高中數(shù)學(xué)必修二-圓的方程典型例題

高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．解法一：（待定系數(shù)法）解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）例2求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．說明：圓相切有內(nèi)切、外切兩種．例3求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．例4、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程．類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線．說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解．本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．例6兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧．例7、過圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求直線的方程。練習(xí)：1．求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程．2、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為3、已知直線與圓相切，則的值為.類型三：弦長(zhǎng)、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).例9、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為例10、求兩圓和的公共弦長(zhǎng)類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例13、圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．練習(xí)1：直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是.3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（）．（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)PEOyx4、過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示．PEOyx類型五：圓與圓的位置關(guān)系例14、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有條。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.類型六：圓中的對(duì)稱問題例16、圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是GOBNMyAx圖3CA’例17、GOBNMyAx圖3CA’（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．類型七：圓中的最值問題例18、圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是例20：已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.練習(xí)：1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.2、已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.例22、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.例23、如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難．由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．例24、已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程．練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.2、已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于4、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問點(diǎn)的軌跡是什么？例5、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．例26、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例27有一種大型商品，、兩地都有出售，且價(jià)格相同．某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位