2023-2024學年江蘇省常州市高二上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3江蘇省常州市2023-2024學年高二上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0〖答案〗C〖解析〗由題意得，故C正確.故選：C.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.78〖答案〗D〖解析〗依題意，因為，所以，因為線性回歸方程為一定過點，所以，所以.故選：D.3.方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知焦點在軸上，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，，則（）A.13 B.10 C.1 D.13或1〖答案〗A〖解析〗由題意得焦距為，由雙曲線定義可得，所以或，又因為在雙曲線中，所以，故A正確.故選：A.5.定義：“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116，431，則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（）A.21 B.35 C.36 D.45〖答案〗C〖解析〗“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，故首位最大為8，且首位不為0，則有：若首位為8，則剩余兩位均為0，共有1個“幸運數(shù)”；若首位為7，則剩余兩位為，共有個“幸運數(shù)”；若首位為6，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為5，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為4，則剩余兩位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為2，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；綜上所述：共有個“幸運數(shù)”.故選：C.6.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.7.已知圓和圓相交于兩點，點是圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圓，即，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，取線段的中點，連接，則，將圓與圓的方程做差可得公共弦的方程為，則，則，所以.故選：B.8.經過雙曲線的右焦點作該雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且交另一條漸近線于點，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖所示：設，則，則，雙曲線的漸近線方程為，則到直線的距離為，因為，則，故，由勾股定理可得，因為，整理可得，又因為，解得.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.點、，過、的直線為，下列說法正確的有（）A.若，則直線的方程為B.若，則直線的傾斜角為C.任意實數(shù)，都有D.存在兩個不同的實數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，當時，點，又因為點，則，此時，直線的方程為，即，A對；對于B選項，若，則，又因為點，，設直線的傾斜角為，則，且，則，即直線的傾斜角為，B對；對于C選項，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，若直線過原點，則直線的斜率為，此時，直線的方程為，即，因為點在直線上，則，解得，若直線不經過原點，設直線的方程為，因為點在直線上，則，此時，直線的方程為，因為點在直線上，則，解得.綜上所述，存在兩個不同的實數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)，D對.故選：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有種排法 B.若甲不排第一個共有種排法C.若甲與丙不相鄰，共有種排法 D.若甲在乙的前面，共有種排法〖答案〗ACD〖解析〗甲、乙、丙等人排成一列，對于A選項，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個大元素，與其余四個元素排序，共有種排法，A對；對于B選項，若甲不排第一個，則甲有種排法，其余個人全排，共有種，B對；對于C選項，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個空中的個空，所以，共有種排法，C對；對于D選項，若甲在乙的前面，只需在個位置中先選兩個位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個人全排，共有種排法，D對.故選：ACD.11.已知直線與圓交于，兩點，點為線段的中點，且點的坐標為．當時，，則（）A. B.的最小值為C.存在點，使 D.存在，使〖答案〗AD〖解析〗當時，直線，圓心到直線的距離，又，解得，A正確；由上可知圓，圓心到直線的距離，則，B錯誤；若，則直線斜率為，從而直線：，此時圓心到直線的距離，則直線與圓相離，即不存在點，使，C錯誤；設點，因為直線過定點，則，即，化簡為，為點的軌跡方程，若，則，即，得，故存在存在，使，D正確.故選：AD.12.在等比數(shù)列中，，為數(shù)列的前項積，下列說法正確的有（）A.B.C.若，則的最大項為D.若，則的最小項為〖答案〗AC〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，所以，又，所以，解得，故選項A正確，對于選項B，因為，又，所以，得到，故選項B錯誤，對于選項C，因為，又，所以，又，所以，則有，，又，所以數(shù)列中的奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，所以，，又，，故選項C正確，對于選項D，因為，又，所以，又，，所以，又數(shù)列中奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，且，，又，，，又，而，若，則，此時，故選項D錯誤，故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項系數(shù)的絕對值之和為__________．〖答案〗〖解析〗二項式展開式的通項公式為，所以各項系數(shù)的絕對值之和為.故〖答案〗為：14.已知等差數(shù)列的公差不為，其前項和為，且、、成等比數(shù)列，則__________．〖答案〗〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，，因為、、成等比數(shù)列，則，則，所以，，可得，又因為，則，則，則，所以，.故〖答案〗為：.15.在平面直角坐標系中，，為拋物線上兩個不同的點，為拋物線的焦點，若，則的面積為__________．〖答案〗〖解析〗由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，如圖所示，設拋物線的準線為，過點作垂直于且交于點，過點作垂直于且交于點，過點作垂直于且交于，則，所以直線的傾斜角為，又，故直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，即，解得或，則，，所以，又原點到直線的距離為，所以，當直線的斜率為負，即直線的傾斜角為時，同理可求．故〖答案〗為：．16.已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗由題意知，在橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，由對稱性知，在直線右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點為，即，得，所以，，要滿足題意，由二次函數(shù)的對稱性可知需在內對于總能取到兩個不同的的值，即等價于二次函數(shù)對稱軸在的范圍內即可，所以，即，即，即，化簡得，即，即，解得，又因為，所以.故〖答案〗為：.四、解答題、本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事．中國體育代表團獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，取得亞運會參賽歷史最好成績．亞運會結束后，某調查小組為了解杭州市不同年齡段的市民每日運動的情況，在市民中隨機抽取了200人進行調查，結果如下表所示，其中每日平均運動低于1萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的，40歲以上（含40歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．每日平均運動1萬步或以上每日平均運動低于1萬步總計40歲以上（含40歲）8040歲以下總計200（1）將題中表格補充完整（填寫在答題卡上）；（2）判斷是否有的把握認為該市市民每日平均運動的步數(shù)與年齡有關．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由已知，40歲以上（含40歲）的人數(shù)為，40歲以下的人數(shù)為100．每日平均運動低于1萬步的人數(shù)為．由此得如下列聯(lián)表：

每日平均運動1萬步或以上每日平均運動低于1萬步總計40歲以上（含40歲）802010040歲以下4060100總計12080200（2），所以有的把握認為該市市民每日平均運動的步數(shù)與年齡有關．18.設是正項數(shù)列的前項和，且，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．解：（1）因為，，所以，，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2），且，所以．當時，，．時，不滿足上式，所以．19.已知橢圓的右焦點為，點在上．（1）求的方程；（2）斜率為1的直線與交于，兩點，線段的中點為，求點的橫坐標的取值范圍．解：（1）由已知得橢圓的左右焦點分別為，，，所以，所以，所以．（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立消去得：，所以，由，解得．因為，所以，所以點的橫坐標的取值范圍為．20.已知．（1）求的最大值；（2）求被13除的余數(shù)．解：（1）因為，所以，．所以，，．令，則，所以的最大值為1792．（2）因為．所以被除余數(shù)，即為被除的余數(shù)為．21.已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列和的通項公式：（2）將數(shù)列和的公共項從小到大排成的數(shù)列記為，求的前項和．解：（1）由題可知，，所以，，所以．因為，所以，因為，所以，所以（常數(shù)），所以是等比數(shù)列，所以，即．（2）為從開始的奇數(shù)，當為奇數(shù)時，為奇數(shù)，，故．．22.已知拋物線的焦點為，過點的直線（斜率為正數(shù)）與由左至右交于、兩點，連接并延長交于點．（1）證明：；（2）當?shù)膬惹袌A半徑時，求的取值范圍．解：（1）易知拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，，則，由得，，由韋達定理可得，，則，所以．（2）由（1）可知：的內切圓圓心在軸上，所以設圓心，則，設直線的方程為，且，由得，，且，則，由韋達定理可得，，所以，所以直線的方程為，即．因為點到直線的距離等于點到直線的距離，所以，所以，，，則，上述兩個等式作差可得，可得，所以，因在上單調減，所以．所以.江蘇省常州市2023-2024學年高二上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0〖答案〗C〖解析〗由題意得，故C正確.故選：C.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.78〖答案〗D〖解析〗依題意，因為，所以，因為線性回歸方程為一定過點，所以，所以.故選：D.3.方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知焦點在軸上，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，，則（）A.13 B.10 C.1 D.13或1〖答案〗A〖解析〗由題意得焦距為，由雙曲線定義可得，所以或，又因為在雙曲線中，所以，故A正確.故選：A.5.定義：“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116，431，則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（）A.21 B.35 C.36 D.45〖答案〗C〖解析〗“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，故首位最大為8，且首位不為0，則有：若首位為8，則剩余兩位均為0，共有1個“幸運數(shù)”；若首位為7，則剩余兩位為，共有個“幸運數(shù)”；若首位為6，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為5，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為4，則剩余兩位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為2，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；綜上所述：共有個“幸運數(shù)”.故選：C.6.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.7.已知圓和圓相交于兩點，點是圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圓，即，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，取線段的中點，連接，則，將圓與圓的方程做差可得公共弦的方程為，則，則，所以.故選：B.8.經過雙曲線的右焦點作該雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且交另一條漸近線于點，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖所示：設，則，則，雙曲線的漸近線方程為，則到直線的距離為，因為，則，故，由勾股定理可得，因為，整理可得，又因為，解得.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.點、，過、的直線為，下列說法正確的有（）A.若，則直線的方程為B.若，則直線的傾斜角為C.任意實數(shù)，都有D.存在兩個不同的實數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，當時，點，又因為點，則，此時，直線的方程為，即，A對；對于B選項，若，則，又因為點，，設直線的傾斜角為，則，且，則，即直線的傾斜角為，B對；對于C選項，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，若直線過原點，則直線的斜率為，此時，直線的方程為，即，因為點在直線上，則，解得，若直線不經過原點，設直線的方程為，因為點在直線上，則，此時，直線的方程為，因為點在直線上，則，解得.綜上所述，存在兩個不同的實數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)，D對.故選：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有種排法 B.若甲不排第一個共有種排法C.若甲與丙不相鄰，共有種排法 D.若甲在乙的前面，共有種排法〖答案〗ACD〖解析〗甲、乙、丙等人排成一列，對于A選項，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個大元素，與其余四個元素排序，共有種排法，A對；對于B選項，若甲不排第一個，則甲有種排法，其余個人全排，共有種，B對；對于C選項，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個空中的個空，所以，共有種排法，C對；對于D選項，若甲在乙的前面，只需在個位置中先選兩個位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個人全排，共有種排法，D對.故選：ACD.11.已知直線與圓交于，兩點，點為線段的中點，且點的坐標為．當時，，則（）A. B.的最小值為C.存在點，使 D.存在，使〖答案〗AD〖解析〗當時，直線，圓心到直線的距離，又，解得，A正確；由上可知圓，圓心到直線的距離，則，B錯誤；若，則直線斜率為，從而直線：，此時圓心到直線的距離，則直線與圓相離，即不存在點，使，C錯誤；設點，因為直線過定點，則，即，化簡為，為點的軌跡方程，若，則，即，得，故存在存在，使，D正確.故選：AD.12.在等比數(shù)列中，，為數(shù)列的前項積，下列說法正確的有（）A.B.C.若，則的最大項為D.若，則的最小項為〖答案〗AC〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，所以，又，所以，解得，故選項A正確，對于選項B，因為，又，所以，得到，故選項B錯誤，對于選項C，因為，又，所以，又，所以，則有，，又，所以數(shù)列中的奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，所以，，又，，故選項C正確，對于選項D，因為，又，所以，又，，所以，又數(shù)列中奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，且，，又，，，又，而，若，則，此時，故選項D錯誤，故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項系數(shù)的絕對值之和為__________．〖答案〗〖解析〗二項式展開式的通項公式為，所以各項系數(shù)的絕對值之和為.故〖答案〗為：14.已知等差數(shù)列的公差不為，其前項和為，且、、成等比數(shù)列，則__________．〖答案〗〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，，因為、、成等比數(shù)列，則，則，所以，，可得，又因為，則，則，則，所以，.故〖答案〗為：.15.在平面直角坐標系中，，為拋物線上兩個不同的點，為拋物線的焦點，若，則的面積為__________．〖答案〗〖解析〗由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，如圖所示，設拋物線的準線為，過點作垂直于且交于點，過點作垂直于且交于點，過點作垂直于且交于，則，所以直線的傾斜角為，又，故直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，即，解得或，則，，所以，又原點到直線的距離為，所以，當直線的斜率為負，即直線的傾斜角為時，同理可求．故〖答案〗為：．16.已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗由題意知，在橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，由對稱性知，在直線右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點為，即，得，所以，，要滿足題意，由二次函數(shù)的對稱性可知需在內對于總能取到兩個不同的的值，即等價于二次函數(shù)對稱軸在的范圍內即可，所以，即，即，即，化簡得，即，即，解得，又因為，所以.故〖答案〗為：.四、解答題、本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事．中國體育代表團獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，取得亞運會參賽歷史最好成績．亞運會結束后，某調查小組為了解杭州市不同年齡段的市民每日運動的情況，在市民中隨機抽取了200人進行調查，結果如下表所示，其中每日平均運動低于1萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的，40歲以上（含40歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．每日平均運動1萬步或以上每日平均運動低于1萬步總計40歲以上（含40歲）8040歲以下總計200（1）將題中表格補充完整（填寫在答題卡上）；（2）判斷是否有的把握認為該市市民每日平均運動的步數(shù)與年齡有關．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由已知，4