2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.書架上層放有4本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，不同取法的種數(shù)為（）A.9 B.12 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗分兩步完成：第一步，從上層取1本數(shù)學(xué)書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的取法.故選：C2.計(jì)算：（）A.30 B.60 C.90 D.120〖答案〗D〖解析〗.故選：D3.二項(xiàng)式的展開式為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗二項(xiàng)式，.故選：B4.已知，則（）A.127 B.128 C.255 D.256〖答案〗B〖解析〗令得，；令可得，；兩式相加可得，，所以，故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗.故選：D6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，所以.故選：A7.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖像如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，取得極大值 D.當(dāng)時(shí)，取得最大值〖答案〗D〖解析〗由的圖像可知在上單調(diào)遞減,，A正確；由的圖像可知在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，所以，B正確,C正確;在處取得極大值，但不是的最大值，故D錯誤.故選：D.9.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當(dāng)每瓶飲料的利潤最大時(shí)，瓶子的半徑為（）A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm〖答案〗D〖解析〗設(shè)每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點(diǎn)，于是在，只可能使得最大.故選：D10.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，因?yàn)?，所以，則.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動，位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為____________m/s；時(shí)的瞬時(shí)速度為____________m/s．〖答案〗①6②8〖解析〗，，物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，，則，當(dāng)時(shí)，，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為，故〖答案〗為：6；8．12.已知函數(shù)，則單調(diào)遞減區(qū)間為________．〖答案〗〖解析〗，令在上單調(diào)遞減.故〖答案〗為：13.已知，則_______；_________．〖答案〗①－2②3〖解析〗令，則，即；根據(jù)組合知識，含的項(xiàng)為：，即.故〖答案〗為：；.14.從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____________．〖答案〗84〖解析〗由題意，分2類討論：第一類是從0，2，4中選出的數(shù)字沒有0，則從2，4中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個(gè)，第二類是從0，2，4中選出的數(shù)字有0，則從2，4中任取1個(gè)數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字四位奇數(shù)有個(gè)，則共有個(gè)符合條件的奇數(shù)，故〖答案〗為：8415.已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若關(guān)于x的方程在區(qū)間上無解，則；④若點(diǎn)M，N分別在函數(shù)和的圖象上，則一定存在M，N關(guān)于直線對稱.其中所有正確結(jié)論的序號是____________．〖答案〗②④〖解析〗對于①：，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，若，則，所以，故①錯誤；對于②：，，若，則，單調(diào)遞增，故②正確；對于③：若在上無解，則在上無解，所以在上無解，設(shè)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以或，故③錯誤；對于④：因?yàn)辄c(diǎn)，分別在函數(shù)和的圖象上，所以設(shè)，，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，則,，又點(diǎn)在圖象上，則，所以在上有解，令，，，所以在上，單調(diào)遞增，所以，又，所以方程在上有解，故④正確．故〖答案〗為：②④．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從4名女生3名男生中選出3名學(xué)生去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽．（1）選出3名學(xué)生中，恰有1名男生的選法有多少種？（2）選出3名學(xué)生中，既有女生又有男生的選法有多少種？（3）選出3名學(xué)生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法有多少種？解：（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學(xué)生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學(xué)生中，女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙不在內(nèi)的選法有種；女生中的甲不在內(nèi)且男生中的乙在內(nèi)的選法有種；女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙也在內(nèi)的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法為10+10+5=25種.17.已知二項(xiàng)式為．（1）求該二項(xiàng)式的展開式的中間兩項(xiàng)；（2）求該二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解：（1）因?yàn)槎?xiàng)式為，所以的展開式的中間兩項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．所以的展開式的第4項(xiàng)是．第5項(xiàng)是．（2）因?yàn)槎?xiàng)式為，所以展開式的通項(xiàng)是．根據(jù)題意，得，所以．所以的展開式中的系數(shù)是．18.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?，解得，或．?dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x－11＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．（2）由（1）知，在區(qū)間上有極小值為．因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的最大值為，最小值為．19.已知函數(shù)，．（1）若，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）若在時(shí)取得極值，求a的值.解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．所以．?）當(dāng)時(shí)，．所以．所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（3）因?yàn)樵跁r(shí)取得極值，所以，即，所以．當(dāng)時(shí)，．令，即，得；令，即，得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值，符合題意．所以．20.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：，，恒有．解：（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以．令，解得，或．①?dāng)，即時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即a≥0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．④當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上的最小值是．因?yàn)椋?所以在區(qū)間上的最大值是．所以，，恒有．21.已知函數(shù)．（1）求的零點(diǎn)；（2）設(shè)，．（?。┤粼趨^(qū)間上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值是0，求a的值．解：（1）因?yàn)?，令，即，解得，所以的零點(diǎn)是0；（2）（ⅰ）因?yàn)?，所以，所以，①?dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，令，即，得．若，即時(shí)，．所以．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，不符合題意．若，即時(shí)，令，得；令，得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以存在，使得．?dāng)，．所以存在，使得．由零點(diǎn)存在性定理，存在，使得．所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)．綜上所述，a的取值范圍是；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值．①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上最小值為．所以．所以．②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在區(qū)間上最小值為．所以．所以，不符合題意．③當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上最小值為．所以，即．令，所以．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)椋栽趨^(qū)間上無零點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，方程無解，不符合題意．綜上所述，a的值為．北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.書架上層放有4本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，不同取法的種數(shù)為（）A.9 B.12 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗分兩步完成：第一步，從上層取1本數(shù)學(xué)書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的取法.故選：C2.計(jì)算：（）A.30 B.60 C.90 D.120〖答案〗D〖解析〗.故選：D3.二項(xiàng)式的展開式為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗二項(xiàng)式，.故選：B4.已知，則（）A.127 B.128 C.255 D.256〖答案〗B〖解析〗令得，；令可得，；兩式相加可得，，所以，故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗.故選：D6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，所以.故選：A7.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖像如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，取得極大值 D.當(dāng)時(shí)，取得最大值〖答案〗D〖解析〗由的圖像可知在上單調(diào)遞減,，A正確；由的圖像可知在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，所以，B正確,C正確;在處取得極大值，但不是的最大值，故D錯誤.故選：D.9.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當(dāng)每瓶飲料的利潤最大時(shí)，瓶子的半徑為（）A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm〖答案〗D〖解析〗設(shè)每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點(diǎn)，于是在，只可能使得最大.故選：D10.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，因?yàn)?，所以，則.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動，位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為____________m/s；時(shí)的瞬時(shí)速度為____________m/s．〖答案〗①6②8〖解析〗，，物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，，則，當(dāng)時(shí)，，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為，故〖答案〗為：6；8．12.已知函數(shù)，則單調(diào)遞減區(qū)間為________．〖答案〗〖解析〗，令在上單調(diào)遞減.故〖答案〗為：13.已知，則_______；_________．〖答案〗①－2②3〖解析〗令，則，即；根據(jù)組合知識，含的項(xiàng)為：，即.故〖答案〗為：；.14.從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____________．〖答案〗84〖解析〗由題意，分2類討論：第一類是從0，2，4中選出的數(shù)字沒有0，則從2，4中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個(gè)，第二類是從0，2，4中選出的數(shù)字有0，則從2，4中任取1個(gè)數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字四位奇數(shù)有個(gè)，則共有個(gè)符合條件的奇數(shù)，故〖答案〗為：8415.已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若關(guān)于x的方程在區(qū)間上無解，則；④若點(diǎn)M，N分別在函數(shù)和的圖象上，則一定存在M，N關(guān)于直線對稱.其中所有正確結(jié)論的序號是____________．〖答案〗②④〖解析〗對于①：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，若，則，所以，故①錯誤；對于②：，，若，則，單調(diào)遞增，故②正確；對于③：若在上無解，則在上無解，所以在上無解，設(shè)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以或，故③錯誤；對于④：因?yàn)辄c(diǎn)，分別在函數(shù)和的圖象上，所以設(shè)，，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，則,，又點(diǎn)在圖象上，則，所以在上有解，令，，，所以在上，單調(diào)遞增，所以，又，所以方程在上有解，故④正確．故〖答案〗為：②④．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從4名女生3名男生中選出3名學(xué)生去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽．（1）選出3名學(xué)生中，恰有1名男生的選法有多少種？（2）選出3名學(xué)生中，既有女生又有男生的選法有多少種？（3）選出3名學(xué)生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法有多少種？解：（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學(xué)生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學(xué)生中，女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙不在內(nèi)的選法有種；女生中的甲不在內(nèi)且男生中的乙在內(nèi)的選法有種；女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙也在內(nèi)的選法有種，所以選出的3名學(xué)生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法為10+10+5=25種.17.已知二項(xiàng)式為．（1）求該二項(xiàng)式的展開式的中間兩項(xiàng)；（2）求該二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解：（1）因?yàn)槎?xiàng)式為，所以的展開式的中間兩項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．所以的展開式的第4項(xiàng)是．第5項(xiàng)是．（2）因?yàn)槎?xiàng)式為，所以展開式的通項(xiàng)是．根據(jù)題意，得，所以．所以的展開式中的系數(shù)是．18.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以．令，解得，或．?dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x－11＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．（2）由（1）知，在區(qū)間上有極小值為．因?yàn)?，．所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為．19.已知函數(shù)，．（1）若，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）若在時(shí)取得極值，求a的值.解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．所以．?）當(dāng)時(shí)，．所以．所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（3）因?yàn)樵跁r(shí)取得極值，所以，即，所以．當(dāng)時(shí)，．令，即，得；令，即，得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值，符合題意．所以．20.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：，，恒有．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?，解得，或．①?dāng)，即時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即a≥0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況