福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

準(zhǔn)考證號(hào)：姓名：（在此卷上答題無(wú)效）2023~2024學(xué)年第二學(xué)期福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高一年級(jí)開(kāi)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）請(qǐng)將所有答案填寫(xiě)到答題卡的相應(yīng)位置上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意得，故，故選：D2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】.故選：A3.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由作差法逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由題意，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，即，故C正確；對(duì)于D，由題意，即，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門(mén)關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)逆否命題的等價(jià)性，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意“不破樓蘭終不還”只可知，“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，故選：A.5.已知命題.若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到為真命題，從而根據(jù)根的判別式列出不等式，求出答案.【詳解】為真命題，即，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD選項(xiàng).，排除A選項(xiàng).所以正確的為C選項(xiàng).故選：C7.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退心似平原跑馬，易放難收”，增廣賢文是勉勵(lì)人們專(zhuān)心學(xué)習(xí)的如果每天的“進(jìn)步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“進(jìn)步”的是“落后”的倍現(xiàn)假設(shè)每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是，要使“進(jìn)步”的是“落后”的倍，則大約需要經(jīng)過(guò)參考數(shù)據(jù)：，（）A.天 B.天 C.天 D.天【答案】B【解析】【分析】依題意得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】經(jīng)過(guò)天后，“進(jìn)步”的是“落后”的比，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得，解得.要使“進(jìn)步”的是“落后”的倍，則大約需要經(jīng)過(guò)11天.故選：B8.中國(guó)最早的天文觀測(cè)儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測(cè)臺(tái)是西周初年在陽(yáng)城建立的周公測(cè)景（影）臺(tái)．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽(yáng)光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長(zhǎng)（1尺=10寸）．用圭表測(cè)量太陽(yáng)照射在竹竿上的影長(zhǎng)，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日內(nèi)，南北兩地的日影長(zhǎng)短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為，太陽(yáng)光線通過(guò)頂部投影到“圭”上的點(diǎn)為．同一日內(nèi)，甲地日影長(zhǎng)是乙地日影長(zhǎng)的，記甲地中直線與地面所成的角為，且．則甲、乙兩地之間的距離約為（）A.10千里 B.12千里 C.14千里 D.16千里【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出甲地、乙地的日影長(zhǎng)，即可計(jì)算甲、乙兩地的距離作答.【詳解】依題意，甲地中線段AB的長(zhǎng)為寸，則甲地的日影長(zhǎng)為寸，于是乙地的日影長(zhǎng)為寸，甲、乙兩地的日影長(zhǎng)相差12寸，所以甲、乙兩地之間的距離是12千里.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸 B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C. D.【答案】ABD【解析】【分析】點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，且在函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，令函數(shù)周期為T(mén)，由圖象知，由，得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：，，據(jù)此分析即可.【詳解】依題意，點(diǎn)是函數(shù)的圖象對(duì)稱中心，且在函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，，即，，令函數(shù)周期為T(mén)，由圖象知，即有，而，則有，因此，，解得，而，則，，，故C錯(cuò)誤D正確；由，得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故AB正確.故選：ABD．10.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若是的對(duì)稱軸，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是的對(duì)稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，判斷A；結(jié)合已知條件變形得到，判斷B；利用賦值法求得，判斷C；根據(jù)條件得到的周期為4，對(duì)稱中心為，從而得到函數(shù)值即可求解，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又因?yàn)椋?，故，即為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，?lián)立得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，則，即；因?yàn)?，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又因?yàn)?，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因?yàn)橹芷跒?，對(duì)稱中心為，所以，當(dāng)時(shí)，代入，即，所以，所以，又是的對(duì)稱軸，所以，所以，故D正確，故選：BD.11.波恩哈德·黎曼（～）是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析、微分幾何方面作出過(guò)重要貢獻(xiàn)，開(kāi)創(chuàng)了黎曼幾何，并給后來(lái)的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).他提出了著名的黎曼函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，其解析式為：，下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義域分類(lèi)對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，，若是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)，有，若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，當(dāng)（為正整數(shù)，為最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)），則（為正整數(shù)，為最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)），此時(shí)，綜上，時(shí)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)和無(wú)理數(shù)時(shí)，，顯然有，當(dāng)是正整數(shù)，是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，有當(dāng)時(shí)，，，有當(dāng)為無(wú)理數(shù)，時(shí)，，有綜上，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取，則，而，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，若或或內(nèi)的無(wú)理數(shù)，此時(shí)，顯然不成立，當(dāng)（為正整數(shù)，互質(zhì)），由，得到，整理得到，又為正整數(shù)，互質(zhì)，所以或均滿足，所以可以取或，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知全集，，，指出Venn圖中陰影部分表示的集合是______..【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合運(yùn)算求得，可得，結(jié)合Venn圖中陰影部分表示的集合為，即可得答案.【詳解】由于全集，，，故，則，故Venn圖中陰影部分表示的集合為，故答案為：13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)倍角公式即的取值范圍從而可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以，，所以．故答案為：.14.已知函數(shù)，若，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，得到有唯一的解，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目條件得到，進(jìn)而得到分段函數(shù)解析式，計(jì)算出，故，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到不等式.【詳解】由題意，得，，所以，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．因?yàn)楹愠闪?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以有唯一的解．，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，故在R上單調(diào)遞增，，由對(duì)稱性可知，下面證明，過(guò)程如下：若時(shí)，則，且，則，，，此時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，，滿足，即．故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，又不等式，所以．由，得．由，得．所以原不等式的解集為．故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值，判斷的單調(diào)性并說(shuō)明理由；（2）若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由見(jiàn)解析；（2）,【解析】【分析】（1）由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)求的值，得到的解析式，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為在,上有解，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，即，，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：任取、x2∈R，且，則，則，所以，即，所以是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故是奇函?shù)且在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故在的最大值為，所以，即所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,．16.杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)的舉辦城市，以其先進(jìn)的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機(jī)器狗”在田徑賽場(chǎng)上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場(chǎng)的焦點(diǎn).已知購(gòu)買(mǎi)臺(tái)“機(jī)器狗”的總成本為.（1）若使每臺(tái)“機(jī)器狗”的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)?（2）現(xiàn)安排標(biāo)明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺(tái)“機(jī)器狗”在同一場(chǎng)次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺(tái)“機(jī)器狗”所用時(shí)間（單位:秒）分別為，，.“汪1”有一半的時(shí)間以速度（單位:米/秒）奔跑，另一半的時(shí)間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且則哪臺(tái)機(jī)器狗用的時(shí)間最少?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）“汪1”用的時(shí)間最少，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）平均成本為，利用比較不等式，即可求解函數(shù)的最值；（2）利用速度，時(shí)間和路程的關(guān)系，分別求解，，，再根據(jù)不等式，比較時(shí)間大小，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，購(gòu)買(mǎi)臺(tái)“機(jī)器狗”的總成本為，則每臺(tái)機(jī)器狗的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，若使每臺(tái)“機(jī)器狗”的平均成本最低，應(yīng)買(mǎi)臺(tái).【小問(wèn)2詳解】由題意，“汪1”滿足，可得，“汪2”滿足，可得，“汪3”滿足，，，所以，因?yàn)椋?，且，所以可得，則，所以，所以“汪1”用的時(shí)間最少.17.筒車(chē)（chinesenoria）亦稱“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”.一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，筒車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史．這種靠水力自動(dòng)的古老筒車(chē)，在家鄉(xiāng)郁郁蔥蔥的山間、溪流間構(gòu)成了一幅幅遠(yuǎn)古的田園春色圖．水轉(zhuǎn)筒車(chē)是利用水力轉(zhuǎn)動(dòng)的筒車(chē)，必須架設(shè)在水流湍急的岸邊．水激輪轉(zhuǎn)，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田．某鄉(xiāng)間有一筒車(chē)，其最高點(diǎn)到水面的距離為，筒車(chē)直徑為，設(shè)置有8個(gè)盛水筒，均勻分布在筒車(chē)轉(zhuǎn)輪上，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)一周需要，如圖，盛水筒A（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置距水面的距離為．（1）盛水筒A經(jīng)過(guò)后距離水面的高度為h（單位：m），求筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，h關(guān)于t的函數(shù)的解析式；（2）盛水筒B（視為質(zhì)點(diǎn)）與盛水筒A相鄰，設(shè)盛水筒B在盛水筒A的順時(shí)針?lè)较蛳噜徧?，求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示），及此時(shí)對(duì)應(yīng)的t．（參考公式：，）【答案】（1）（2），或．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)題意求出得到函數(shù)的解析式；

（2）由，求出高度差，再利用已知條件給出的參考公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行分析求解即可．【小問(wèn)1詳解】以簡(jiǎn)車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心O為原點(diǎn)，與水面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由題意知，，，∴，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，結(jié)合圖像初始位置可知，又因?yàn)?，所以，綜上．【小問(wèn)2詳解】經(jīng)過(guò)后A距離水面的高度，由題意知，所以經(jīng)過(guò)后B距離水面的高度，則盛水筒B與盛水筒A的高度差為，利用，，當(dāng)，即時(shí)，H取最大值，又因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，H取最大值，綜上，盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值約為，此時(shí)或．18.某藥品可用于治療某種疾病，經(jīng)檢測(cè)知每注射tml藥品，從注射時(shí)間起血藥濃度y（單位：ug/ml）與藥品在體內(nèi)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系如下：當(dāng)血藥濃度不低于時(shí)才能起到有效治療的作用，每次注射藥品不超過(guò)．（1）若注射藥品，求藥品的有效治療時(shí)間；（2）若多次注射，則某一時(shí)刻體內(nèi)血藥濃度為每次注射后相應(yīng)時(shí)刻血藥濃度之和．已知病人第一次注射1ml藥品，12小時(shí)之后又注射aml藥品，要使隨后的6小時(shí)內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效消療，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由血藥濃度與藥品在體內(nèi)時(shí)間的關(guān)系，計(jì)算血藥濃度不低于時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間段；（2）由兩次注射血藥濃度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．【小問(wèn)1詳解】注射該藥品，其濃度為當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．所以一次注射該藥品，則藥物有效時(shí)間可達(dá)小時(shí)．【小問(wèn)2詳解】設(shè)從第一次注射起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，則，因，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋獾?，所以．?dāng)時(shí)，，，所以不能保證持續(xù)有效，答：要使隨后的6小時(shí)內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效治療，的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分段函數(shù)模型的應(yīng)用：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題的兩變是之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)，分段函數(shù)模型適用于描述在不同區(qū)間上函數(shù)值的變化情況，分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問(wèn)題，將各段的規(guī)