函數(shù)概念與圖像

關(guān)于函數(shù)概念與圖像知識結(jié)構(gòu)概念三要素圖象性質(zhì)指數(shù)函數(shù)應(yīng)用大小比較方程解的個數(shù)不等式的解實際應(yīng)用對數(shù)函數(shù)函數(shù)第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一個物體從靜止開始下落，下落的距離y(m)與下落時間x(s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9X2。若一物體下落2s，你能求出它下落的距離么？此問題中含有兩個變量x和y，當(dāng)一個變量x的取值確定后，另一個變量y的值隨之唯一確定。根據(jù)初中知識，每一個問題都涉及一個確定的函數(shù)，這就是他們的共同特點。第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天定義

給定兩個非空數(shù)集A和B,如果按照某個對應(yīng)法則f,對于A中的任何一個數(shù)x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在A的函數(shù).記作:f:A→B其中,x叫做自變量,y叫做函數(shù)值,集合A叫做定義域,y的集合叫做值域.或

y=f(x)x∈A.第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天所有輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域。對A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域。函數(shù)的三要素：①定義域②值域③對應(yīng)法則（解析式）判斷是否為函數(shù)的方法：①是否有共同的對應(yīng)法則②A中是否有剩余元素第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天給定函數(shù)時要指明函數(shù)的定義域，對于用解析式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合。第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例3下列函數(shù)中哪個與函數(shù)是同一個函數(shù)?解：（1）（2）（3）（1）這個函數(shù)與函數(shù)雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同.所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).（2）這個函數(shù)與函數(shù)不僅對應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同.所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).（3）這個函數(shù)與函數(shù)的定義域都是實數(shù)R，但當(dāng)時它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)不相同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天映射概念：一般地，設(shè)A,B是兩個非空集合，如果按某種對應(yīng)法則f，對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的與之對應(yīng)，那么，這樣的單值對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記作：f:A→B第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1、在下列對應(yīng)中、哪些是映射、那些映射是函數(shù)、那些不是？為什么？

1.設(shè)A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，對應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x+1,x屬于A

2.設(shè)A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}對應(yīng)關(guān)系是‘A中的元素開平方’

3.設(shè)A=R，B=R,對應(yīng)關(guān)系是f(x)=x的3次方，x屬于A

4.設(shè)A=R,B=R,對應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x的2次方+1，x屬于A

解析：1、是一一映射，且是函數(shù)2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函數(shù)4、是映射，但不是函數(shù)，因為B中不是所有值在A中都有對應(yīng)。第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)3判斷下列各組函數(shù)是否同一函數(shù)？答案：（1）定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)（2）定義域不同，不是同一函數(shù)（3）對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)只要判斷它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同即可.第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的定義域：使函數(shù)有意義的x的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)1、分式的分母不為零.2、偶次方根的被開方數(shù)不小于零.3、零次冪的底數(shù)不為零.4、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零.5、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.6、實際問題中函數(shù)的定義域第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1.求自變量的取值范圍：第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例5畫出函數(shù)y=|x|的圖象.解：由絕對值的概念，我們有y=x,x≥0,-x,x<0.圖象如下：-2-30123xy12345-1第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天畫出函數(shù)y=|x-4|的圖象.第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)（平移變換）：1.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左（或向右）平移|k|個單位（k>0時向左，k<0向右）得y=f(x+k)的圖象。2.

將函數(shù)y=f(x)的圖象向下（或向上）平移|k|個單位（k>0時向下，k<0向上）得y+k=f(x)的圖象。

函數(shù)圖象的變換總結(jié)：k>0,向負(fù)方向平移；k<0，向正方向平移。第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天畫出下列函數(shù)的圖象,并基礎(chǔ)練習(xí)說明它們的關(guān)系:(1)

y=x2－x(2)

y=第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天y=x2－x第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天y=x2－x(x≤0或x≥1)第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天y=第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)(翻折變換）：1.將函數(shù)y=f(x)圖像保留x軸上方的部分并且把x軸下方的部分關(guān)于x軸作對稱就得到函數(shù)y=|f(x)|的圖像2.將函數(shù)y=f(x)圖像去掉y軸左方的部分，保留y軸右方的部分并且把它關(guān)于y軸作對稱就得到函數(shù)y=f(|x|)的圖像函數(shù)圖象的變換第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天畫出下列函數(shù)的圖象:(1)y=x2+2+1(2)y=第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法1,已知求f(x).2,已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]=4x+3求f(x).第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的表示方法①列表法：用列表來表示兩個變量之間函數(shù)的關(guān)系的方法。②解析法：用等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法。這個等式通常叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式。③圖像法：用圖像表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例題購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元。若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖像法將y表示成x（x∈｛1,2,3,4｝）的函數(shù)，并指出該函數(shù)的值域。第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例題1畫出f(x)=丨x丨的圖像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值例題2某是出租汽車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：在3km以內(nèi)（含3km）路程按起步價7元收費，超過3km以外的路程按2.4元/km收費。試寫出收費額關(guān)于路程的函數(shù)解析式由上述例題中觀察函數(shù)具有相同特點：在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式。像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)題函數(shù)的簡單性質(zhì)第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)x

12-2-1o

12oyx-2-1321-1-2前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，你能作出下列函數(shù)的圖象嗎？(1)y=2x+2(2)y=x2(3)y=1xx

12-2-1oy321-1-2y321-1-2觀察圖象變化趨勢在(-,)上y隨x的增大而增大在(-,0]上，y隨x的增大而減少在[0,)上，y隨x的增大而增大在區(qū)間(-,0)上及(0,)上y隨x的增大而減少復(fù)習(xí)引入第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A:

如果對于區(qū)間

內(nèi)的任意兩個值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說y=f(x)在區(qū)間

上是單調(diào)增函數(shù)

稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.說明：(1)定義域(2)區(qū)間(3)任意(4)自變量的大小與函數(shù)值大小的關(guān)系單調(diào)性概念

如果對于區(qū)間

內(nèi)的任意兩個值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說y=f(x)在區(qū)間

上是單調(diào)減函數(shù)稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說該函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間有關(guān)的概念一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值X1，X2，當(dāng)X1＜X2時，都有f(X1)＜f(X2），那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間。如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值X1，X2，當(dāng)X1＜X2時，都有f(X1)＞f(X2），那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一般地，設(shè)y=f(x)的定義域為A如果存在x?！蔄，使得對于任意的x∈A，都有

f(x)≤f（x。),那么稱f（x。）為f(x)的最大值，記為ymax=f(x。)；如果存在x?！蔄，使得對于任意的x∈A，都有

f(x)≥f（x。),那么稱f（x。）為f(x)的最小值，記為ymin=f(x。)；第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)例1.下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間并指出哪些是增區(qū)間哪些是減區(qū)間x

12-2-10y321-1-2-5-4-3345函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有：[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]增區(qū)間有：[-2,1],[3,5]減區(qū)間有：[-5,-2],[1,3]單調(diào)區(qū)間的判斷第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)單調(diào)區(qū)間的判斷練習(xí)：

已知函數(shù)y=f(x)及y=g(x)的圖象(包括端點），根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)

12x-2-1oy321-1-2x-л-л/2oy321-1-2л/2л第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)單調(diào)區(qū)間的判斷例2.寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間(1)y=x+1(2)y=-x2+2x(3)y=2x增區(qū)間減區(qū)間(-,1][1,+)(0,)(-,0)，無(-,+)無2x(1)y=-x+2(2)y=x2+2x(3)y=-練習(xí)：寫出下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間[-1,)(-,-1](-,0)，(0,)無(-,)無增區(qū)間減區(qū)間第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)單調(diào)區(qū)間的判斷思考：

怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性？第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)單調(diào)性的證明例3.證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)證明：設(shè)x1,x2是R上的任意兩個實數(shù),且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)因為x1<x2，所以x1-x2<0所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)所以，f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)(1)設(shè)數(shù)(2)作差(3)因式分解(4)判斷符號(5)對比定義(6)得出結(jié)論第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天證明：設(shè)x1,x2是(0,+

)上的任意兩個實數(shù),且x1<x2，因為0<x1<x2,所以X2-x1>0且x1x2>0所以f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)(1)設(shè)數(shù)(2)作差(3)因式分解(4)判斷符號(5)對比定義(6)得出結(jié)論例4.證明函數(shù)f(x)=在（0，+

）上是減函數(shù)1x則f(x1)-f(x2)=-1x11x2=x1x2x2–x1所以，f(x)=在（0，

）上是減函數(shù)1x單調(diào)性的證明例：證明f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函數(shù)第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)單調(diào)性的證明2證明函數(shù)f(x)=在（-

，0）上是減函數(shù)3x練習(xí)1判斷函數(shù)f(x)=-x2+1在（0，

）是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論思考：怎樣證明函數(shù)的增減性？第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]單調(diào)且f(a)f(b)＜0,則方程f(x)=0在區(qū).間[a,b]上().A.至少有一實根;B.至多有一實根;C.沒有一實根;D.必有唯一實根.D第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4.函數(shù)f(x)=2x+1,(x≥1)5－x,(x＜1)則f(x)的遞減區(qū)間為()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,1]B第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)x

12-2-1oy321-1-2x

12-2-1oy321-1-2特點：圖象關(guān)于y軸對稱自變量相反，函數(shù)值相等圖象關(guān)于原點對稱自變量相反，函數(shù)值相反函數(shù)：y=x2y=1x結(jié)論：偶函數(shù)奇函數(shù)圖象函數(shù)的奇偶性第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)一般地：

如果對于函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)說明：（1）定義域（2）任意（3）f(x)與f(-x)的關(guān)系奇、偶函數(shù)的定義第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一般地：

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們說f(x)具有奇偶性。奇偶圖象的性質(zhì)第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)例5.判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2(3)f(x)=1(4)f(x)=(5)f(x)=x2+x(6)f(x)=g(x)+g(-X)(g(x)的定義域為R)(7)f(x)=0x2+2xx+2奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)奇偶性的判斷第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)奇偶性的判斷練習(xí)：判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x-2

(2)f(x)=2x+(3)f(x)=0x[-2,2)(4)f(x)=x+(5)f(x)=x-4-x-2(6)f(x)=(7)f(x)=|x+2|-|x-2|1xx(x-1)x>0-x(x+1)x0思考：怎樣判斷函數(shù)的奇偶性？第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天繼續(xù)前屏跳轉(zhuǎn)證明：函數(shù)f(x)=x3+x為奇函數(shù)證明：f(-x)=(-x)3+