浙江省杭州四中吳山2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

杭州四中（吳山）2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試題卷命題人：張健審核人：余云娟2024年1月考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷，滿分150分，考試時間120分鐘．2、答題前，在答題卷上填寫班級、姓名、考場號、座位號，并填涂卡號．3、所有答案必須寫在答題卷上，寫在試題卷上無效．4、考試結(jié)束，只上交答題卷．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若集合，，，則集合（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集、并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，則.故選：C2.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，可得，所以由推不出，即充分性不成立，由推得出，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A3.若，，，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，即，在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A5.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上減函數(shù)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D6.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再由特殊值判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B、D；因?yàn)椋?，故排除A.故選：C7.已知函數(shù)有一條對稱軸為，當(dāng)取最小值時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件函數(shù)的一條對稱軸為，求得的值，解得，利用換元法令，畫出函數(shù)，的函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由正弦函數(shù)的對稱軸可知：，，又因?yàn)?，所以的最小值為，?，則，令，則有，，函數(shù)圖像如圖所示：由于x的方程在區(qū)間上恰有兩個不相等的實(shí)根，根據(jù)的圖像有實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D8.若正實(shí)數(shù)、滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，且恒成立，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求、全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若，給出下列命題中，錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對于A：因?yàn)?，，所以，故A正確；對于B：因?yàn)?，，則，所以，故B錯誤；對于C：若，，，，滿足，，但是，故C錯誤；對于D：因?yàn)椋?，所以，故D正確，故選：BC10.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角恒等變換的公式，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，由，所以C不正確；對于D中，由，所以D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】【分析】先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，再去代入驗(yàn)證對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間，即可判斷.詳解】由圖象可知，，即，所以，又，可得，又因?yàn)椋?，所以，故A正確；當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯誤；當(dāng)時，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)遞減，故D錯誤．故選：AB12.養(yǎng)正高中某同學(xué)研究函數(shù)，得到如下結(jié)論，其中正確的是（）A.函數(shù)定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)B.對于任意的，都有C.對于任意的，都有D.對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù)，總滿足【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)大于0求定義域，利用奇偶性定義判斷奇偶性可判斷A，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡即可判斷BC，取特殊值判斷D.【詳解】由，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是奇函數(shù)，故A正確；任意的，，故B正確；因?yàn)?，，所以，故C正確；取，則，，故D錯誤.故選：ABC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.扇形的半徑為2，圓心角為，則此扇形的面積為_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由扇形的面積公式有：考點(diǎn)：扇形的面積公式【名師點(diǎn)睛】1．利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．2．本題把求扇形面積最大值的問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，這是解決此類問題的常用方法．3．在解決弧長問題和扇形面積問題時，要注意合理地利用圓心角所在的三角形．14.函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為____________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理定理得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)楹途鶈握{(diào)遞增，所以也單調(diào)遞增，又注意到，所以由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)的零點(diǎn)，所以，.故答案為：.15.已知是第二象限角，且，則____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化簡即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，所以，，所?故答案為：16.已知，若方程有四個根，且，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，將方程根的問題，轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，進(jìn)而得出與，與的關(guān)系，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠逃兴膫€根，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，如圖所示，當(dāng)時，，且，故，當(dāng)時，，且，所以，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點(diǎn)，由圖可得，，故，所以，令，，在單調(diào)遞增，所以，，故的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】17.18.0【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求解.小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.已知集合，.（1）當(dāng)時，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩個集合的交集的定義求出.（2）根據(jù)，分時和時兩種情況，分別求得的范圍，再取并集，即得所求.【小問1詳解】當(dāng)時，集合，，故.【小問2詳解】，則，當(dāng)時，，即，滿足，故；當(dāng)時，，即時，則，解得，于是得，綜上所述：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.某工廠要設(shè)計(jì)一個零部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，該零部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為（單位：），該零部件的面積是．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；（2）設(shè)用到的圓形鐵片的面積為（單位：），求的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）用表示陰影部分面積，由此可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，結(jié)合已知求定義域；（2）用表示圓的半徑的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圓的面積最小值.【小問1詳解】依題意可得零件的面積，故，由，即，解得．故，.【小問2詳解】如圖所示：作交于，交于，連接．故，又，設(shè)圓的半徑為，故，當(dāng)，即時等號成立．故當(dāng)時，面積最小值，即的最小值為．20.已知函數(shù)．（1）若過定點(diǎn)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若值域?yàn)?，求a的取值范圍．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到，令，求得函數(shù)的定義域?yàn)?，利用二次函?shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定法，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)過定點(diǎn)，可得，可得，解得，所以，令，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由函數(shù)的值域?yàn)椋礊楹瘮?shù)值域的子集，即，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)的值域?yàn)椋项}意；當(dāng)時，則滿足，解得，所以；當(dāng)時，此時的開口向下，顯然不滿足題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)題意，得到為函數(shù)的最值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】解：將函數(shù)的圖形向左平移個單位長度，得到，再將得到的函數(shù)圖象向上平移1個單位長度，可得，由實(shí)數(shù)滿足，則為函數(shù)的最值，不妨設(shè)，則，解得，則，當(dāng)或時，此時.22.設(shè)，函數(shù)．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上的值域是（），求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)利用求解即可；（2）分討論，分別求出函數(shù)的定義域，單調(diào)性，時利用單調(diào)遞增建立方程，根據(jù)方程根的分布列出不等式即可求出的范圍，當(dāng)時，可分析所在區(qū)間，據(jù)此得出關(guān)于的等式，化簡可得解.【小問1詳解】由函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)所以，即，化簡可得，解得，當(dāng)時，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意；當(dāng)時，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意.所以函數(shù)為奇函數(shù)時，或.【小問2詳解】，，，故，而，，當(dāng)時