分段函數(shù)知識點(diǎn)及常見題型總結(jié)

第7頁分段函數(shù)知識點(diǎn)及常見題型總結(jié)資料編號:20190726一、分段函數(shù)的定義有些函數(shù)在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).關(guān)于分段函數(shù):（1）分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集.注意各段函數(shù)定義域的交集為空集;（2）分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集;（3）分段函數(shù)包括幾段,它的圖象就有幾條曲線組成.采用“分段作圖”法畫分段函數(shù)的圖象:在同一平面直角坐標(biāo)系中,依次畫出各段函數(shù)的圖象,這些函數(shù)的圖象組合在一起就是分段函數(shù)的圖象;（4）分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù);（5）分段函數(shù)在書寫時要用大括號把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式,并在各段解析式的后面標(biāo)明相應(yīng)的自變量的取值范圍;（6）處理分段函數(shù)問題時,首先要確定自變量的取值在哪一段函數(shù)的區(qū)間內(nèi),再選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.二、幾種常見的分段函數(shù)1.取整函數(shù)（表示不大于的最大整數(shù)）.其圖象如圖（1）所示.2.絕對值函數(shù)含有絕對值符號的函數(shù).如函數(shù),其圖象如圖（2）所示,為一條折線.解決絕對值函數(shù)的問題時,先把絕對值函數(shù)化為對應(yīng)的分段函數(shù),然后分段解決.3.自定義函數(shù)如函數(shù)為自定義的分段函數(shù),其圖象如圖（3）所示.4.符號函數(shù)符號函數(shù),其圖象如圖（4）所示.符號函數(shù)的性質(zhì):.說明:函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線或離散的點(diǎn).三.分段函數(shù)的常見題型1.求分段函數(shù)的函數(shù)值.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法是:先確定自變量的值屬于哪一個區(qū)間段,然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)的形式時,應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.例1.已知函數(shù),則的值為【】（A）（B）2（C）4（D）11解:∵,∴,∴∵,∴,∴.【C】.習(xí)題1.已知函數(shù),則【】（A）0（B）（C）（D）12.已知分段函數(shù)的函數(shù)值,求自變量的值.方法是:先假設(shè)函數(shù)值在分段函數(shù)的各段上取得,解關(guān)于自變量的方程,求出各段上自變量的值.注意:所求出的自變量的值應(yīng)在相應(yīng)的各段函數(shù)定義域內(nèi),不在的應(yīng)舍去.例2.已知函數(shù),若,則_________.解:當(dāng)時,,解之得:,不符合題意,舍去;當(dāng)時,,解之得:,其中,舍去,∴綜上,.習(xí)題2.已知函數(shù),若,則的值是【】（A）（B）2或（C）2或（D）2或或習(xí)題3.已知,若,則實(shí)數(shù)的值等于_________.3.求分段函數(shù)自變量的取值范圍在分段函數(shù)的前提下,求某條件下自變量的取值范圍的方法是:先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)的各段上,然后求出在相應(yīng)各段定義域上自變量的取值范圍,再求它們的并集即可.例3.已知函數(shù),求使成立的的取值范圍.解:由題意可得:或解不等式組得:1≤;解不等式在得:或∴使成立的的取值范圍為.習(xí)題4.已知,則不等式≤2的解集為【】（A）（B）（C）（D）習(xí)題5.設(shè)函數(shù),則不等式的解集是____________.習(xí)題6.函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.例4.已知,函數(shù),若,則的值為_________.解:當(dāng),即時,∴,∵∴,解之得:,不符合題意,舍去;當(dāng),即時,,∵∴,解之得:,符合題意.綜上,的值為.習(xí)題7.設(shè),若,則_________.習(xí)題8.設(shè)函數(shù),,則當(dāng)時,【】（A）（B）（C）（D）習(xí)題9.設(shè)函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為【】（A）（B）（C）或（D）或4.求分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集.例5.函數(shù)的定義域是_________.解:由各段函數(shù)的定義域可知該分段函數(shù)的定義域?yàn)?5.求分段函數(shù)的值域分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集.對于某些簡單的分段函數(shù),可畫出其圖象,由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)求值域（圖象法）.例6.設(shè)R,求函數(shù)的值域.解:當(dāng)≥1時,;當(dāng)0≤時,;當(dāng)時,.綜上所述,其圖象如圖（5）所示,由圖象可知其值域?yàn)?另解:由上面可知:當(dāng)≥1時,函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)0≤時,函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)時,函數(shù)的值域?yàn)?∴函數(shù)的值域?yàn)?例7.若R,函數(shù)是這兩個函數(shù)值中的較小者,則函數(shù)的最大值為【】（A）2（B）1（C）（D）無最大值解:解不等式≥得:≤≤1∴當(dāng)≤≤1時,,其值域?yàn)?解不等式得:或∴當(dāng)或時,,其值域?yàn)榫C上所述,函數(shù)的值域?yàn)椤嗪瘮?shù)在其值域內(nèi)的最大值為1.函數(shù)的圖象如圖（6）所示.習(xí)題10.若函數(shù),則函數(shù)的值域是【】（A）（B）（C）（D）習(xí)題11.函數(shù)的值域是【】（A）R（B）（C