期末復(fù)習(xí)講義數(shù)列十二、十三

PAGE亭湖高中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)講義十二課題：數(shù)列(1)一．知識(shí)清單1．等差數(shù)列：恒成立等式判斷方法：等差數(shù)列(為常數(shù))；等比數(shù)列：恒成立等式判斷方法：等比數(shù)列.二．基礎(chǔ)練習(xí)1．在等差數(shù)列{an}中，S4=6,S8=20,則S16=。2．在項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列{an}中，前三項(xiàng)之和為12，最后三項(xiàng)之和為132，前n項(xiàng)之和為240，則n=。3.數(shù)列{an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,則a2a4a64．已知數(shù)列{an}是公比q的等比數(shù)列，給出下列六個(gè)數(shù)列：（1）{kan}(k)(2){a2n-1}(3){an+1-an}(4){anan+1}(5){nan}(6){an3},其中仍能構(gòu)成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)。 5．若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S9=－36，S13=－104，則a5與a7的等比中項(xiàng)為．6.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為．三．例題選講例1．是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列的通項(xiàng)．例2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．（1）已知，，求；（2）若，，成等差數(shù)列，證明，，也成等差數(shù)列。例3.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．例4．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并求出前6項(xiàng)之和；(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；(3)設(shè)a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項(xiàng)和S2011.四.作業(yè)：1.在等差數(shù)列前15項(xiàng)的和為_(kāi)_________.2.在等比數(shù)列中，已知，則的值為3.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則.4.已知和均成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列，且，則=__5．設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，則EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝_________________。6．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1、a4、a16成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為．7.已知等差數(shù)列{}首項(xiàng)>0,前項(xiàng)和為,若,則最大時(shí),的值___.8.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四個(gè)根可以組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值為．9.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*)，若am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝10.已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（Ⅱ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，、、也成等差數(shù)列．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，是，的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列，使對(duì)任意都有？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12.已知數(shù)列中,點(diǎn)在直線y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令,

求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng);(Ⅲ)設(shè)分別為數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在,試求出.若不存在,則說(shuō)明理由.亭湖高中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)講義十三課題：數(shù)列(2)一．知識(shí)清單1.求和通法:公式、分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相加.求和先看項(xiàng)2.遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法（有套就套,沒(méi)套就造,待定系數(shù)猜后證；作差累加,作商累乘,同取倒對(duì)同平開(kāi)）二．基礎(chǔ)練習(xí)1．在等比數(shù)列{an}中，Sn=k-()n，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)___________2.等差數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為27:32,則公差d=____________.3．已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且則4．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和=____________5.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a1＝－eq\f(1,2)，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S2014＝__.6.已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____.三．例題選講例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.例2正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.例3.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,8)．(1)求該函數(shù)的解析式；(2)數(shù)列{an}中，若a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足an＝f(Sn)(n≥2)，證明數(shù)列{eq\f(1,Sn)}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)另有一新數(shù)列{bn}，若將數(shù)列{bn}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：b1b2b3b4b5b6b7b8b9b10…記表中的第一列數(shù)b1，b2，b4，b7，…構(gòu)成的數(shù)列即為(2)中數(shù)列{an}，上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)b81＝－eq\f(4,91)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和．四、作業(yè)1.已知數(shù)列{an}中,a1=－20,an+1=an+4,則|a1|+|a2|+…+|a20|=.2.已知等比數(shù)列{an}中，a3=1,S3=4,則q=.3.一個(gè)等差數(shù)列共有2n+1項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290,偶數(shù)項(xiàng)之和為261,則第n+1項(xiàng)值為4.已知一個(gè)凸多邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)組成公差為5°的等差數(shù)列,且最小角為120°,則=.5.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為,,=，則=．6.等差數(shù)列{an},滿足比值是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，試寫(xiě)出一個(gè)．7.某種卷筒衛(wèi)生紙?jiān)诒P(pán)上,空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑40mm,滿盤(pán)時(shí)直徑120mm,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm,則滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是米(精確到1m)。8.對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.9.數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為10．下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”： ， ，， …………已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)試寫(xiě)出aij關(guān)于i，j的表達(dá)式；(3)記第n行的和為An，求11.在數(shù)列中，，，．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）證明不等式，對(duì)任意皆成立．12.已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n項(xiàng)和為Sn=(n+1)(an+1)－1.(1)求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,是否存在實(shí)數(shù)M,使得Tn≤M對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,試說(shuō)明理由.亭湖高中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)講義十二課題：數(shù)列(1)一．知識(shí)清單1．等差數(shù)列：恒成立等式判斷方法：等差數(shù)列(為常數(shù))；等比數(shù)列：恒成立等式判斷方法：等比數(shù)列.二．基礎(chǔ)練習(xí)1．在等差數(shù)列{an}中，S4=6,S8=20,則S16=。722．在項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列{an}中，前三項(xiàng)之和為12，最后三項(xiàng)之和為132，前n項(xiàng)之和為240，則n=。103.數(shù)列{an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,則a2a4a6……a20的值為4．已知數(shù)列{an}是公比q的等比數(shù)列，給出下列六個(gè)數(shù)列：（1）{kan}(k)(2){a2n-1}(3){an+1-an}(4){anan+1}(5){nan}(6){an3},其中仍能構(gòu)成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)。5 5．若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S9=－36，S13=－104，則a5與a7的等比中項(xiàng)為．．6.（全國(guó)1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為．三．例題選講例1．是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列的通項(xiàng)．解析由已知得，即，解得或或經(jīng)驗(yàn)證或均滿足題意，即為所求．例2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．（1）已知，，求；（2）若，，成等差數(shù)列，證明，，也成等差數(shù)列。解：（1）因?yàn)?，，易知所以，……①，……②由②①，得，所以，代入①，得．所以，?分（2）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，且．所以，因?yàn)?，所以．………?1分所以，即．所以也成等差數(shù)列．………………15分（注：不分類(lèi)各扣2分）例3.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．(1)證明：由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(n（n＋1）,2).(3)證明：對(duì)任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝eq\f(4n＋1－1,3)＋eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)－4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4n－1,3)＋\f(n（n＋1）,2)))＝－eq\f(1,2)(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．例4．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并求出前6項(xiàng)之和；(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；(3)設(shè)a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項(xiàng)和S2011.(1)解：a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，故S6＝0.(2)證明：由條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1＝an＋an＋2，,an＋2＝an＋1＋an＋3，))所以an＋3＝－an.(3)解：由(2)的結(jié)論得an＋6＝－an＋3＝an，即an＋6＝an.a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，∴S6＝0.由(2)得S6n＋k＝Sk，n∈N*，k＝1，…，6，故S2011＝S335×6＋1＝a1＝a.四.作業(yè)：1.在等差數(shù)列前15項(xiàng)的和為_(kāi)_________.3602.在等比數(shù)列中，已知，則的值為123.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則.-20084.已知和均成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列，且，則=__25．設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，則EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝__________________6．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1、a4、a16成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為．87.已知等差數(shù)列{}首項(xiàng)>0,前項(xiàng)和為,若,則最大時(shí),的值___.168.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四個(gè)根可以組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值為．9.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*)，若am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________.解析：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又因?yàn)閍m－1am＋1－2am＝0，即aeq\o\al(2,m)－2am＝0，所以am＝2(am＝0舍去)．又T2m－1＝a1a2…a2m－2a2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)＝128＝27，所以2m－1＝7，解得m＝4.10.已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（Ⅱ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，、、也成等差數(shù)列．解：（Ⅰ）由已知，，因此，，．當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，，可得．化簡(jiǎn)得．解得．（Ⅱ）若，則的每項(xiàng)，此時(shí)、、顯然成等差數(shù)列．若，由、、成等差數(shù)列可得，即．整理得．因此，．所以，、、也成等差數(shù)列．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，是，的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列，使對(duì)任意都有？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有即由得，解得或.當(dāng)時(shí)，不合題意舍；當(dāng)時(shí)，代入(2)得，所以，.（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，設(shè)此數(shù)列的公差為，則方法1：，得對(duì)恒成立，則解得或此時(shí)，或．故存在等差數(shù)列，使對(duì)任意都有．其中，或．方法2：令，，得，令，得，①當(dāng)時(shí)，得或，若，則，，，對(duì)任意都有；若，則，，，不滿足．②當(dāng)時(shí)，得或，若，則，，，對(duì)任意都有；若，則，，，不滿足．綜上所述，存在等差數(shù)列，使對(duì)任意都有．其中，或．12.已知數(shù)列中,點(diǎn)在直線y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令,

求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng);(Ⅲ)設(shè)分別為數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在,試求出.若不存在,則說(shuō)明理由.亭湖高中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)講義十三課題：數(shù)列(2)一．知識(shí)清單1.求和通法:公式、分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相加.求和先看項(xiàng)2.遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法（有套就套,沒(méi)套就造,待定系數(shù)猜后證；作差累加,作商累乘,同取倒對(duì)同平開(kāi)）二．基礎(chǔ)練習(xí)1．在等比數(shù)列{an}中，Sn=k-()n，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)___________12.等差數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為27:32,則公差d=____________.53．已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且則4．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和=_______85_________5.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a1＝－eq\f(1,2)，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S2014＝__.eq\f(1007,2)解：由題意得數(shù)列{an}的各項(xiàng)為－eq\f(1,2)，1，－eq\f(1,2)，1，…，以2為周期的周期數(shù)列，所以S2014＝eq\f(1,2)×1007＝eq\f(1007,2).6.已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____.－100解析：f(n)＝n2cosnπ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2n為奇數(shù),n2n為偶數(shù)))＝(－1)n·n2，由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.三．例題選講例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n)，所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1).兩式相減，得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).例2正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<eq\f(5,64).解：(1)由Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.綜上可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n.(2)證明：由于an＝2n，bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，則bn＝eq\f(n＋1,4n2n＋22)＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n2)－\f(1,n＋22))).Tn＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32)＋\f(1,22)－\f(1,42)＋\f(1,32)－\f(1,52)＋…＋\f(1,n－12)－\f(1,n＋12)))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(1,n2)－\f(1,n＋22)))＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)－\f(1,n＋12)－\f(1,n＋22)))<eq\f(1,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))＝eq\f(5,64).例3.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,8)．(1)求該函數(shù)的解析式；(2)數(shù)列{an}中，若a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足an＝f(Sn)(n≥2)，證明數(shù)列{eq\f(1,Sn)}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)另有一新數(shù)列{bn}，若將數(shù)列{bn}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：b1b2b3b4b5b6b7b8b9b10…記表中的第一列數(shù)b1，b2，b4，b7，…構(gòu)成的數(shù)列即為(2)中數(shù)列{an}，上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)b81＝－eq\f(4,91)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和．解：(1)由函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,8)得m＝－2，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\f(x2,x－2).(2)證明：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝f(Sn)，即an＝eq\f(S\o\al(2,n),Sn－2).又因?yàn)镾n＝a1＋a2＋…＋an，所以Sn－Sn－1＝eq\f(S\o\al(2,n),Sn－2)，即2Sn＋Sn·Sn－1＝2Sn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝eq\f(1,2).又因?yàn)镾1＝a1＝1，所以數(shù)列{eq\f(1,Sn)}是首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．由上可知eq\f(1,Sn)＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2)，即Sn＝eq\f(2,n＋1).所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,n＋1)－eq\f(2,n)＝－eq\f(2,nn＋1)因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－\f(2,nn＋1)，n≥2.))(3)設(shè)表中從第三行起，每行的公比都為q，且q>0.因?yàn)?＋2＋…＋12＝eq\f(12×13,2)＝78，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{bn}的前78項(xiàng)，故b81在表中第13行第三列，因此b81＝a13q2＝－eq\f(4,91).又因?yàn)閍13＝－eq\f(2,13×14)，所以q＝2.記表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和為S，則S＝eq\f(ak1－qk,1－q)＝－eq\f(2,kk＋1)·eq\f(1－2k,1－2)＝eq\f(21－2k,kk＋1)(k≥3)．四、作業(yè)1.已知數(shù)列{a