高中數(shù)學(xué)選修一1.4.2-用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

1/21.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一用空間向量求空間的距離問(wèn)題1.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分別是面A1B1C1D1,面BCC1B1的中心,則E,F兩點(diǎn)間的距離為()A.1 B. C. D.2.已知平面α的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到α的距離為()A.10 B.3 C. D.3.(2020山東濟(jì)南第二中學(xué)高二上月考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中點(diǎn),M是棱CC1上的點(diǎn),且CC1=3CM,則直線BM與B1N之間的距離為.

4.(2020河北唐山第二中學(xué)高二上期中)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=λ(0<λ<2),則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.深度解析

5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求證:M為PB的中點(diǎn);(2)求點(diǎn)C到平面BDP的距離d.題組二用空間向量求空間角的問(wèn)題6.(2020廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上期中)設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,若平面α,β的法向量分別為n1,n2,則cosθ=()A. B.C. D.7.(2020山西大學(xué)附屬中學(xué)高二階段測(cè)試)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1B1的中點(diǎn),則異面直線AM與B1C所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD的夾角的余弦值為()A. B. C. D.9.在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,-1,3)和(2,2,4),則這個(gè)二面角的余弦值為.

10.已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC所成角的正切值為.

11.如圖,在長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD中,AB=,BC=1,AA1=2,E為A1D的中點(diǎn).(1)求直線EC1與A1B所成角的余弦值;(2)若F為BC的中點(diǎn),求直線EC1與平面FA1D1所成角的正弦值.能力提升練題組一用空間向量求空間距離1.(2019山東師范大學(xué)附屬中學(xué)期中,)在空間直角坐標(biāo)系中,定義:平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時(shí)為零),點(diǎn)P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=,則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐P-ABCD中,底面中心O到側(cè)面PAB的距離d等于()A. B.C.2 D.52.(2020山東威海高二期中,)如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E,F為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF的長(zhǎng)為定值,則點(diǎn)Q到平面PEF的距離()A.等于a B.和EF的長(zhǎng)度有關(guān)C.等于a D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)3.(多選)()已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、O分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn),P在正方體內(nèi)部且滿足=++,則下列說(shuō)法正確的是(深度解析)A.點(diǎn)A到直線BE的距離是B.點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為D.點(diǎn)P到直線AB的距離為4.()如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持B1P∥平面A1BD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度是.

5.(2019廣東廣州二中高二期中,)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M、N、P分別在棱AB、BC、CC1上,且AM=1,BN=2,CP=3.過(guò)M、N、P三點(diǎn)的平面交AC1于點(diǎn)Q,則A、Q兩點(diǎn)間的距離為.

6.()如圖,已知四邊形ABCD為矩形,四邊形ABEF為直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.(1)求證:BE⊥DE;(2)求點(diǎn)F到平面CBE的距離.題組二用空間向量求空間角7.()正四棱錐S-ABCD中,SA=AB=2,則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()A. B. C. D.8.()在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值是()A. B. C. D.9.(2020河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)已知菱形ABCD中,∠ABC=60°,沿對(duì)角線AC折疊之后,使得平面BAC⊥平面DAC,則二面角B-CD-A的余弦值為()A.2 B. C. D.10.(2019黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考,)如圖1,四邊形ABCD與四邊形ADEF分別為正方形和等腰梯形,AD∥EF,AF=,AD=4,EF=2,沿AD邊將四邊形ADEF折起,使得平面ADEF⊥平面ABCD,如圖2,動(dòng)點(diǎn)M在線段EF上,N,G分別是AB,BC的中點(diǎn),設(shè)異面直線MN與AG所成的角為α,則cosα的最大值為()A. B. C. D.11.(多選)(2020河北保定高二上期末,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=4,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等腰直角三角形,且∠PAD=,O為底面ABCD的中心,E為PD的中點(diǎn),F在棱PA上,若=λ,λ∈[0,1],則下列說(shuō)法正確的有()A.異面直線PO與AD所成角的余弦值為B.異面直線PO與AD所成角的余弦值為C.若平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為,則λ=D.若平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為,則λ=12.(2020江西高安中學(xué)高二上期中,)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=2BC=2,D為AA1上一點(diǎn).若二面角B1-DC-C1的大小為30°,則AD的長(zhǎng)為.

題組三用空間向量解決探索性問(wèn)題13.(2020浙江溫州中學(xué)高二上階段測(cè)試,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=4.(1)求證:AB⊥PC;(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M(不與P,D重合),使得平面MAC與平面ACD夾角的大小為45°?若存在,求BM與平面MAC所成角的正弦值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.14.(2020湖北華中師大一附中高三期中,)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形且與底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M為棱PC上的動(dòng)點(diǎn),且=λ(λ∈[0,1]).(1)求證:△PBC為直角三角形;(2)試確定λ的值,使得平面PAD與平面ADM夾角的余弦值為.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.C以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E(1,1,),F,所以||==,故選C.2.D由已知得=(1,2,-4),故點(diǎn)P到平面α的距離為==.故選D.3.答案解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),B1(1,1,1),M,N,∴=(0,0,1),=,=.設(shè)直線BM與B1N的公垂線方向上的向量n=(x,y,z),由n·=0,n·=0,得令x=2,則z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).設(shè)直線BM與B1N之間的距離為d,則d===.4.答案解析由題意得A1B1∥EF,A1B1?平面D1EF,EF?平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,則點(diǎn)G到平面D1EF的距離等于點(diǎn)A1到平面D1EF的距離.以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),A1(2,0,2),所以=(2,0,-1),=(2,2,-1),=(0,0,-1).設(shè)平面D1EF的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=0,z=2,所以平面D1EF的一個(gè)法向量n=(1,0,2).點(diǎn)A1到平面D1EF的距離為==,即點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.解題反思當(dāng)直線l與一個(gè)平面α平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到該平面的距離都相等,本題利用A1B1∥平面D1EF,將點(diǎn)G到平面D1EF的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離,在計(jì)算過(guò)程中擺脫了對(duì)參數(shù)λ的依賴,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.5.解析(1)證明:如圖,設(shè)AC∩BD=O,∵四邊形ABCD為正方形,∴O為BD的中點(diǎn).連接OM.∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM,∴PD∥OM,∴=,即M為PB的中點(diǎn).(2)取AD的中點(diǎn)G,∵PA=PD,∴PG⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,連接OG,則PG⊥OG,由G是AD的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),可得OG∥DC,則OG⊥AD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GD、GO、GP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),P(0,0,),C(2,4,0),B(-2,4,0),M,則=(-2,0,),=(-4,4,0).設(shè)平面BDP的法向量為m=(x,y,z),則由得取z=,得m=(1,1,).又=,則點(diǎn)C到平面BDP的距離d==2.6.B由兩個(gè)平面的夾角概念知,cosθ==,故選B.7.A以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1),∴||=,∵M(jìn)為A1B1的中點(diǎn),∴M.∴=,∴||=,∴異面直線AM與B1C所成角的余弦值為|cos<,>|==.故選A.8.B以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),∴=(0,1,-1),=.設(shè)平面A1ED的法向量為n1=(x,y,z),則有即令x=1,得∴n1=(1,2,2).易得平面ABCD的一個(gè)法向量n2==(0,0,1),∴|cos<n1,n2>|==,即平面A1ED與平面ABCD的夾角的余弦值為.9.答案±解析由==,知這個(gè)二面角的余弦值為±.10.答案解析如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1,由已知條件得D(0,0,0),A(1,0,0),E,F,D1(0,0,1),則=,=,=(0,0,-1).設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),平面AEF與平面ABC所成角為θ,由得令y=1,則z=-3,x=-1,所以n=(-1,1,-3),易得平面ABC的一個(gè)法向量m==(0,0,-1),則cosθ=|cos<n,m>|=,又θ∈[0,π],所以sinθ=,所以tanθ=.11.解析(1)以A1為原點(diǎn),A1B1,A1D1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可得E,C1(,1,0),B(,0,2),A1(0,0,0),則=,=(,0,2).設(shè)直線EC1與A1B的夾角為α,則cosα=|cos<,>|==.(2)易得F,=(0,1,0),=,設(shè)平面FA1D1的法向量為n=(x,y,z),則令x=-2,得z=,所以平面FA1D1的一個(gè)法向量為n=(-2,0,),設(shè)直線EC1與平面FA1D1所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,>|==.能力提升練1.B以底面中心O為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖.則O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),設(shè)平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0,將A,B,P3點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算得A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化為-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d==.2.A取B1C1的中點(diǎn)G,連接PG,CG,DP,則PG∥CD,所以點(diǎn)Q到平面PEF的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,與EF的長(zhǎng)度無(wú)關(guān),B錯(cuò).又A1B1∥平面PGCD,所以點(diǎn)A1到平面PGCD的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,即點(diǎn)Q到平面PEF的距離,與點(diǎn)Q的位置無(wú)關(guān),D錯(cuò).如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,∴=(0,a,0),=(a,0,a),=,設(shè)n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,則由得令z=1,則x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一個(gè)法向量.設(shè)點(diǎn)Q到平面PEF的距離為d,則d===,A對(duì),C錯(cuò).故選A.3.BC如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,所以=(-1,0,0),=.設(shè)∠ABE=θ,則cosθ==,sinθ==.故A到直線BE的距離d1=||sinθ=1×=,故A錯(cuò).易知==,平面ABC1D1的一個(gè)法向量=(0,-1,1),則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d2===,故B對(duì).=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d3===.因?yàn)橐鬃C得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為,故C對(duì).因?yàn)?++,所以=,又=(1,0,0),則=,所以點(diǎn)P到AB的距離d===,故D錯(cuò).解題反思線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距,求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.4.答案解析如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,1,z),∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(x-1,0,z-1),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(a,b,c),則n·=0,n·=0,∴a+c=0,a+b=0.∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1).∵B1P∥平面A1BD,∴n·=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=z,連接B1C,∴點(diǎn)P在正方形BCC1B1的對(duì)角線B1C上,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度即對(duì)角線B1C的長(zhǎng),為.5.答案2解析如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C1(4,4,4),M(1,0,0),N(4,2,0),P(4,4,3),∴=(3,2,0),=(0,2,3),=(4,4,4),=(1,0,0).∵過(guò)M、N、P三點(diǎn)的平面交AC1于點(diǎn)Q,∴點(diǎn)Q在線段AC1上,點(diǎn)Q在平面MNP內(nèi),∴可設(shè)=λ=(4λ,4λ,4λ),0≤λ≤1,=x+y=(3x,2x+2y,3y).又=-=(4λ-1,4λ,4λ),∴解得∴=(2,2,2),||=2,即A、Q兩點(diǎn)間的距離為2.6.解析∵四邊形ABCD為矩形,∴AD⊥AB,又AD⊥BE,AB∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴=(0,-1,1),=(-1,1,1),∴·=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,∴⊥,∴BE⊥DE.(2)由(1)得=(1,0,0),=(0,-1,1),=(0,1,0),設(shè)n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,則由得令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一個(gè)法向量.設(shè)點(diǎn)F到平面CBE的距離為d,則d===.∴點(diǎn)F到平面CBE的距離為.7.C連接BD,AC,交于點(diǎn)O,連接OS,則SO⊥平面ABCD,OA⊥OB,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),S(0,0,),所以=(0,,-),=(-,0,-),設(shè)平面SBC的法向量為n=(x,y,z),則由n⊥,n⊥,得令z=1,得x=-1,y=1,所以n=(-1,1,1).又=(-2,0,0),設(shè)直線AC與平面SBC所成角為θ,則sinθ=|cos<,n>|===.故選C.8.A如圖,設(shè)BC=CA=CC1=1,則A(1,0,1),B(0,1,1),D1,F1,∴=,=,∴|cos<,>|===.故選A.9.D設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,取AC的中點(diǎn)O,連接BO、DO,因?yàn)椤螦BC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如圖建系,則O(0,0,0),C,B,D,所以=,=,=.設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),則即令z=1,得x=,y=1,則n=(,1,1),易知平面CDA的一個(gè)法向量為=,所以|cos<,n>|==,故選D.10.A如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得A(0,0,0),G(4,2,0),N(2,0,0),∴=(4,2,0),∵AD∥EF,動(dòng)點(diǎn)M在線段EF上,∴可設(shè)M(0,y,1),y∈[1,3].∴=(-2,y,1),∴cosα=|cos<,>|===.令t=4-y,則t∈[1,3],y=4-t,∴cosα==×=×,當(dāng)t=3時(shí),cosα取最大值,(cosα)max=.故選A.11.BC∵∠PAD=,∴PA⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA?平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∵底面ABCD為矩形,∴AB,AD,AP兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(0,0,0),B(2,0,0),O(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴=(1,2,-4),=(0,4,0),∴|cos<,>|===,∴異面直線PO與AD所成角的余弦值為,故A錯(cuò),B對(duì).由題易得E(0,2,2),AB⊥平面PAD,取平面PAD的一個(gè)法向量m=(1,0,0).∵=λ,λ∈[0,1],PA=4,∴FA=4λ,∴F(0,0,4λ),設(shè)平面OEF的法向量為n=(x,y,z),易知=(-1,0,2),=(1,2,-4λ),則即令x=2,得n=(2,2λ-1,1),∵平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為,∴|cos<m,n>|==,而|cos<m,n>|==,∴=,解得λ=,故C對(duì),D錯(cuò).故選BC.12.答案解析如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),∴=(0,1,2),=(0,1,0).設(shè)AD=a(0≤a≤2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0,a),=(2,0,a).設(shè)平面B1CD的法向量為m=(x,y,z),則?令z=-1,得m=.又平面C1DC的一個(gè)法向量為=(0,1,0),記為n,則由cos30°===,解得a=(負(fù)值舍去),故AD=.13.解析(1)證明:∵AD∥