圓錐曲線(單元)教學(xué)設(shè)計(jì)

圓錐曲線（單元）教學(xué)設(shè)計(jì) “長(zhǎng)程兩段”的教學(xué)策略與思想嶗山二中董雪君一、教材的地位和知識(shí)結(jié)構(gòu)：本單元是在學(xué)生學(xué)習(xí)完必修教材的直線與圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，分為橢圓、雙曲線、拋物線三部分。而橢圓又是學(xué)生遇到的第一種圓錐曲線，能否學(xué)好橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，是學(xué)生能否比較系統(tǒng)地學(xué)好另外兩種圓錐曲線的基礎(chǔ)，甚至是學(xué)生能否學(xué)好解析幾何的關(guān)鍵。而橢圓在教材中具有“承上啟下”的作用，前面是二次曲線中最特殊的圓，后面是雙曲線、拋物線。圓f橢圓f雙曲線f拋物線的定義、方程、性質(zhì)知識(shí)鏈背后貫穿著一條暗線：點(diǎn)與距離和建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求方程問(wèn)題即坐標(biāo)法。在圓錐曲線的教學(xué)中始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想。因此改變?cè)瓉?lái)的課時(shí)“勻速運(yùn)動(dòng)”的教學(xué)方式，在整個(gè)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)、特有的育人價(jià)值思考的基礎(chǔ)上，把橢圓的教學(xué)作為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段；雙曲線、拋物線的教學(xué)作為“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段。即采取“長(zhǎng)程兩段”的教學(xué)策略。二、“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段知識(shí)目標(biāo)：掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力、歸納抽象能力以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想為重點(diǎn)的教學(xué)思想.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓定義的形成、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；理解坐標(biāo)法的基本思想。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓定義的語(yǔ)言表述、符號(hào)表示、標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)。教學(xué)方法：“三放三收”的設(shè)計(jì)方案。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題、啟發(fā)引導(dǎo)、探究活動(dòng)、歸納總結(jié).橢圓定義與方程的教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)用繩子、圖釘在本子上怎樣畫(huà)出一個(gè)圓？復(fù)習(xí)圓的定義，運(yùn)用學(xué)生的“基礎(chǔ)性資源”為下一步學(xué)習(xí)新知識(shí)作引子。學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圓。有固定繩子一端的;有繩子兩端點(diǎn)重合固定在圖釘上，再把圖釘固定在本子上。（不能用圓規(guī)）將繩子兩端點(diǎn)分開(kāi)把問(wèn)題放下去面向全體學(xué)生開(kāi)放（教學(xué)生動(dòng)手操作，大多數(shù)同學(xué)畫(huà)

固定在圖釘上，然后把圖釘固定在本子上，用筆構(gòu)住繩子運(yùn)動(dòng)，能畫(huà)出什么曲線？學(xué)的重心下移）打破學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)探究問(wèn)題的結(jié)果，引發(fā)學(xué)習(xí)興趣。出的是橢圓，有的畫(huà)出的橢圓圓，有的畫(huà)出的橢圓扁。個(gè)別同學(xué)畫(huà)出的是線段，還有的畫(huà)出的曲線不能在一個(gè)平面上，到了空間無(wú)法展示。為下一步師生的“交互反饋”提供資源準(zhǔn)備在運(yùn)動(dòng)中同學(xué)們畫(huà)出的曲線形狀、大小不同，小組討論這些曲線上的點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件是什么？“生生互動(dòng)”“師生互動(dòng)”，整理試驗(yàn)結(jié)果，互動(dòng)生成。歸納出橢圓的定義。激發(fā)學(xué)生形成深層次思考的意識(shí)與習(xí)慣。根據(jù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生抓住作圖的關(guān)鍵（點(diǎn)與距離），鼓勵(lì)用自己的語(yǔ)言概括定義。（教師把信息收上來(lái)生生、師生之間圍繞由圖到定義的交流和討論）橢圓定義中的關(guān)鍵詞是什么？缺一個(gè)約束條件會(huì)變成什么曲線？符號(hào)語(yǔ)言怎樣表達(dá)？從本質(zhì)上理解橢圓概念的內(nèi)涵。通過(guò)多維互動(dòng)及交互的回應(yīng)反饋生成新問(wèn)題的“生長(zhǎng)元”。通過(guò)獨(dú)特的符合語(yǔ)言表達(dá)的實(shí)踐，學(xué)會(huì)抽象的思考和形成準(zhǔn)確、嚴(yán)禁的表達(dá)能力。關(guān)鍵詞：在平面內(nèi)，距離之和為常數(shù)，常數(shù)大于兩定點(diǎn)的距離。根據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)的“點(diǎn)與距離”，“點(diǎn)與斜率”同學(xué)們還能提出什么問(wèn)題？再一次把問(wèn)題放下去，向?qū)W生開(kāi)放，讓學(xué)生進(jìn)行橫向知識(shí)的聯(lián)想，發(fā)展和提升學(xué)生的發(fā)散思維水平。在生成的教學(xué)環(huán)境中實(shí)現(xiàn)師生真實(shí)的生命成長(zhǎng)。對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的疑問(wèn)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？可作為課后探究為后面學(xué)習(xí)雙曲線做準(zhǔn)備。平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？可讓學(xué)生求方程研究。學(xué)生思考或小組討論交流提出的問(wèn)題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差（或之積或之商）為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？同樣平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？學(xué)生提出了問(wèn)題，但回答不出曲線的形狀。從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。（第二次“收”）怎樣根據(jù)曲線求方體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)法的思想。同時(shí)學(xué)生可先依據(jù)圓的方程猜想，程？又怎樣根據(jù)方程知表示什么曲線？橢圓的方程是什么形式？怎樣建立坐標(biāo)系？體會(huì)建立“適當(dāng)”平面直角坐標(biāo)系的意義。（方程化簡(jiǎn)是難點(diǎn)）進(jìn)一步體會(huì)建立坐標(biāo)系不同所求方程不同。由此總結(jié)怎樣建立坐標(biāo)系叫“適當(dāng)”。然后建立坐標(biāo)系求方程。通過(guò)“師生”交流，可請(qǐng)學(xué)生板演化簡(jiǎn)方程。用投影儀展示不同不同坐標(biāo)系下學(xué)生所求方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式及應(yīng)用。師生小結(jié)：橢圓是怎樣的點(diǎn)的軌跡？符合語(yǔ)言怎樣表達(dá)？標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣？怎樣建系化簡(jiǎn)的？橢圓的幾何性質(zhì)可采取數(shù)形結(jié)合方法學(xué)習(xí)。重點(diǎn)是讓學(xué)生改變線段的長(zhǎng)度，多畫(huà)幾個(gè)橢圓，這樣學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)影響橢圓扁圓程度因素，對(duì)“橢圓性質(zhì)”的學(xué)習(xí)起重要作用。整個(gè)橢圓教學(xué)階段速度放慢，用圓錐曲線一半的教學(xué)課時(shí)，讓學(xué)生從橢圓定義的形成”標(biāo)準(zhǔn)方程的建立“幾何性質(zhì)的問(wèn)題出發(fā)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)知識(shí)，充分地感悟和體驗(yàn)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)存在，逐漸形成學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)。二、“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段學(xué)習(xí)雙曲線的定義時(shí)與橢圓定義類(lèi)比。學(xué)生準(zhǔn)備一條拉鏈，拉開(kāi)一部分，在拉開(kāi)的兩邊各取一點(diǎn)分別固定畫(huà)出圖形。然后歸納出文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言。在學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后學(xué)習(xí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不會(huì)感到困難。采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)形式。重點(diǎn)放在雙曲線性質(zhì)中漸進(jìn)線和離心率的學(xué)習(xí)。通過(guò)學(xué)生主動(dòng)探究，借用研究橢圓的方法和思想使學(xué)生形成自覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)動(dòng)力。感悟滲透數(shù)學(xué)方法與思想，建立判斷與選擇的自覺(jué)意識(shí)，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。拋物線的學(xué)習(xí)可與現(xiàn)實(shí)生活溝通將再次體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為自身的邏輯推理發(fā)展和思維品質(zhì)提升的力量。運(yùn)用學(xué)習(xí)橢圓部分的方法與步驟結(jié)構(gòu)，反復(fù)類(lèi)比，從而加強(qiáng)了與已有知識(shí)的聯(lián)系，又找出了與舊知識(shí)的不同之處。這一階段的學(xué)習(xí)以加速的方式進(jìn)行。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)應(yīng)該是學(xué)生主動(dòng)探索、合作交流的過(guò)程。經(jīng)過(guò)主動(dòng)探索，才能有發(fā)現(xiàn)、有生成、有創(chuàng)新；體驗(yàn)合作交流，才能集思廣益，有所提高。因此“長(zhǎng)程兩段”的教學(xué)有利于學(xué)生形成認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化，有利于學(xué)生形成綜合的思維方式，有利于學(xué)生形成主動(dòng)發(fā)展的人生態(tài)度。參考文獻(xiàn)《圓錐曲線與方程》復(fù)習(xí)學(xué)案、知識(shí)歸納:、知識(shí)歸納:定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F,F的距離的和為1 2常數(shù)(大于［FF2|)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.即MF+|MF2|=2a當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡 當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡 當(dāng)2a<2c時(shí)，軌跡 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F,F的距離的差的絕對(duì)值1 2為常數(shù)(小于1勺F2)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即||叫一|欣，2琮當(dāng)2a<2c時(shí)，軌跡 當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡 當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡 標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在X軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在V軸上時(shí)： 注：根據(jù)分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在x軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在y軸上時(shí)： 常數(shù)a,b,c的關(guān)系a2=c2+b2,a>b>0,a最大，c=b,c<b,c>bc2=a2+b2,c>a>0c最大，a=b,a<b,a>b漸近線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在y軸上時(shí)： ..一....一,.一、一X2V2橢圓的性質(zhì)：橢圓方程一+—=1(。>b>0)a2b2(1)范圍： ，橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中。(2)對(duì)稱(chēng)性1(3)頂點(diǎn)：AA叫橢圓的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為2a，BB叫橢圓的短軸，長(zhǎng)為2b。12 12c b~~~b~(4)離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比。e=—ne=..:1-(-)2o(0<e<1)e可以刻畫(huà)橢圓的扁平a a程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.(5)點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，(5)點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|PF| =maxPFmin//F1PF2取最大值.(6)點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)位置時(shí)，2、直線與橢圓位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系公共點(diǎn)判定方法相交有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與橢圓方程首先應(yīng)消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式A相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相離無(wú)公共點(diǎn)（2）弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線y=kx+b交橢圓于P（x,y）,P（x,y）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2則IPPI= ，或IPPI= （k豐0）12 123、雙曲線的幾何性質(zhì)：（1）頂點(diǎn)頂點(diǎn)： ，特殊點(diǎn)：實(shí)軸：??長(zhǎng)為2a，a叫做實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：BB長(zhǎng)為2b，b叫做虛半軸長(zhǎng)。12 12雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。（2）漸近線X2y2雙曲線——j=1的漸近線 a2b2（3）離心率 ..__ 2cc _ 、雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=丁=—，叫做雙曲線的離心率.范圍：e>12aa（4）等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。 _等軸雙曲線的性質(zhì)：a、漸近線方程為：y=±x；b、漸近線互相垂直；。、離心率e=<2。4.拋物線：拋物線的幾何性質(zhì)（1）頂點(diǎn)：拋物線y2=2px（p〉0）的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。（2）離心率：拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e=1。（3）P的幾何意義：P表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦）.(4)若點(diǎn)M(x,y)是拋物線y2=2px(p〉0)上任意一點(diǎn)，則|MF|=x+—0 0 0 2(5)若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線w=2px(p>0)于A(x1,y).B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦|AB\=x1+x2+p二．重點(diǎn)題型.圓錐曲線的定義：(1)已知定點(diǎn)F(-3,0),F(3,0)，在滿(mǎn)足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是()1 2A. pFj+ |PF2| =4 B. pFj+pF2|=6C. |PFj+ p^F^2| =10 D. |PFJ2+|PF2|2=12(2)方程(xx-6)2+y2-J(x+6)2+y2=8表示的曲線是 (標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程)：(1)已知方程一J+上=1表示橢圓，則k的取值范圍為一3+k2-k(2)若x,yeR，且3x2+2y2=6，則x+y的最大值是—，x2+y2的最小值是(3)雙曲線的離心率等于三5，且與橢圓x2+竺=1有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程 TOC\o"1-5"\h\z2 94(4)設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)F、F在坐標(biāo)軸上，離心率e=￡2的雙曲線C過(guò)點(diǎn)P(4,-i10)，則1 2C的方程為3.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)若橢圓x2+y2=1的離心率e=配0，則m的值是 5m 5(2)以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為(3)雙曲線的漸近線方程是3x土2y=0,則該雙曲線的離心率等于4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是 x2y2(2)直線y—kx—1=0與橢圓二十二二1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是 5mx2y2(3)過(guò)雙曲線1-《-=1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=4,則這樣的直線有一條JL 乙5、焦半徑(1)已知拋物線方程為y2=8x，若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于 ；(2)若該拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3)拋物線y2=2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為6、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問(wèn)題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。(1)短軸長(zhǎng)為、：5,離心率e=2的橢圓的兩焦點(diǎn)為F、F，過(guò)F作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則AABFTOC\o"1-5"\h\z3 1 2 1 2的周長(zhǎng)為 ___⑵設(shè)P是等軸雙曲線x2-y2=a2(a>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)「F2是左右焦點(diǎn)，若PJFF=0,IPFJ=6,則該雙曲線的方程為 2127、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式：(1)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，若\+乂2=6,那么IABI等于 (2)過(guò)拋物線y2=2x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知入81=10,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AABC重心的橫坐標(biāo)為 8、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。

X2V2(1)如果橢圓歹十二二1弦被點(diǎn)A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 TOC\o"1-5"\h\z36 9(2)試確定m的取值范圍，使得橢圓二十=二1上有