙能破譯的概率分別為和，則密碼被成功破譯的概率為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件“甲能破譯密碼”，事件“乙能破譯密碼”，則事件與相互獨立，且，則密碼被成功破譯的概率為：.故答案為：.14.已知空間內(nèi)三點，，，則點A到直線的距離是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點，，，所以，，，，由，易得，所以，所以點到直線距離.故答案為：.15.，是橢圓C的兩個焦點，點P是橢圓C上異于頂點的一點，點I是的內(nèi)切圓圓心，若的面積是的面積的4倍，則橢圓C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及條件求出a與c的關(guān)系式，再求出e.【詳解】設(shè)橢圓方程為：，如圖，設(shè)P（m，n），，，的周長為l，內(nèi)切圓I的半徑為r，則由橢圓的定義可得l＝2a＋2c，∴，，∴，解得：，；故答案為：．16.已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線上且在軸上方，若線段的中點在以為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，，，再利用余弦定理以及同角三角關(guān)系求斜率.【詳解】由雙曲線可知，設(shè)線段的中點為，雙曲線的右焦點為，則，，由題意可知：點在第一象限，則，，可得，且為銳角，則，可得，所以直線的斜率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知圓過點，圓心在直線上，且圓與軸相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】17.18或【解析】【分析】（1）根據(jù)題干假設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入題干信息即可求解.（2）討論過點的直線斜率不存在時，是否與圓相交，弦長是否為；斜率存在時，利用弦長公式進行計算，求解直線的方程即可.【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入題干得：，解得：則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問2詳解】當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線為：，此時圓心到直線的距離為所以相切，與題干不符；當(dāng)過點的直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，即，此時圓心到直線的距離為，又因為相交的弦長為，則.所以，解得或則直線的方程為：或18.如圖，在三棱錐中，平面，點分別是和的中點，設(shè)，直線與直線所成的角為（1）求的長；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，設(shè)，利用空間向量結(jié)合異面直線夾角運算求解；（2）求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】由題意可知：平面，且，如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，由題意可得：，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.實行“垃圾分類”能最大限度地減少垃圾處置量，實現(xiàn)垃圾資源利用，改善垃圾資源環(huán)境．2019年下半年以來，全國各地區(qū)陸續(xù)出臺了“垃圾分類”的相關(guān)管理條例．某部門在某小區(qū)年齡處于歲的人中隨機地抽取人，進行了“垃圾分類”相關(guān)知識掌握和實施情況的調(diào)查，并把達到“垃圾分類”標(biāo)準(zhǔn)的人稱為“環(huán)保族”，得到如圖所示各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．組數(shù)分組“環(huán)保族”人數(shù)占本組的頻率第一組450.75第二組25第三組200.5第四組0.2第五組30.1（1）求的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）；（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層隨機抽樣的方法抽取6人進行專訪，并在這6人中選取2人作為記錄員，求選取的2名記錄員中至少有1人年齡在中的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接由頻率分布直方圖求出即可；（2）由頻率分布直方圖中平均值的公式求出；（3）古典概率，先求符合條件的人數(shù)，再求基本事件總數(shù)，符合條件的事件數(shù)量，最后求概率.【小問1詳解】由題意得：，【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的平均值：【小問3詳解】從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層隨機抽樣的方法抽取6人進行專訪，中選：人，分別記為，中選：人，分別記為，并在這6人中選取2人作為記錄員，，基本事件總數(shù)，選取的2名記錄員中至少有1人年齡在包含的基本事件：，基本事件數(shù)，選取的2名記錄員中至少有1人年齡在中的概率20.已知橢圓（）的上下左右四個頂點分別為，軸正半軸上的點滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及點的坐標(biāo)．（2）過點的直線交橢圓于兩點，且和的面積相等，求直線的方程．（3）在（2）的條件下，求當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，的面積．【答案】20.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點坐標(biāo)為21.或22.【解析】【分析】（1）由及橢圓的定義即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程及點點坐標(biāo).（2）由與的面積相等知點到直線的距離相等，再由點到直線的距離公式即可求得直線方程.（3）由（2）求得的直線方程，聯(lián)立橢圓，再由面積公式即可求得三角形的面積.【小問1詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，易知，可得，則，，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點坐標(biāo)為．【小問2詳解】由（1）可知：，由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線，即，由與的面積相等知點到直線的距離相等，所以，解得或，所以直線的方程為或．【小問3詳解】因為在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓相交，若直線的傾斜角為鈍角，則，此時直線的方程為，即聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，坐標(biāo)分別為，，則，所以的面積，故所求的面積為．21.如圖，在三棱柱中，，為的中點，平面平面．（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，線段上的點，且，當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解.【小問1詳解】因為，且D為BC的