機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)考試復(fù)習(xí)

直接法：復(fù)合形法隨機(jī)方向法間接法：懲罰函數(shù)法增廣乘子法二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣為正定?？尚兴阉鞣较蚴侵府?dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。黃金分割選點(diǎn)的原那么：對(duì)稱性和新區(qū)間三段與原來的區(qū)間的三段保持相同的比例。優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代滿足下降性和收斂性。凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中的變化范圍稱為可行域。1優(yōu)化問題的三要素：設(shè)計(jì)變量，約束條件，目標(biāo)函數(shù)。2機(jī)械優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)規(guī)劃法的核心：一、建立搜索方向，二、計(jì)算最正確步長(zhǎng)因子3外推法確定搜索區(qū)間，函數(shù)值形成高-低-高區(qū)間4數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是，其核心是建立搜索方向，和計(jì)算最正確步長(zhǎng)5假設(shè)n維空間中有兩個(gè)非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，那么d0、d1之間存在_共軛關(guān)系6，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值不變方向。外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)的判別7那三種方法不要求海賽矩陣：最速下降法共軛梯度法變尺度法8、那種方法不需要要求一階或二階導(dǎo)數(shù)：坐標(biāo)輪換法9、拉格朗日乘子法是升維法P3710、懲罰函數(shù)法又分為外點(diǎn)懲罰函數(shù)法、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法、混合懲罰函數(shù)法三種11，.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為，海賽矩陣為12.目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對(duì)它最根本的要求是能用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，，同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。13.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的根本原那么是確切反映工程實(shí)際問題，的根底上力求簡(jiǎn)潔。14.約束條件的尺度變換常稱規(guī)格化，這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。15，.隨機(jī)方向法所用的步長(zhǎng)一般按加速步長(zhǎng)法來確定，此法是指依次迭代的步長(zhǎng)按一定的比例遞增的方法。16.最速下降法以負(fù)梯度方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為梯度法，其收斂速度較慢。17，.二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是必要條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣正定18.拉格朗日乘子法的根本思想是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為升維法。19，改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮20坐標(biāo)輪換法的根本思想是把多變量的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量的優(yōu)化問題21．在選擇約束條件時(shí)應(yīng)特別注意防止出現(xiàn)相互矛盾的約束，，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束。22．目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1,空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。23協(xié)調(diào)曲線法是用來解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的。24.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程中，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、解答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：〔1〕、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法〔2〕、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、在變尺度法中，為使變尺度矩陣與近似，并具有容易計(jì)算的特點(diǎn)，必須附加哪些條件？答：〔1〕必須是對(duì)稱正定的〔2〕要求有簡(jiǎn)單的迭代形式〔3〕必須滿足擬牛頓條件3，總結(jié)：無約束優(yōu)化方法只算函數(shù)值方法1,坐標(biāo)輪換法：小規(guī)模，收斂慢〔無耦合問題快〕；2，單形替換法：中小規(guī)模，收斂較快,3，格點(diǎn)法：非凸問題；4，MonteCarlo法：非凸問題。計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)方法梯度法：中小規(guī)模，開始快；2，共軛梯度法：中大規(guī)模，收斂快，程序簡(jiǎn)單；變尺度法：中大規(guī)模，收斂快；4，Powell方法：中大規(guī)模，收斂快。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)方法Newton方法：收斂快，計(jì)算難度大；2，共軛方向法：收斂快，計(jì)算難度大。4．共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。.對(duì)于二次函數(shù)，,從點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達(dá)點(diǎn)，那么點(diǎn)處的搜索方向應(yīng)滿足，即終點(diǎn)與始點(diǎn)的梯度之差與的共軛方向正交。3．為什么說共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改良？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個(gè)共軛向量都依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個(gè)搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法的實(shí)質(zhì)是對(duì)最速下降法的一種改良。4．簡(jiǎn)述隨機(jī)方向法的根本思路答：隨機(jī)方向法的根本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生假設(shè)干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向。從初始點(diǎn)出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新的值，新點(diǎn)應(yīng)該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點(diǎn)移至，重復(fù)以上過程，經(jīng)過假設(shè)干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。5．凸規(guī)劃：對(duì)于約束優(yōu)化問題假設(shè)、都為凸函數(shù)，那么稱此問題為凸規(guī)劃。6．可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。7．設(shè)計(jì)空間：n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間，它是所有設(shè)計(jì)方案的組合8．收斂性：是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列收斂于9.黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值。10.可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。三，計(jì)算1、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=2x12+3x22-x1x2-2x2-在點(diǎn)X1=處的函數(shù)變化率最大的方向及其數(shù)值。解：▽f(x1)==數(shù)值求函數(shù)f(X)=x13+x22-4x1-2x2+在點(diǎn)X1〔2,1〕處的二階泰勒展開式。解：=6x12+x22-16x1+6+用共軛梯度法求函數(shù)f(X)=2x1^2-x1x2+3x2^2+5的最優(yōu)解，初始點(diǎn)(1,2)，迭代精度解：4，求函數(shù)的極值。解首先，根據(jù)極值的必要條件求駐點(diǎn)得駐點(diǎn)為再根據(jù)極值的充分條件，判斷此點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。由于的一階主子式和二階主子式分別為故為正定矩陣為極小點(diǎn)，相應(yīng)的極值為5．試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。初始點(diǎn)為，那么初始點(diǎn)處的函數(shù)值和梯度分別為，沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有為一維搜索最正確步長(zhǎng)，應(yīng)滿足極值必要條件，從而算出一維搜索最正確步長(zhǎng)那么第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去，便可求得最優(yōu)解。6、試用黃金分割法求函數(shù)的極小點(diǎn)和極小值，設(shè)搜索區(qū)間〔迭代一次即可〕解：顯然此時(shí)，搜索區(qū)間，首先插入兩點(diǎn)，由式計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值。因?yàn)?。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)