2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專題1 .6 圓 （二）章末重難點(diǎn)題型

專題1.6圓（二）章末重難點(diǎn)題型

【滬科版】

協(xié)力2?三

【考點(diǎn)1巧用圓的半徑相等】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關(guān)鍵.

【例1】（2020秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，OA是。。的半徑，8為OA上一點(diǎn)（且不與點(diǎn)0、A重合），過

點(diǎn)8作。4的垂線交于點(diǎn)C.以O(shè)B、BC為邊作矩形OBC。，連結(jié)80.若BD=10,BC=8,則A8

的長為（）

A.8B.6C.4D.2

【分析】如圖，連接oc,在Rtao3c中，求出08即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接oc

??,四邊形05co是矩形，

：.ZOBC=90°,BD=OC=OA=[0,

：.0B=yJOC2-BC2=V102-82=6,

：.AB=OA-08=4,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓，勾股定理.，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？?/p>

題型.

【變式1?1】（2020?南召縣模擬）如圖，。。的直徑A5與弦。。的延長線交于點(diǎn)E,若DE=OB,ZAOC

=84°,則NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

【分析】利用OB=DE,08=09得至1」。0=拉。則NE=N￡>OE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得Nl=ND0E+

ZE,所以N1=2N￡同理得到NA0C=NC+N￡=3NE,然后利用NE=!N40C進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:連結(jié)0D,如圖，

?：OB=DE,08=。。，

:.DO=DE,

：.ZE=ZDOEf

VZ1=ZDOE+ZE,

：.Zl=2ZE,

2

而OC=OD,

.*.ZC=ZL

/.ZC=2ZE,

ZAOC=ZC+ZE=3ZE,

AZE=1Z^OC=1x84°=28°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

【變式1-2］（2019秋?句容市校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半圓。上，四邊形A8OC、DEOF、HMNO

均為矩形，設(shè)BC=a,EF=b,NH=c,則下列各式中正確的是（）

A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a

【分析】連接04、OD、0M,則OA=OQ=OM,由矩形的性質(zhì)得出O4=8C=mOD=EF=b,0M=

NH=c,即可得出a=b=c.

【解答】解：連接。4、0D、0M,如圖所示：

則OA=OD=OM,

???四邊形AB。。、DEOF、HNM0均為矩形,

：.OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,

??a=b=c；

故選：B.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、同圓的半徑相等的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2020秋?天寧區(qū)期中）如圖，兩個(gè)正方形都在的直徑的同側(cè)，頂點(diǎn)8、C、G都在

上，正方形ABC。的頂點(diǎn)A和正方形CEFG的頂點(diǎn)F都在。。上，點(diǎn)E在8上.若AB=5,FG=3,

則OC的長為.

【分析】由四邊形ABC。，EFGC是正方形,得到NA8C=NFGC=90°,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接A。，OF,

,四邊形ABC。，EFGC是正方形，

.?./4BC=/FGC=90°,

：.AB2+BO2^OG2+FG2,

：.52+(5-OC)2=(3+002+32

0c=2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（求范圍）】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有：當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外;

4

當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【例2】（2019?嘉定區(qū)二模）在RtZ\ACB中，/C=90°,AC=3,BC=3?以點(diǎn)A為圓心作圓A,要使

B、C兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓4外，另一點(diǎn)在圓4內(nèi)，那么圓A的半徑長7?的取值范圍是.

【分析】熟記“設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,則當(dāng)d=r時(shí)?，點(diǎn)在圓上；當(dāng)">「時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)在圓內(nèi)”即可求解，

【解答】解：：RtZX4CB中，ZC=90°,AC=3,BC=3近,

：.AB=6,

如果以點(diǎn)A為圓心作圓，使點(diǎn)C在圓A內(nèi)，則r>3,

點(diǎn)B在圓4外，則rV6,

因而圓A半徑r的取值范圍為3<r<6.

故答案為3<r<6；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,則當(dāng)"=「時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)

?時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【變式2-1］（2019?長寧區(qū)一模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)B的坐

標(biāo)是（3,-4）.如果以點(diǎn)。為圓心，r為半徑的圓。與直線A8相交，且點(diǎn)4、8中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，

另一點(diǎn)在圓O外，那么，的值可以?。ǎ?/p>

A.5B.4C.3D.2

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出04、OB的長，再由點(diǎn)A、8中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，另一點(diǎn)

在圓。外求出r的范圍，進(jìn)而求解即可.

【解答】解：；點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)8的坐標(biāo)是（3,-4）,

OA=V32+22=V13,

OB=V32+42=5,

?.?以點(diǎn)。為圓心，，?為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)4、8中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓。外，

.\V13<r<5,

；.r=4符合要求.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為廠，點(diǎn)到圓心的距離為d,則有:

當(dāng)一時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【變式2-2］（2019秋?大興區(qū)期末）矩形ABC。中，AB=10,8c=4或，點(diǎn)P在邊AB上，且8尸：AP=4：

5

1,如果OP是以點(diǎn)p為圓心，p。長為半徑的圓，那么下列結(jié)論正確的是（)

A.點(diǎn)、B、C均在。尸外B.點(diǎn)B在OP外，點(diǎn)C在0P內(nèi)

C.點(diǎn)B在。尸內(nèi)，點(diǎn)C在0P外D.點(diǎn)8、C均在0P內(nèi)

【分析】先求出AP的長，然后利用勾股定理求得圓P的半徑的長，根據(jù)點(diǎn)8、C到P點(diǎn)的距離判斷

點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系即可.

【解答】解:如圖，

:四邊形A8CO為矩形，

：.AD=BC=4V2,

?.,AB=10,BP：AP=4：1,

."P=2,BP=8,

在RtZXAOP中，'：AP=2,AD=4V2,

DP=7AD2+AP2=-4+32=6,

在RtAPBC中，CP=7BP2+BC2=-64+32=4V6,

V8>6,4V6>6,

.?.點(diǎn)B,點(diǎn)C均在。P外，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大

小關(guān)系作出判斷即可.

【變式2-3］（2019秋?綠園區(qū)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的5義5的網(wǎng)格中，選取7個(gè)格點(diǎn)

（小正方形的頂點(diǎn)），若以點(diǎn)A為圓心，/?為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則

r的取值范圍是（）

6

A.3<r<V10B.V2<r<V5C.V10<r<V13D.而VrW3

【分析】利用勾股定理求出各格點(diǎn)到點(diǎn)A的距離，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【解答】解：給各點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖所示.

■：AB=Vl2+22=V2,AC=AD=Vl2+22=V5,4G=3,AF=Vl2+32=/10,

AE=V22+32=V13

所以以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，

這三個(gè)點(diǎn)只能為8、C、。點(diǎn)，

/.V5<r<3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格點(diǎn)到點(diǎn)4的距離是解題的

關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（求最值）】

【例3】（2020?長興縣三模）如圖，在RtZVIBC中，/ABC=90°,AB=3,8c=4,點(diǎn)。是半徑為1的0A

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為CQ的中點(diǎn)，連結(jié)8E,則線段8E長度的最小值為.

7

D

【分析】取AC的中點(diǎn)M連接A。、EN、BN.利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理

求出BN,EN,再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)N,連接A。、EN、BN.

?在RtZsABC中，ZAfiC=90°,AB=3,8C=4,

：.AC=y/AB2+BC2=V32+42=5,

，：AN=NC,

：.BN=8C=j,

,:AN=NC,DE=EC,

：.EN=^AD=I，

BN-ENWBEWBN+EN,

515i

2222

...2W8EW3,

的最小值為2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

【變式3-1］（2020?武昌區(qū)模擬）如圖，在Rt^ABC中，/ABC=90°,AB=8,8c=6,點(diǎn)。是半徑為4

8

的G)A上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則的最大值是

【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)M連接MN,BN.利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定

理求出8MMN,再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)M連接MN,BN.

；/ABC=90°,AB=S,BC=6,

."C=IO,

,:AN=NC,

；.8N=yC=5,

,:AN=NC,DM=MC,

1

:,MN=；AD=2,

:.BMWBN+NM,

，BMW5+2=7,

即的最大值是7.

故答案為7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解

9

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

【變式3-2](2020?連云港模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C(0,4),A(3,0),G)A半徑為2,尸為

0A上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則OE的最小值是()

C2D

【分析】如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接EH,OH.利用三角形的中位線定理可得E〃=1,推出

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為圓心半徑為1的圓.

【解答】解：如圖，連接4C，取AC的中點(diǎn)“，連接E”，OH.

\"CE=EP,CH=AH,

1

：.EH=1網(wǎng)=1，

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以“為圓心半徑為1的圓,

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

/.OH=J22+1.52=2.5,

的最小值=OH-E”=2.5-1=1.5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

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【變式3-3](2020?泰安)如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),

8c=1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接。M,則OM的最大值為()

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的。B上，通過畫圖可知，C在8。與圓B的交點(diǎn)

時(shí)，最小，在DB的延長線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖,

???點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

.?.C在。8上，且半徑為1,

IXOD=OA=2,連接CD,

OD=OA,

：.是力的中位線，

：.OM=^CD,

當(dāng)。例最大時(shí)，即CO最大，而。，B,C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在力8的延長線上時(shí)，OM最大,

?：OB=OD=2,ZBOD=90°,

:.BD=2五,

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：.CD=2y/2+\,

：.0M=^CD=V2+1，即OM的最大值為迎+1；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定。例為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

【考點(diǎn)4弧、弦、角、之間的關(guān)系】

【方法點(diǎn)撥】在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其

余各組量都分別相等，其中圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.

【例4】（2020?建湖縣校級(jí)模擬）如圖，Q0的弦A8、C￡＞的延長線相交于點(diǎn)P,且PA=PC.求證：AB=CD.

【分析】連接AC、04、OB、OC、0D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB4C=NPC4,根據(jù)圓周角定理

得到N80C=NA0。，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理證明結(jié)論.

【解答】證明：連接AC、04、OB、OC、OD,

\'PA=PC,

：.ZPAC^ZPCA,

11

VZ^4C=1ZB0C,ZPCA=^ZA0Df

:./BOC=NA。。，

：.AD=BCf

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條

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弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

【變式4-1](2020秋?興化市校級(jí)月考)如圖，在00中，點(diǎn)C是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)，D、E分別是04、OB

上的點(diǎn)，且AO=BE,弦CM、CN分別過點(diǎn)。、E.

(1)求證：CD=CE.

(2)求證：AM=BN.

【分析】(1)連接OC,只要證明△COOg/^COE(SAS)即可解決問題;

(2)欲證明詢=麗，只要證明NM0D=ZNOE即可；

【解答】(1)證明：連接。C.

'：AC=BC,

：.ZCOD=ZCOE,

'：OA=OB,AD=BE,

：.OD=OE,"：OC=OC,

二△(%)*△COE(SAS),

：.CD=CE.

(2)分別連結(jié)OM,ON,

'：/\COD^/\COE,

...ZCDO=ZCEO,ZOCD=ZOCE,

?：OC=OM=ON,

ZOCM=ZOMC,ZOCN=ZONC,

：.40MD=/0NE,

'：NODC=ZDM0+ZM0D,NCEO=ZCNO+ZEON,

：.ZMOD=NNOE,

：.AM=BN.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋

找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

【變式4-2］（2019?浙江模擬）如圖，己知半的直徑AB為3,弦AC與弦8。交于點(diǎn)E,ODA.AC,垂

足為點(diǎn)尸，AC=BD,則弦AC的長為.

【分析】由AC=BD知檢+前=前+比，得通=比，根據(jù)O￡）_L4c知而=而，從而得

AD=CD=BC,即可知/4。。=/。6^=/8（%：=60°,利用AF=AOsin/AO尸可得答案；

【解答】ft?：ZODIAC,

：.AD=CD,/A尸0=90°,

y.'：AC=BD,

：.AC=BD,即而+前=加+比，

：.AD=BC,

：.AD=CD=Bt,

：.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60Q,

；A8=3,

3

：.AO=BO=^,

?417—AC./433.

??AF—AOs\n\^.AOF=5xsz-y———，

LL4

則AC=2AF=孥：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題，屬于中考常考題型.

【變式4-3］（2019?武漢模擬）如圖，。。中，弦ABLC。，垂足為E,F為痂的中點(diǎn)，連接AF、BF、AC,

AF交CD于M,過F作FHLAC,垂足為G,以下結(jié)論：?CF=DF-,②HC=BF：（3）MF=FC：

14

④麻+麗=/+介，其中成立的個(gè)數(shù)是（)

【分析】根據(jù)弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可.

【解答】解：；尸為謝的中點(diǎn)，

'.CF=DF,故①正確，

：.ZFCM=ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=ZFMC=ZACM+ZFAC,

：.ZAME=NFMC=AFCG>ZFCM,

：.FC>FM,故③錯(cuò)誤，

'：ABYCD,FHLAC,

...NAEM=/CGF=90°,

：.ZCFH+ZFCG=90°,/8AF+/AME=90°,

:.NCFH=NBAF,

：.CH=BF,

:?HC=BF,故②正確，

；NAG尸=90°,

：.ZCAF+ZAFH=90°,

...麗的度數(shù)+"的度數(shù)=180°,

二曲的度數(shù)+而的度數(shù)=180°,

：.AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF,故④正確，

故選：C.

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識(shí)，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【考點(diǎn)5圓的對(duì)稱性（最短路線”

【例5】（2019秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，是。。的直徑，MN=4,點(diǎn)A在。。上，NAMV=30°,B

為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，則B4+PB的最小值為.

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB的最小值即

為A'8的長，連接。A'、OB、OA,先求NA'OB=ZA'ON+NBON=60°+30°=90°,再根據(jù)勾

股定理即可得出答案.

【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)4',連接A'B,與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,附+PB的最小值即為

A'8的長，連接。V、08、OA,

圖2

點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于直線AW的對(duì)稱點(diǎn)，NAMN=30°,

/.^AON=ZA,ON=22X30°=60°,

又?.?弧AN的中點(diǎn)，

：.AB=/Vfi,

AZBON^ZAOB=^ZAON=x60°=30。,

：.ZA'OB=ZA'ON+ZBON=60°+30°=90°,

又,：MN=4,

i1

：.OA'=08=^MN=^x4=2,

.\RtAA,08中，A'B=V22+22=2\/2,即B4+P8的最小值為2&.

故答案為：2企.

16

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖及軸對(duì)稱的最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和圓周角定理、

圓心角定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2020秋?高邑縣期末）如圖，AB是。。的直徑，AB=2,點(diǎn)C在。O上，NCAB=30°,D

為弧BC的中點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）

【分析】作出。關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)。'，則PC+P。的最小值就是C。'的長度，在△C。。'中根據(jù)邊角

關(guān)系即可求解.

【解答】解：作出。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)?！?，連接。C,OD',CD1.

又?.?點(diǎn)C在。。上，/。8=30°,。為弧8c的中點(diǎn)，即劭=麗'，

：.ZBAD'=|ZCAB=15°.

：.ZCAD'=45°.

:.NCOD'=90°.則△CO。是等腰直角三角形.

VOC=OD'=|AB=1,

：.CD'=V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］如圖，AB是。。的直徑，A8=8,點(diǎn)M在。。上，NMAB=20°,N是砒的中點(diǎn)，P是直徑

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為（）

17

A.4B.5C.6D.7

【分析】作N點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MN'交AB于P',如圖，則P'N=P'N',利用兩點(diǎn)

之間線段最短得到此時(shí)P'M+P'N的值最小，然后證明△OMN'為等邊三角形得到MN'=0M=4,

從而可判斷PM+PN的最小值.

【解答】解：作N點(diǎn)關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN'交A8于P,如圖，

則P'N=P'N',

：.P'M+P'N=P'M+P'N'=MN',

...此時(shí)「'M+P'N的值最小，

'：ZMAB=20°,

AZMOB=40a,

是弧MB的中點(diǎn)，

:"NOB=20°,

點(diǎn)關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)N',

/.ZN'08=20°,

：.NMON'=60°,

：./\OMN'為等邊三角形，

:.MN'=OM=4,

：.P'M+P'N=4,

即PM+PN的最小值為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查

了最短路徑問題的解決方法.

【變式5-3］（2019秋?和平區(qū)期中）如圖，MN是00的直徑，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，ZACM=60",

B點(diǎn)是前的中點(diǎn)，P點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，若。。的半徑為1,則以+尸8的最小值為（）

18

A.IB.—C.V2D.V3-1

2

【分析】點(diǎn)8關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)），連接。4、08、OB',AB1,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題可得

A）與的交點(diǎn)即為用+P8的最小時(shí)的點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2

倍求出/AON=60°,然后求出NBCW=30°,再根據(jù)對(duì)稱性可得N8'ON=NBON=30：然后求出

ZA0B1=90°,從而判斷出△A08'是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得A8'

=V2OA,即為限+P8的最小值.

【解答】解：作點(diǎn)8關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)8',連接。4、OB、OB'、AB',

則A8'與MN的交點(diǎn)即為以+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，B4+P8的最小值=4），

VZACM^60°,

/.ZAOM=2ZACM^2X60°=120°,

...NAON=60°,

,??點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，

11

???N8ON=*/4ON=*x60。=30°,

由對(duì)稱性，/B'ON=ZBON=30°,

/.ZAOBr=NAON+N8'ON=60°+30°=90°,

???△AO）是等腰直角三角形，

?=yj20A=y/2xl=V2,

即PA+PB的最小值=y/2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍

19

的性質(zhì)，作輔助線并得到△AOS'是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6垂徑定理】

【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。合业拇怪逼椒志€過圓心，且平分弦

對(duì)的兩條弧.

【例6】（2020?泰興市模擬）如圖，aABC中，AB=5,AC=4,BC=2,以A為圓心AB為半徑作圓A,延

9L

A.5B.4C.-D.2V5

2

【分析】如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,連接A。，可得4O=A8=5,根據(jù)垂徑定理可得

得CE=BE-BC=DE-2,再根據(jù)勾股定理即可求得QE的長，進(jìn)而可得CD的長.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,連接AD,

."￡>=48=5,

根據(jù)垂徑定理，得

DE=BE,

：.CE=BE-BC=DE-2,

根據(jù)勾股定理，得

AD2-DE1=AC1-CE2,

A52-D￡2=42-(DE-2)

解得DE=詈，

9

2=

：.CD=DE+CE2-

20

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理.

【變式6-1]（2019秋?通州區(qū)期末）如圖，將。0沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心0.如果弦AB=4百，那么

OO的半徑長度為（）

A.2B.4C.2V3D.4A/3

【分析】作OOLA8于連接04,先根據(jù)勾股定理列方程可解答.

【解答】解：作。。-L48手力，連接04.

'.,0DLAB,48=4百，

：.AD=戈8=2/，

由折疊得：0￡>=/。，

設(shè)0D=x,則AO=2xf

在RtZ\OAO中，AD1+OD1=OA2,

（2V3）2+?=⑵）2,

x=2,

：.OA=2x^4,即。。的半徑長度為4：

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答

此題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2019秋?武威月考）如圖，己知。0的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=6cm,EB=2cm,

21

ZBED=30°,求CD的長.

【分析】先過點(diǎn)。作連結(jié)0C,根據(jù)垂徑定理得出CD=2CM,再根據(jù)AE=6c/〃，EB=2cm,

、、22

求出ABf再求出OCOBOE,再根據(jù)NCEA=30°，求出0M=^0E=力x2=\cm9根據(jù)CM=y/OC-OMf

求出CM,最后根據(jù)C￡>=2CM即可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)。作。MJ.CO,連結(jié)。C,則CD=2CM,

?"8=8(cm),

AOC=OB=4(cm),

：.OE=4-2=2(cm),

■:NCEA=NBED=30°,

11

：.OM=2x2=l(cm),

CM=70c2—0M2=742—M=(C”)，

.*.CD=2V15(cm}.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂經(jīng)定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂經(jīng)定理、勾股定理、30°角的直角三角形，關(guān)鍵是根

據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形.

【變式6-3](2019秋?秦淮區(qū)期中)如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C、

D.

(1)求證AC=BD；

(2)若4c=3,大圓和小圓的半徑分別為6和4,則CO的長度是.

22

【分析】（1）作CHLCO于，，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH,利用等量減等量差相等

可得到結(jié)論；

（2）連接OC,如圖，設(shè)C4=x,利用勾股定理得到OH2=O^-AH2=61

-（3+x）2,則4?-,=62-（3+x）2,然后解方程求出x即可得到。的長.

【解答】（1）證明：作C”_LC￡＞于，，如圖，

'."OHYCD,

：.CH=DH,AH=BH,

：.AH-CH=BH-DH,

：.AC=BD；

(2)解：連接OC,如圖，設(shè)CH=x,

在Rt^OCH中，0泮=0(^-CH2^^-x2,

在Rt/XOA”中，0”2=。儲(chǔ)-A”2=62-(3+x)

2

r.4-X2=62-(3+x)2,解得x=9

：.CD=2CH=^-.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧?也考查了勾股

定理.

【考點(diǎn)7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】

[例7]（2019秋?瑞安市期末）某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O,隧道的水平寬AB為

24m,AB離地面的高度AE=10"，拱頂最高處C離地面的高度CO為18m在拱頂?shù)睦琋處安裝照

明燈，且M,N離地面的高度相等都等于17機(jī)，則MN=m.

23

【分析】根據(jù)題意和垂徑定理得到CG=8，”，AG=\2m,CH=1辦根據(jù)勾股定理求得半徑，進(jìn)而利用勾

股定理求得M”，即可求得

【解答】解：設(shè)CQ于AB交于G,與MN交于4,

VCD=18/M,AE=\Om,AB=24m,HD=17m,

：.CG=Sm,AG=\2m,CH=\m,

設(shè)圓拱的半徑為r,

在RtzMOG中，OA2=OG2+AG1,

：.r-=(r-8)2+122,

解得r=13,

0(J=13m,

：.0/7=13-l=12m,

在Rt/XMOH中，0M2=。爐+用爐,

.,.132=122+Affl2,

解得用)=25,

:.MN=10nt,

故答案為10.

地面

24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2020?棗陽市模擬）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古

希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，

不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如

圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為（）

【分析】設(shè)。。的半徑為r寸.在RtZXACO中，AC=5,OC=r-1,OA=r,則有^=52+（r-1）

解方程即可.

【解答】解：設(shè)圓心為0,過。作0CLA3于C,交。。于C,連接。4,如圖所示：

."0=夕8=110=5,

設(shè)。。的半徑為，?寸，

在RtZXACO中，0C=r-l,OA=r,

則有r2=52+（r-1）2,

解得r=13,

二OO的直徑為26寸，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)犍是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中

考常考題型.

【變式7-2]（2020?龍巖模擬）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF

=CD=\6cm,則球的半徑為（）

25

AD

A.10V3c/nB.10C/MC.1Q\[2cmD.8V3c/w

【分析】首先找到E尸的中點(diǎn)M,作丁點(diǎn)M,取MN上的球心。，連接。尸，設(shè)。F=x,則QW

是16-x,MF=8,然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得O尸的長即可.

【解答】解：EF的中點(diǎn)M,作MNJ_AO于點(diǎn)M,取上的球心。，連接。兄

設(shè)。F=x,則OM=16-x,MF=8,

222

在直角三角形OM尸中，OM+MF=OFf

即：（16-%）2+82=X2,

解得:x=10.

故選：B.

B1-----------g------

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形.

【變式7-3]（2019秋?京山市期中）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，油槽直徑MN為10分米.截面如圖，油

面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，當(dāng)油面寬變?yōu)?分米，油面AB上升（）

N

A.1分米B.4分米

C.3分米D.1分米或7分米

【分析】實(shí)質(zhì)是求兩條平行弦之間的距離.根據(jù)勾股定理求弦心距，作和或差分別求解.

【解答】解：連接。A.作0GLA8于G,

則在直角△OAG中，AG=3分米，

因?yàn)镺A=5a〃，根據(jù)勾股定理得到：OG=4分米，即弦A8的弦心距是4分米，

同理當(dāng)油面寬A8為8分米時(shí)，弦心距是3分米，

26

當(dāng)油面沒超過圓心。時(shí)，油上升了1分米；當(dāng)油面超過圓心。時(shí)，油上升了7分米.

因而油上升了1分米或7分米.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、

圓心角的計(jì)算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角

三角形予以求解.本題容易忽視的是分情況討論.

【考點(diǎn)8圓周角定理】

【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

【例8】（2020?河池）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,D,E都在。。上，Zl=55°,則N2=°.

【分析】如圖，連接AD證明Nl+/2=90°即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接AD.

是直徑，

AZADB=90Q,

VZl=ZADE,

.,.Zl+Z2=90°,

27

VZ1=55°,

.?./2=35°,

故答案為35.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【變式8-1］（2019?遼陽）如圖，A,B,C,。是上的四點(diǎn)，且點(diǎn)8是配的中點(diǎn)，BD交OC于點(diǎn)E,

ZAOC=100°,/OC0=35°,那么NOEO=.

【分析】連接。8,求出N。，利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

'：AB=BC,

：.ZAOB=ZBOC=50°,

1

：?NBDC=^NBOC=25。,

VZOED=ZECD+ZCDB,NECD=35°,

AZOE￡>=60°,

故答案為600.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，

屬于中考常考題型.

【變式8-2］（2020?阜新）如圖，A8為。。的直徑，C,。是圓周上的兩點(diǎn)，若乙鉆。=38°,則銳角N8OC

的度數(shù)為（）

28

c

A.57°B.52°C.38°D.26°

【分析】由A8是。O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可得/ACB=90°,又由/ABC=38°,

即可求得NA的度數(shù)，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得N8OC的度

數(shù).

【解答】解：連接AC,

是。0的直徑，

-8=90°,

；/ABC=38°,

.../R4C=90°-/A8C=52°,

：.ZBDC=ZBAC=52°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理.此題難度不大，注意掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角與在同圓或等圓中,

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

【變式8-3］（2020?眉山）如圖，四邊形ABC。的外接圓為。O,BC=CD,ND4C=35°,ZACD=45°,

則NAOB的度數(shù)為（）

【分析】利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到血=應(yīng)，再利用圓周角定理得到N8AC=ND4c=35°,Z

29

ABD=ZACD=45°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù).

【解答】解：；8C=CZ）,

：.DC=BC,

VZ.ABD和ZACD所對(duì)的弧都是通，

.?.N8AC=NZMC=35°,

,：ZABD^ZACD=45°,

AZ/lDB=180o-ZBAD-ZABD=\SO0-70°-45°=65°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9圓內(nèi)接四邊形】

【方法點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且任意一個(gè)角的外角都等于其內(nèi)對(duì)南.

【例9】（2020?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形4BCO內(nèi)接于O。，ZD=100°,CELAB交。。于點(diǎn)E,

連接。B、OE,則NBOE的度數(shù)為（）

A.18°B.