圓錐曲線(單元)教學(xué)設(shè)計

圓錐曲線（單元）教學(xué)設(shè)計 “長程兩段”的教學(xué)策略與思想嶗山二中董雪君一、教材的地位和知識結(jié)構(gòu)：本單元是在學(xué)生學(xué)習(xí)完必修教材的直線與圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，分為橢圓、雙曲線、拋物線三部分。而橢圓又是學(xué)生遇到的第一種圓錐曲線，能否學(xué)好橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)，是學(xué)生能否比較系統(tǒng)地學(xué)好另外兩種圓錐曲線的基礎(chǔ)，甚至是學(xué)生能否學(xué)好解析幾何的關(guān)鍵。而橢圓在教材中具有“承上啟下”的作用，前面是二次曲線中最特殊的圓，后面是雙曲線、拋物線。圓f橢圓f雙曲線f拋物線的定義、方程、性質(zhì)知識鏈背后貫穿著一條暗線：點與距離和建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求方程問題即坐標(biāo)法。在圓錐曲線的教學(xué)中始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想。因此改變原來的課時“勻速運動”的教學(xué)方式，在整個單元的知識結(jié)構(gòu)、特有的育人價值思考的基礎(chǔ)上，把橢圓的教學(xué)作為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段；雙曲線、拋物線的教學(xué)作為“運用結(jié)構(gòu)”階段。即采取“長程兩段”的教學(xué)策略。二、“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)；能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力、歸納抽象能力以及等價轉(zhuǎn)化思想為重點的教學(xué)思想.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過動手實驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)用運動變化的觀點看待問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價值。培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力。教學(xué)重點：橢圓定義的形成、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；理解坐標(biāo)法的基本思想。教學(xué)難點：橢圓定義的語言表述、符號表示、標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡。教學(xué)方法：“三放三收”的設(shè)計方案。創(chuàng)設(shè)問題、啟發(fā)引導(dǎo)、探究活動、歸納總結(jié).橢圓定義與方程的教學(xué)過程：問題設(shè)計意圖師生活動用繩子、圖釘在本子上怎樣畫出一個圓？復(fù)習(xí)圓的定義，運用學(xué)生的“基礎(chǔ)性資源”為下一步學(xué)習(xí)新知識作引子。學(xué)生動手畫圓。有固定繩子一端的;有繩子兩端點重合固定在圖釘上，再把圖釘固定在本子上。（不能用圓規(guī)）將繩子兩端點分開把問題放下去面向全體學(xué)生開放（教學(xué)生動手操作，大多數(shù)同學(xué)畫

固定在圖釘上，然后把圖釘固定在本子上，用筆構(gòu)住繩子運動，能畫出什么曲線？學(xué)的重心下移）打破學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的平衡，調(diào)動學(xué)生原有的知識探究問題的結(jié)果，引發(fā)學(xué)習(xí)興趣。出的是橢圓，有的畫出的橢圓圓，有的畫出的橢圓扁。個別同學(xué)畫出的是線段，還有的畫出的曲線不能在一個平面上，到了空間無法展示。為下一步師生的“交互反饋”提供資源準(zhǔn)備在運動中同學(xué)們畫出的曲線形狀、大小不同，小組討論這些曲線上的點滿足的幾何條件是什么？“生生互動”“師生互動”，整理試驗結(jié)果，互動生成。歸納出橢圓的定義。激發(fā)學(xué)生形成深層次思考的意識與習(xí)慣。根據(jù)實驗過程與結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生抓住作圖的關(guān)鍵（點與距離），鼓勵用自己的語言概括定義。（教師把信息收上來生生、師生之間圍繞由圖到定義的交流和討論）橢圓定義中的關(guān)鍵詞是什么？缺一個約束條件會變成什么曲線？符號語言怎樣表達(dá)？從本質(zhì)上理解橢圓概念的內(nèi)涵。通過多維互動及交互的回應(yīng)反饋生成新問題的“生長元”。通過獨特的符合語言表達(dá)的實踐，學(xué)會抽象的思考和形成準(zhǔn)確、嚴(yán)禁的表達(dá)能力。關(guān)鍵詞：在平面內(nèi)，距離之和為常數(shù)，常數(shù)大于兩定點的距離。根據(jù)學(xué)習(xí)過的“點與距離”，“點與斜率”同學(xué)們還能提出什么問題？再一次把問題放下去，向?qū)W生開放，讓學(xué)生進(jìn)行橫向知識的聯(lián)想，發(fā)展和提升學(xué)生的發(fā)散思維水平。在生成的教學(xué)環(huán)境中實現(xiàn)師生真實的生命成長。對學(xué)生產(chǎn)生的疑問平面內(nèi)到兩定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？可作為課后探究為后面學(xué)習(xí)雙曲線做準(zhǔn)備。平面內(nèi)與兩定點的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？可讓學(xué)生求方程研究。學(xué)生思考或小組討論交流提出的問題:平面內(nèi)到兩定點的距離之差（或之積或之商）為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？同樣平面內(nèi)與兩定點的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？學(xué)生提出了問題，但回答不出曲線的形狀。從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。（第二次“收”）怎樣根據(jù)曲線求方體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)法的思想。同時學(xué)生可先依據(jù)圓的方程猜想，程？又怎樣根據(jù)方程知表示什么曲線？橢圓的方程是什么形式？怎樣建立坐標(biāo)系？體會建立“適當(dāng)”平面直角坐標(biāo)系的意義。（方程化簡是難點）進(jìn)一步體會建立坐標(biāo)系不同所求方程不同。由此總結(jié)怎樣建立坐標(biāo)系叫“適當(dāng)”。然后建立坐標(biāo)系求方程。通過“師生”交流，可請學(xué)生板演化簡方程。用投影儀展示不同不同坐標(biāo)系下學(xué)生所求方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式及應(yīng)用。師生小結(jié)：橢圓是怎樣的點的軌跡？符合語言怎樣表達(dá)？標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣？怎樣建系化簡的？橢圓的幾何性質(zhì)可采取數(shù)形結(jié)合方法學(xué)習(xí)。重點是讓學(xué)生改變線段的長度，多畫幾個橢圓，這樣學(xué)生會發(fā)現(xiàn)影響橢圓扁圓程度因素，對“橢圓性質(zhì)”的學(xué)習(xí)起重要作用。整個橢圓教學(xué)階段速度放慢，用圓錐曲線一半的教學(xué)課時，讓學(xué)生從橢圓定義的形成”標(biāo)準(zhǔn)方程的建立“幾何性質(zhì)的問題出發(fā)，在問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)知識，充分地感悟和體驗知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)存在，逐漸形成學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)。二、“運用結(jié)構(gòu)”階段學(xué)習(xí)雙曲線的定義時與橢圓定義類比。學(xué)生準(zhǔn)備一條拉鏈，拉開一部分，在拉開的兩邊各取一點分別固定畫出圖形。然后歸納出文字語言和符號語言。在學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后學(xué)習(xí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不會感到困難。采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)形式。重點放在雙曲線性質(zhì)中漸進(jìn)線和離心率的學(xué)習(xí)。通過學(xué)生主動探究，借用研究橢圓的方法和思想使學(xué)生形成自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)動力。感悟滲透數(shù)學(xué)方法與思想，建立判斷與選擇的自覺意識，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。拋物線的學(xué)習(xí)可與現(xiàn)實生活溝通將再次體驗和認(rèn)識轉(zhuǎn)化為自身的邏輯推理發(fā)展和思維品質(zhì)提升的力量。運用學(xué)習(xí)橢圓部分的方法與步驟結(jié)構(gòu)，反復(fù)類比，從而加強了與已有知識的聯(lián)系，又找出了與舊知識的不同之處。這一階段的學(xué)習(xí)以加速的方式進(jìn)行。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動應(yīng)該是學(xué)生主動探索、合作交流的過程。經(jīng)過主動探索，才能有發(fā)現(xiàn)、有生成、有創(chuàng)新；體驗合作交流，才能集思廣益，有所提高。因此“長程兩段”的教學(xué)有利于學(xué)生形成認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化，有利于學(xué)生形成綜合的思維方式，有利于學(xué)生形成主動發(fā)展的人生態(tài)度。參考文獻(xiàn)《圓錐曲線與方程》復(fù)習(xí)學(xué)案、知識歸納:、知識歸納:定義平面內(nèi)到兩定點F,F的距離的和為1 2常數(shù)(大于［FF2|)的動點的軌跡叫橢圓.即MF+|MF2|=2a當(dāng)2a>2c時，軌跡 當(dāng)2a=2c時，軌跡 當(dāng)2a<2c時，軌跡 平面內(nèi)到兩定點F,F的距離的差的絕對值1 2為常數(shù)(小于1勺F2)的動點的軌跡叫雙曲線.即||叫一|欣，2琮當(dāng)2a<2c時，軌跡 當(dāng)2a=2c時，軌跡 當(dāng)2a>2c時，軌跡 標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在X軸上時： 焦點在V軸上時： 注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標(biāo)軸上焦點在x軸上時： 焦點在y軸上時： 常數(shù)a,b,c的關(guān)系a2=c2+b2,a>b>0,a最大，c=b,c<b,c>bc2=a2+b2,c>a>0c最大，a=b,a<b,a>b漸近線焦點在x軸上時： 焦點在y軸上時： ..一....一,.一、一X2V2橢圓的性質(zhì)：橢圓方程一+—=1(。>b>0)a2b2(1)范圍： ，橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中。(2)對稱性1(3)頂點：AA叫橢圓的長軸，長為2a，BB叫橢圓的短軸，長為2b。12 12c b~~~b~(4)離心率：橢圓焦距與長軸長之比。e=—ne=..:1-(-)2o(0<e<1)e可以刻畫橢圓的扁平a a程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.(5)點P是橢圓上任一點，(5)點P是橢圓上任一點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|PF| =maxPFmin//F1PF2取最大值.(6)點P是橢圓上任一點，當(dāng)點P在短軸端點位置時，2、直線與橢圓位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系公共點判定方法相交有兩個公共點直線與橢圓方程首先應(yīng)消去一個未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式A相切有且只有一個公共點相離無公共點（2）弦長公式：設(shè)直線y=kx+b交橢圓于P（x,y）,P（x,y）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2則IPPI= ，或IPPI= （k豐0）12 123、雙曲線的幾何性質(zhì)：（1）頂點頂點： ，特殊點：實軸：??長為2a，a叫做實半軸長。虛軸：BB長為2b，b叫做虛半軸長。12 12雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。（2）漸近線X2y2雙曲線——j=1的漸近線 a2b2（3）離心率 ..__ 2cc _ 、雙曲線的焦距與實軸長的比e=丁=—，叫做雙曲線的離心率.范圍：e>12aa（4）等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 _等軸雙曲線的性質(zhì)：a、漸近線方程為：y=±x；b、漸近線互相垂直；。、離心率e=<2。4.拋物線：拋物線的幾何性質(zhì)（1）頂點：拋物線y2=2px（p〉0）的頂點就是坐標(biāo)原點。（2）離心率：拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e=1。（3）P的幾何意義：P表示焦點到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）.(4)若點M(x,y)是拋物線y2=2px(p〉0)上任意一點，則|MF|=x+—0 0 0 2(5)若過焦點的直線交拋物線w=2px(p>0)于A(x1,y).B(x2,y2)兩點，則弦|AB\=x1+x2+p二．重點題型.圓錐曲線的定義：(1)已知定點F(-3,0),F(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是()1 2A. pFj+ |PF2| =4 B. pFj+pF2|=6C. |PFj+ p^F^2| =10 D. |PFJ2+|PF2|2=12(2)方程(xx-6)2+y2-J(x+6)2+y2=8表示的曲線是 (標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點)在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程)：(1)已知方程一J+上=1表示橢圓，則k的取值范圍為一3+k2-k(2)若x,yeR，且3x2+2y2=6，則x+y的最大值是—，x2+y2的最小值是(3)雙曲線的離心率等于三5，且與橢圓x2+竺=1有公共焦點，則該雙曲線的方程 TOC\o"1-5"\h\z2 94(4)設(shè)中心在坐標(biāo)原點。，焦點F、F在坐標(biāo)軸上，離心率e=￡2的雙曲線C過點P(4,-i10)，則1 2C的方程為3.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)若橢圓x2+y2=1的離心率e=配0，則m的值是 5m 5(2)以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為(3)雙曲線的漸近線方程是3x土2y=0,則該雙曲線的離心率等于4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是 x2y2(2)直線y—kx—1=0與橢圓二十二二1恒有公共點，則m的取值范圍是 5mx2y2(3)過雙曲線1-《-=1的右焦點直線交雙曲線于A,B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線有一條JL 乙5、焦半徑(1)已知拋物線方程為y2=8x，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于 ；(2)若該拋物線上的點M到焦點的距離是4,則點M的坐標(biāo)為(3)拋物線y2=2x上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為6、焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形)問題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。(1)短軸長為、：5,離心率e=2的橢圓的兩焦點為F、F，過F作直線交橢圓于A、B兩點，則AABFTOC\o"1-5"\h\z3 1 2 1 2的周長為 ___⑵設(shè)P是等軸雙曲線x2-y2=a2(a>0)右支上一點，F(xiàn)「F2是左右焦點，若PJFF=0,IPFJ=6,則該雙曲線的方程為 2127、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)、弦長公式：(1)過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1),B(x2,y2)兩點，若\+乂2=6,那么IABI等于 (2)過拋物線y2=2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知入81=10,O為坐標(biāo)原點，則AABC重心的橫坐標(biāo)為 8、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。

X2V2(1)如果橢圓歹十二二1弦被點A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 TOC\o"1-5"\h\z36 9(2)試確定m的取值范圍，使得橢圓二十=二1上有